中考数学二轮复习几何模拟专项讲练模型42 相似形——一线三等角模型（2份，原卷版+解析版）

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一线三等角：三个相等的角的顶点在一条直线上
◎结论1：如图 ∠A＝∠DBE＝∠C，
则①△ADB∽△CBE；②AD×EC（竖着的）=AB×BC（躺着的）
外角：∠DBC＝∠A＋∠ADB
∠DBE＋∠EBC＝∠A＋∠ADB，
∠EBC＝∠ADB。
同理：∠DBA＝∠BEC，
∴△ADB∽△CBE
∴＝
改为乘积式：AD.CE＝AB.BC
一线三等角经典结论：左乘右＝左乘右

◎结论2：如图 ∠A＝∠DBE＝∠C，B点是AC的中点，
证明：△ABD∽△CEB
∴＝＝,＝
∵AB＝BC
∴＝
又∵∠DAB＝∠DBE
∴△DAB∽△DBE
∴∠ADB＝∠BDE
△ABD,△BED,△CEB均相似
BD,BE为∠ADE,∠DEC角平分线
则①△ABD∽△BED∽△CEB；②AD×EC（竖着的）=AB×BC（躺着的）
③DB、EB平分∠ADE和∠DEC


模型图解


常见图形：

一线三等角模型应用的四种情况：
1.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；
2.图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”，利用模型解题；
3.图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”，利用模型解题；
4.图形中只有45°角，直角或直角三角形，可构造“一线三等（直）角”，利用模型解题。
1．（2021·重庆渝北·九年级期末）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点．将沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在矩形中，，，、、、分别为矩形边上的点，过矩形的中心，且．为的中点，为的中点，则四边形的周长为（ ）
A．B．C．D．
1．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF=____．
2．（2021·安徽·淮北市烈山区淮选学校九年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，则y关于x的函数关系式为________
3（2021·吉林·长春市绿园区教师进修学校九年级期末）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长．
【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．
1．（2020·河南郑州·二模）如图，已知矩形的顶点分别落在轴轴上，，AB=2BC则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，将正方形纸片ABCD沿EF折叠，折痕为EF，点A的对应点是点A′，点B的对应点是点B′，点B′落在边CD上，若CB′:CD=1:3，且BF＝10，则EF的长为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·湖北襄阳·一模）如图，为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，，将沿直线DE翻折得到，当点F落在边BC上，且时，的值为______．
4．（2022·山东菏泽·三模）（1）问题
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：．
（2）探究
若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长．