浙江省宁波市北仑中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

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命题：高一数学备课组 审题：高一数学备课组
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，则（ ）
A. 0,1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化简集合，用列举法表示集合，再利用交集的定义求解.
【详解】依题意，，
所以.
故选：D
2. 已知命题，，则（ ）．
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称量词命题否定形式，即可求解.
【详解】所以命题的否定是，.
故选：B
3. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由可得或，即可判断.
【详解】由可得或，
又或
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选:
4. 已知实数 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用不等式性质判断A；举例说明判断B；作差判断CD.
【详解】实数
对于A，，A错误；
对于B，当时，，B错误；
对于C，，，C正确；
对于D，，，D错误.
故选：C
5. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】函数的定义域为，
且，
函数为奇函数，CD选项错误；
又当时，，B选项错误.
故选：A.
6. 已知奇函数的定义域为，对任意的满足，且在区间上单调递增，若，，，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质确定函数的单调性，再利用给定的函数移动式结合单调性比较大小.
【详解】由奇函数的定义域为，在上单调递增，得在上单调递增，
因此在上单调递增，又，
则，，
由，得，因此.
故选：C
7. 中国茶文化源远流传，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是，经过后的温度是，则，其中表示环境温度，表示半衰期．该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是，放在的室温中，以后茶水的温度是，在上述条件下，大约需要放置多长时间能达到最佳饮用口感？（结果精确到0.1，参考数据，）（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件列出关于，的方程组可得答案.
【详解】由题意可得方程组：
，由①式化简可得：，代入②式，
所以，
大约需要放置能达到最佳饮用口感．
故选：A．
8. 已知函数的最小值为0，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，计算可得，再结合图象即可求出答案.
【详解】设，则，
则，
在同一坐标系内作出函数的大致图象，得的图象，
函数的最小值为0，结合图象，或，解得，
所以.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数的解析式，结合函数的性质，直接判断.
【详解】A.的定义域为，所以函数不是偶函数，故A错误；
B.是偶函数，且在单调递增，故B正确；
C.，，是偶函数，时，单调递增，故C正确；
D.，，是偶函数，时，在单调递减，在单调递增，故D错误.
故选：BC
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 当时，的最大值是5
B. 当时，
C. 已知正实数满足，则的最小值是2
D. 的最小值为
【答案】BC
【解析】
【分析】利用基本不等式及“1”的妙用，逐项分析求解即可.
【详解】对于A，当时，，当且仅当时取等号，A错误；
对于B，当时，，，
当且仅当时取等号，B正确；
对于C，正实数满足，则，
当且仅当时取等号，C正确；
对于D，，当且仅当，
即时取等号，而，因此等号不能被取到，D错误.
故选：BC
11. 已知函数，若函数有四个零点，从小到大依次为，，，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 的最小值为4
C.
D. 方程最多有10个不同的实根
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意结合图象分析可知，且可判断A；根据对数函数性质结合基本不等式可判断B；根据指数函数性质结合基本不等式可判断C；设，则方程化为，讨论的取值范围，结合图象分析可判断D.
【详解】令，则，
可知函数的零点即为函数与图象的交点的横坐标，
如图，作出函数的图象，
则，
对于A，由函数有四个零点知，函数与的图象有四个交点，
所以，故A正确；
对于B，因为，即，
且，则，
可得，
即，整理得，
即，解得，
当且仅当时等号成立，因为，所以，故B错误；
对于C，因为，即，
且，则，，
可得，
整理得，
即，所以，
当且仅当时等号成立，因为，所以，故C正确；
对于D，方程，即，
令，则，注意到，
①若，则方程无实根，即方程无实根，
故方程无实根；
②若，则方程有2个不相等的实根和，
且有2个不相等的实根；
有3个不相等的实根；
故方程有5个不相等的实根；
③若，
则方程有4个不相等的实根，
且无实根；
有4个不相等的实根；
或均有3个不相等的实根；
故方程有10个不相等的实根；
④若，
则方程有4个不相等的实根，
且无实根；或或均有3个不相等的实根；
故方程有9个不相等的实根；
⑤若，则方程有3个不相等的实根，
且无实根；或均有3个不相等的实根；
故方程有6个不相等的实根；
综上所述：方程最多有10个不同的实根，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法：
（1）转化为两个熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式（方程）求解；
（2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 幂函数在上单调递减，则m的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据幂函数的定义，以及性质，即可求解.
【详解】由条件可知，得或，
当时，，在上单调递增，所以不成立，
当时，，在上单调递减，所以成立，
则
故答案为：2
13. 已知函数 ，满足对任意的实数且，都有，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，构造函数，再利用分段函数单调性列式求解.
【详解】令函数，
不等式，
依题意，对任意的实数且，都有，
则函数在上单调递增，
函数在上单调递增，
有，解得，
此时函数在上都单调递增，即在上单调递增，
又，解得，因此，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
14. 对任意的，不等式恒成立，则实数_________.
【答案】
【解析】
【分析】由对数有意义可得：，将不等式等价转化为在上恒成立，构造函数
，由函数在上单调递增，故时，则，当时，
，则，再根据二次函数的图象和性质即可求出实数的值，最后取交集即可求解.
【详解】由题意可知：且成立，则，
因为对任意的，不等式恒成立，
也即在上恒成立，
记，则在上单调递增，
当时，，即恒成立，则，所以，解得：；
当时，不等式显然成立；
当时，，即在恒成立，
则，因为在上单调递减，所以时，，解得：，
因为对任意的，不等式恒成立，
则综上可知：实数的值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用根式及指数运算计算即得.
（2）利用对数运算性质计算即得.
【详解】（1）.
（2）.
16. 已知全集，不等式的解集是，，.
（1）计算；
（2）若不等式的解集为，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）或；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用补集、交集的定义直接求解.
（2）利用不等式的解集求出的关系，再解不等式求出，再利用充分不必要条件的定义，结合集合的包含关系列式求解.
【小问1详解】
由，得，而，
所以或.
【小问2详解】
由不等式的解集是，
得是方程的二根，且，
则，解得，不等式为，
即，解得，
即，
由，得，，
由“”是“”的充分不必要条件，得，则或，解得，
所以实数的取值范围是.
17. 已知函数．
（1）判断并证明的奇偶性；
（2）判断并证明的单调性；
（3）若对任意的，都有不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）函数是奇函数，证明见解析；
（2）函数在R上单调递减，证明见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的定义推理判断.
（2）由减函数的定义，结合指数函数的单调性推理判断.
（3）由（1）（2）的结论脱去法则，再利用恒成立问题求解.
【小问1详解】
函数是奇函数，
函数的定义域为R，，
所以函数是奇函数.
【小问2详解】
函数在R上单调递减，
任意，由在R上单调递增，得，，
则，因此，
所以函数在R上单调递减.
【小问3详解】
由（1）得不等式，
由（2）得，
依题意，，不等式恒成立，而，
当且仅当时取等号，则，解得，
所以实数的取值范围是.
18. 已知函数，满足．
（1）求函数图象的对称中心；
（2）当时，求的最小值；
（3）若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据给定的函数，利用中心对称的定义求出对称中心.
（2）探讨函数的单调性，并求出值域，再利用基本不等式求出最小值.
（3）求出在上的值域，结合已知可得，借助对勾函数分类讨论求出最值并列式求解.
【小问1详解】
函数中，，
，
所以函数图象的对称中心为.
【小问2详解】
依题意，函数，
即，解得，
函数在上单调递减，
函数在上单调递减，因此，
当时，，
当且仅当，即，时取等号，
所以当时，取得最小值.
【小问3详解】
对任意实数，恒成立，
等价于，
由（1）知，函数在上单调递减，
当时，，
令，，
而函数在上递减，在上递增，
当时，在上单调递减，
，
因此，得，与矛盾，无解；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
于是，即，解得；
当时，在上单调递增，则，
即，解得，无解，
所以实数的取值范围.
19. 函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质.
（1）判断下列函数是否具有性质，并说明理由.
①；②；
（2）已知为二次函数，若存在正实数，使得函数具有性质.用反证法证明：是偶函数；
（3）已知，为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围.（用表示）
【答案】（1）①是，②不是，理由见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据性质的定义对函数与函数进行判断，从而确定正确答案；
（2）性质的定义列不等式，假设若不为偶函数，即，得出与题意矛盾，进而可得出是偶函数；
（3）性质的定义列不等式，结合对数函数、指数函数的知识求得的取值范围.
小问1详解】
对任意x∈R，得，
所以具有性质；
对任意x∈R，得，
取时，有，
所以不具有性质；
【小问2详解】
设二次函数满足性质，
则对任意x∈R，满足，
若不为偶函数，即，即，
即，取，
则，矛盾，
所以，此时，
满足f−x=fx，即为偶函数；
小问3详解】
由于，函数的定义域为，
，
若函数具有性质，则对于任意实数，
有
，即，
即，
由于函数在上递增，得，
即，
当时，得，对任意实数恒成立，
当时，易得，由，得，
得，得，
由题意得对任意实数恒成立，
所以，即，
当时，易得，由，得，
得，得，
由题意得对任意实数恒成立，
所以，即.
综上所述，的取值范围为.
【点睛】关键点睛：求解新定义函数类型的题目，关键点是理解和运用新定义，将新定义的知识，转化为学过的知识来进行求解，求解含参数的不等式问题，需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.