浙江省温州市环大罗山联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

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考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先解不等式，再求交集即得.
【详解】由可得，即，
则.
故选：D.
2. 下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性和单调性，结合选项依次判断即可.
【详解】A：令，定义域为R，，则，
所以为非奇非偶函数，在R上单调递减，故A不符合题意；
B：令，定义域为R，，则，
所以为非奇非偶函数，在R上单调递增，故B不符合题意；
C：令，定义域为R，，
所以为偶函数，在上单调递增，故C符合题意；
D：令，定义域为R，，所以为偶函数，
当时，，则在上单调递减，故D不符合题意.
故选：C
3. 命题“，使得”的否定是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可判断.
【详解】命题“，使得”的否定为“， ”
故选：D.
4. 若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性，可得答案.
【详解】由函数在上单调递减，且，则；
由函数在上单调递增，且，则，
由，则.
故选：A.
5. 为实现碳达峰、碳中和，中共中央国务院提出，到2025年单位国内生产总值二氧化碳排放比2020年下降18%，则2020年至2025年要求单位国内生产总值二氧化碳排放的年均减排率最低是（ ）
A. 0.036B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件，列出等式，再结合指数函数的公式，即可求解．
【详解】设2020年单位国内生产总值二氧化碳排放量为，2020年至2025年要求单位国内生产总值二氧化碳排放的年均减排率最低为，
则2020年单位国内生产总值二氧化碳排放量为，
故，解得．
故选：C．
6. 设，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式，分类讨论、计算即可.
【详解】当时，则，
由，得，
整理得，解得或0（舍去）；
当时，则，
由，得，无解.
综上，.
故选：B
7. 甲、乙、丙、丁四位同学猜测校运会长跑比赛中最终获得冠军的运动员
甲说：“冠军是李亮或张正”
乙说：“冠军是林帅或张正”
丙说：“林帅和李亮都不是冠军”
丁说：“陈奇是冠军”．
结果出来后，只有两个人的推断是正确的，则冠军是（ ）
A. 林帅B. 李亮C. 陈奇D. 张正
【答案】C
【解析】
【分析】根据选项依次判断四人的推断结果即可.
【详解】对A，若林帅获得冠军，则乙正确，甲、丙、丁都错误，故A错误；
对B，若李亮获得冠军，则甲正确，乙、丙、丁错误，故B错误；
对C，若陈奇获得冠军，则丙、丁正确，甲、乙错误，故C正确；
对D，若张正获得冠军，则甲、乙、丙正确，丁错误，故D错误.
故选：C
8. 我们知道，函数图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．则函数图象的对称中心为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意设对称中心为，令，化简得，利用，计算化简得对于定义域内的任意恒成立，联立方程组，计算即得.
【详解】设函数图象的对称中心为，
则函数
是奇函数，则，
即：，
化简得：对于定义域内任意恒成立，
则，解得，即对称中心为.
故选：B.
【点睛】思路点睛：本题主要考查函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件的应用，属于难题.
对于求解函数图象的对称中心时，一般先设对称中心，构造函数，利用求得的值即可.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则．
B. 若，则．
C. “，”是“”成立的充分不必要条件．
D. “”是“”的必要不充分条件．
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据不等式的性质，结合充分条件、必要条件的概念依次判断即可.
【详解】A：由，得，故A正确；
B：由，令，则不满足，故B错误；
C：若，则，所以充分性成立；
若，令，不满足，所以必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确；
D：若，若，则不成立，所以充分性不成立；
若，则，所以必要性成立，
所以“”是“”是必要不充分条件，故D正确.
故选：ACD
10. 已知正实数x，y满足，下列说法正确的是（ ）
A. xy最大值为2B. 的最小值为4
C. 的最小值为D. 的最大值为1
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A、B，利用基本不等式，结合题目中的等式与一元二次不等式，可得答案；
对于C、D，整理等式，可得所求代数式的函数解析式，利用基本不等式与不等式性质，可得答案.
【详解】对于A，由，则，
由，则，解得，
，可得，，
解得或，综上可得，当且仅当，等号成立，
所以的最大值为，故A错误；
对于B，由，则，
由，则，解得，
，可得，
，解得或，
综上可得，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为，故B正确；
对于C，由，则，由，则，解得，
由题意可得，，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故C正确；
对于D，由A可知，当且仅当时，等号成立，且，
，由，则，所以的最小值为，故D错误.
故选：BC.
11. 设，，，，记为平行四边形内部（不包含边界）的“格点”的个数（格点是指横坐标和纵坐标都是整数的点），则函数可能的值为（ ）
A. B.
C. 10D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对的取值进行分类讨论即可.
【详解】对，设平行四边形内部位于直线上的格点数目为，则.
而就是开区间上的整数个数，所以当是整数时，；当不是整数时，.
这就得到，所以由可得.
由于，故如果中有两个是整数，则剩余的第三个一定是整数，所以.
这就得到.
由，，可知，的全部可能值为.
故选：ABD.
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若，，则________.
【答案】
【解析】
【分析】利用指数幂的运算法则可计算得出所求代数式的值.
【详解】，，则.
故答案为：.
【点睛】本题考查指数幂的运算，考查计算能力，属于基础题.
13. 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为，则矩形广告的总面积最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】设阴影部分矩形的底边长为，则其高为，根据题意可得出矩形广告的总面积关于的函数关系式，结合基本不等式可求得的最小值.
【详解】设阴影部分矩形的底边长为，则其高为，
所以，矩形广告的总面积为
，
当且仅当时，即当时，取最小值.
故答案为：.
14. 若关于x的不等式在上有解，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】首先由题意可知关于的不等式在上有解，作出函数和函数的图像，
然后考虑直线与函数的图像相切，以及直线过点0,3，数形结合可求得实数的取值范围.
【详解】关于的不等式在上有解，
即关于的不等式在上有解，
作出两函数与的图像，如下图：

当与相切时，则，即，
由，解得：；
当过点0,3时，得.
由图可知，，因此实数的取值范围为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．
15. 已知集合，．
（1）若，，求；
（2）若，，求正数的取值范围．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）由题意可得，结合补集的概念与运算即可求解；
（2）根据指数不等式和一元一次不等式的运算可得，，结合集合之间的包含关系即可求解.
【小问1详解】
由题意得，而，故，
得，；
【小问2详解】
由，得，即，即，
而，由得，即，
而，故，且，得，
即a的取值范围为．
16. 已知二次函数．
（1）若，解集为，求；
（2），方程的两根为，求的最小值．
【答案】（1），．
（2）3
【解析】
【分析】（1）利用“三个二次”的关系和韦达定理即可求得的值；
（2）由韦达定理推得，将条件变形后代入，利用基本不等式即可求得的最小值.
【小问1详解】
当时，依题可知的解是或，
由韦达定理可知，，解得，；
【小问2详解】
由和韦达定理可得，，且，
则（*），
由，可知，且，
由（*）式可得：．
当且仅当时等号成立，即时，的最小值为3．
17. 已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求b的值；
（2）判断函数在内的单调性，并证明你的结论；
（3）若，使成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）
（2）函数是减函数，证明见解析
（3）．
【解析】
【分析】（1）利用函数的奇偶性定义列出方程，根据等式恒成立即可求得b的值；
（2）先将函数拆成，利用复合函数的单调性判断其单调性，再运用定义法证明即可；
（3）利用函数的奇偶性和单调性将题设不等式化成在上的能成立问题，即求函数在上的最大值即得.
【小问1详解】
因为函数是定义在R上的奇函数，所以恒成立，
即，整理得恒成立，所以；
【小问2详解】
由（1）可知，函数，
因为为增函数，且，所以在上为减函数.
证明如下：，，，
，
因为，则，，
所以，故函数是减函数．
【小问3详解】
由函数为奇函数，可得，
由（2）知函数是上的减函数，则有，即，
因为，因为，有最大值9，
所以，即的取值范围为．
18. 高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的"高斯函数"为，其中表示不超过x的最大整数．例如：，，高斯函数在现实生活中有着广泛的应用，例如停车收费，出租车收费等都是按"高斯函数"进行计费的；“11.11”期间，某购物网站进行下面二项优惠促销活动：
第一项：一次性购买商品，每满120元立减10元；
第二项：在享受了第一项优惠以后，购买的商品总价每满800元再减80元．
例如，一次购买商品1620元，则实际支付额元；
（1）小丽计划在网站购买两件价格分别是500元和1300元的商品，她是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由；
（2）某商品是小丽常用必需品，其价格为60元/件，小丽预算不超过1000元，试求她应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？
【答案】（1）一次支付好，理由见解析
（2）购买15件或16件时，该生活日用品平均价格最低，最低平均价格为50元/件．
【解析】
【分析】（1）根据题意，分别求一次支付与两次支付的实际支付金额，比较可得答案；
（2）由题意建立函数解析式，将自变量的所有取值代入，可得答案.
【小问1详解】
分两次支付：支付额为元；
一次支付：支付额为元；
所以一次支付好．
【小问2详解】
设购买件，平均价格为元/件．由于预算不超过1000元，
若买20件，需要付额，
若买19件，需要付额，所以最多买19件；
当，时，；
若、3、5，7、9、11、13时，，
若、4、6、8、10、12、14时，；
所以当时，购买偶数件时，平均价格最低，为55元/件．
当时，能享受每满800元减80元的优惠，，
代入，可知时，有最小值50元；
、19代入，可知时，有最小值50元．
综上，购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为50元/件．
19. 对于给定的非空集合M，定义集合，，当时，则称具有“对称性”，而，称为的对称集合．
（1）试判断集合，是否具有“对称性”，如果有，求出其对称集合；如果没有，请说明理由
（2）若集合，且集合具有"对称性"，求的最小值．
（3）已知，且，记，若集合B具有“对称性”，求m的最小值．
【答案】（1）有，，；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）利用集合的“对称性”定义判断集合的对称性，有对称性的，可求得对称集合；
（2）先根据集合的“对称性”定义求出中的元素，比较元素大小，即得的范围，继而求得的最小值；
（3）先根据集合的“对称性”定义求出中的元素，比较元素大小，即得的范围，继而求得的最小值.
【小问1详解】
对于集合，，，，
所以具有“对称”性质，且对称集合为，；
对于集合，，，，
所以不具有对称性．
【小问2详解】
因，故或，于是2、3、4、、、，
0、1、、，因为，所以，，又，．
【小问3详解】
，
因为，所以，解得，又，故．
【点睛】方法点睛：本题考查学生的创新能力，理解新定义并运用是解题关键，本题实质就是根据新定义求出两个集合和，然后由它们的交集是否为空集确定结论．