甘肃省武威市凉州区第十中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷（解析版）-A4

这是一份甘肃省武威市凉州区第十中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先把2移项，然后两边同时加上4，即可得出答案．
详解】解：由，得
，
配方，得
，
即，
故选：B．
【点睛】本题考查了配方法解方程，熟练掌握相关知识是解题关键．
2. 当时，与的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．根据题意，，即a、b同号，分与两种情况讨论，分析选项可得答案．
【详解】解：根据题意，、则a、b同号，
当时，则，抛物线开口向上，过原点、一次函数过一、二、三象限；
此时，没有选项符合，
当时，则，抛物线开口向下，过原点、一次函数过二、三、四象限；
此时，D选项符合，
故选：D．
3. 若代数式x﹣3y+7的值为5，则值一定为7的代数式是（ ）
A. x+y+5B. x+3y+2C. 2x﹣6y﹣3D. ﹣2x+6y+3
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得：，即，代入各选项，求解即可．
【详解】解：由题意可得：，即
A、，值不一定为，不符合题意；
B、，值不一定为，不符合题意；
C、，值不为，不符合题意；
D、，值为，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查代数式求值，根据已知等式正确变形是解题关键．
4. 已知实数x满足，则的值为（ ）
A. 6B. -2或6C. -2D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】本题可先设 ，则方程变形为 ，解方程即可求出的值．
【详解】设，则方程变形为：
，
即，
，即；
当时， 此方程无实数根
当时， 满足题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了换元法，把某个式子看作一个整体，用一个字母代替去求解，解决本题的关键是求出代数式的值要进行讨论是否符合题意．
5. 已知，点、、都在函数的图像上，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】二次函数抛物线向下，且对称轴为y轴，根据在对称轴的左侧，y随x的增大而增大即可判断纵坐标的大小．
【详解】∵二次函数y＝−x2，
∴该二次函数的抛物线开口向下，且对称轴为：x＝0，即y轴．
∵a＜−1，
∴a−1＜a＜a＋1＜0，
∵在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，比较简单．
6. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）
A. 9人B. 10人C. 11人D. 12人
【答案】C
【解析】
【分析】设参加酒会的人数为x人，每人碰杯次数为次，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.
【详解】设参加酒会的人数为x人，依题可得：
x（x-1）=55，
化简得：x2-x-110=0，
解得：x1=11，x2=-10（舍去），
故答案为C.
【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程.
7. 若方程的左边可以写成一个完全平方式，则的值为( )
A. 或B. C. 10D. 10或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式的运用，根据完全平方式的特点，进行求解即可．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴，
∴或，
∴或；
故选D．
8. 在估算一元二次方程的根时，小晗列表如表：由此可估算方程的一个根x的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，利用，；，，于是当在1.2与1.3之间取一个数时，一定可以等于0，从而可对各选项进行判断．
【详解】解：，；，，
当在1.2与1.3之间取一个数时，，
即方程的一个根的范围为．
故选：C．
9. 如图所示，某小区规划在一个宽为，长为的矩形地面上，修筑同样宽的三条道路，互相垂直，余下部分种草，耕地面积为，设小路的宽为，那么满足的方程是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的运用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．如果设小路的宽度为，那么耕地的总长度和总宽度应该为，；那么根据题意即可得出方程．
【详解】解：设小路的宽度为，
那么耕地的总长度和总宽度应该为，；
根据题意即可得出方程为：，、
整理得：，
故选：C.
10. 下列说法正确的是（ ）．
①若 ，则一元二次方程 必有一根为 -2．
②已知关于x 的方程 有两实根，则k 的取值范围是 ﹒
③一个多边形对角线的条数等于它的边数的 4倍，则这个多边形的内角和为1620度 ．
④一个多边形剪去一个角后，内角和为1800度 ，则原多边形的边数是 11或 12．
A. ①③B. ①②③C. ②④D. ②③④
【答案】A
【解析】
【分析】①由可得4a-2b+c=0，当x=-2时，4a-2b+c=0成立，即可判定；②运用一元二次方程根的判别式求出k的范围进行比较即可判定；③设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和定理求得n即可判定；④分剪刀所剪的直线过多边形一个顶点、两个顶点和不过顶点三种剪法进行判定即可．
【详解】解：①b=2a+c，则4a-2b+c=0，
一元二次方程必有一个根为-2．故①说法正确；
②：有两实数根，
:原方程是一元二次方程．
，故②说法错误；
③设这个多边形边数为n，
则
解得n=11或0(舍去）
:这个多边形是11边形．
:这个多边形的内角和为：
(11-2)×180°=9×180°=1620°．
故③说法正确；
一个多边形剪去一个角的剪法有过多边形一个顶点、两个顶点和不过顶点三种剪法，会有三个结果，故④错．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根的判别式以及多边形内角和定理，灵活应用所学知识是正确解答本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分）
11. 已知，则的值是 _____．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查因式分解法、换元法求一元二次方程的解，设，则原方程转化为，根据解一元二次方程的方法即可求解，掌握因式分解法求一元二次方程的解是解题的关键．
【详解】解：设，则原方程转化为，
所以或，
所以（舍去）或，
所以，
故答案为：2．
12. 抛物线的顶点关于x轴对称后坐标为 __________，对称轴为 _______．
【答案】 ①. ②. y轴
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握抛物线解析式化为顶点式．
先将抛物线解析式化为顶点式，得出顶点坐标，然后写出对称轴和关于x轴对称的顶点坐标即可．
【详解】解：，
抛物线的顶点坐标为0,1，
对称轴为直线，即y轴．
关于x轴对称的顶点坐标为,
故答案为：，y轴．
13. 已知、满足，，则的值等于_______．
【答案】或．
【解析】
【分析】分两种情况：当时，由，，构造一元二次方程，则其两根为，利用根与系数的关系可得答案， 当时，代入代数式即可得答案，
【详解】解：时，
、满足，，
、是关于的方程的两根，
，，
则
当时，原式
的值等于或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是利用一元二次方程的根与系数的关系求代数式的值，掌握分类讨论，一元二次方程的构造是解题的关键．
14. 如图，A，B为抛物线上的两点，且轴于点．若，则该抛物线对应的函数解析式为 ____________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，先求出点的坐标，再将点的坐标代入，得出函数解析式．
【详解】解：轴于点，，
，
将代入，
得，
，
故答案为：．
15. 如图，桥拱是抛物线，上面有一点P，坐标是，当水位线在位置时，A到B的水面宽为，求水面离桥顶的高度_______．
【答案】##9米
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，设，把2,−1代入求出函数表达式，再把代入即可求出水面离桥顶的高度．
【详解】解：桥拱是抛物线，顶点为原点，
∴设，
把2,−1代入得：，
解得，
，
∵A到B的水面宽为，
∴点B的横坐标，
把代入得，，
水面离桥顶的高度为，
故答案为：．
16. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为_________．
【答案】2021
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出、是解题的关键．根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出、，将其代入中即可求出结论．
【详解】解：，是方程的两个实数根，
，，
．
故答案为：2021
17. 某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3月每个月生产成本的下降率都相同．则每个月生产成本的下降率是______．
【答案】5%
【解析】
【分析】设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
【详解】设每个月生产成本的下降率为x，
根据题意得：400（1−x）2＝361，
解得：x1＝0.05＝5%，x2＝1.95（不合题意，舍去）．
故答案为：5%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
18. 《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小唐按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为_________．

【答案】4
【解析】
【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为3，先计算出大正方形的面积=阴影部分的面积+4个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论．
【详解】解：，
∵阴影部分的面积为64，
∴，
设，
则，
同理：先构造一个面积为的正方形，
再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，
得到大正方形的面积为，
则该方程的正数解为，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三、解答题
19. 解下列方程：
（1）；
（2）（配方法）；
（3）．
【答案】（1），
（2），
（3），
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法．
（1）将原式两边除以3并移项后整理成，再开平方求解即可；
（2）将原式用配方法整理成即，用开平方求解即可；
（3）用因式分解法将原式转化成，再解两个一次方程即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
，；
【小问2详解】
解：，
，
，
，即，
，
，；
【小问3详解】
解：，
，
或，
，．
20. 关于x的一元二次方程有实根.
（1）求k的最大整数值；
（2）当k取最大整数值时，方程的根满足，求m的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】(1)根据方程有实数根,可得判别式大于等于零,根据解不等式,可得答案;
(2)把k=4代入方程，可得方程的解,把方程的解代入,可得关于m的一元一次方程,根据解一元一次方程,可得答案.
【详解】（1）；（2）．
解：（1）根据题意知△=，
∵
∴
解得：
∴k的最大整数值为4.
（2）∵
∴方程为
则解得方程的根为；
把代入方程得，
∴．
【点睛】本题考查了根的判别式,利用了根的情况判别参数的范围,同时考查一元二次方程的解.
21. 已知关于x的一元二次方程
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值．
【答案】（1）见解析 （2）或．
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入得到求解即可得到答案．
【小问1详解】
证明：关于的一元二次方程，
∴，，，
∴，
∵，即，
∴不论为何值，方程总有实数根；
【小问2详解】
解：∵，是关于x一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴，整理，得，解得，，
∴m的值为或．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．
22. 二次函数的经过点、．
（1）求该函数的表达式；
（2）若点，也在函数的图象上，求、的值．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
（1）将A与B坐标代入二次函数解析式求出a与c的值，即可确定出二次函数解析式；
（2）将C与D坐标代入二次函数解析式即可求出m与n的值．
【小问1详解】
将点、代入得：
，
解得：，
则二次函数解析式为；
【小问2详解】
将，代入二次函数解析式得：，
将，代入二次函数解析式得：，即．
23. 把一根长8米的绳子剪成两段，并把每一段绳子围成一个正方形．
（1）要使这两个正方形面积的和等于2平方米，应该怎么剪？
（2）这两个正方形面积的和可能等于平方米吗？请说明理由．
【答案】（1）剪成一段为4米，则另一段就为4米；
（2）不可能，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）利用正方形的性质表示出边长进而得出等式求出即可；
（2）利用正方形性质表示出边长进而得出等式，进而利用根的判别式求出即可．
【小问1详解】
解：设剪成的一段为米，则另一段就为米，
由题意得，
解得：．
答：剪成的一段为4米，则另一段就为4米；
【小问2详解】
解：设剪成的一段为米，则另一段就为米，
由题意得，
变形为：，
解得：，舍去，，舍去，
即：这两个正方形面积的和不可能等于．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据正方形的性质表示出正方形的边长是解题关键．
24. 某种电脑病毒的传播速度非常快，若有2台电脑被感染，则经过两轮传播后会有288台电脑被感染．
（1）每轮传播中平均一台电脑会感染几台电脑？
（2）若病毒得不到有效控制，三轮传播后，被感染的电脑共有多少台？
【答案】（1）每轮传播中平均一台电脑会感染11台电脑
（2）三轮传播后，被感染的电脑共有3456台
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是本题的关键．
（1）设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则有，再解方程求出满足条件的x的值即可；
（2）将代入中计算即可．
【小问1详解】
解：设每轮传播中平均一台电脑会感染x台电脑，
根据题意得：，即，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），
答：每轮传播中平均一台电脑会感染11台电脑；
【小问2详解】
解：由题意可知，，
由（1）知，
则（台），
答：三轮传播后，被感染的电脑共有3456台．
25. 某商城购进了一批某种品牌冰箱，标价为每台3000元．
（1）为回馈新老用户，在国庆节期间，商城对冰箱进行了连续两次降价销售，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每台冰箱的售价为3000元时，每天能售出8台；当每台冰箱的售价每降50元时，每天就能多售出4台；若商城计划在某天销售20台冰箱，则每台冰箱的售价应定为多少元？
【答案】（1）每次降价的百分率是10%；（2）定价为2850元．
【解析】
【分析】（1）设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是60（1﹣x）元，第二次后的价格是60（1﹣x）2元，据此即可列方程求解；
（2）假设下调a个50元，销售冰箱数量＝原销售量+多售出量，即可列方程求解．
【详解】解：（1）设每次降价的百分率为x，
依题意得：3000（1﹣x）2＝2430，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）
答：每次降价的百分率是10%；
（2）假设下调a个50元，依题意得：20＝8+4a．
解得a＝3．
所以下调150元，因此定价为3000-150=2850元．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程．
26. 如图，已知点在抛物线上，过点A且平行于x轴的直线交抛物线于点B．
（1）求a的值和点B的坐标；
（2）若点P是抛物线上一点，当以点A，B，P为顶点构成的的面积为2时，求点P的坐标．
【答案】（1），
（2）或或或
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，二次函数的对称性等等：
（1）先把点A坐标代入解析式中求出a的值，即求出抛物线解析式，再根据对称性即可求出点B的坐标；
（2）先求出，再根据题意可得，据此求出点P的纵坐标即可得到答案．
【小问1详解】
解：把代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为y轴，
∵轴，且点B在抛物线上，
∴点A和点B关于抛物线对称轴对称，即关于y轴对称，
∴
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵的面积为2，轴，
∴，
∴，
∴或，
在中，当时，，当时，，
∴点P的坐标为或或或．
27. 已知抛物线具有如下性质：给抛物线上任意一点到定点的距离与到x轴的距离相等，如图，点M的坐标为，P是抛物线上一动点，则
（1）当面积为4时，求P点的坐标；
（2）求周长的最小值．
【答案】（1）或
（2）5
【解析】
【分析】（1）设P点的坐标为，根据面积为4求出点P的横坐标，代入解析式得到对应y值，即可求解；
（2）过点M作轴于点E，与抛物线交于点，由点在抛物线上可得出，结合点到直线之间垂线段最短及为定值，即可得出当点P运动到点时，周长取最小值，由此可解．
【小问1详解】
解：设P点的坐标为，
点F的坐标为，
，
当的面积为4时，，
解得：，
，
点P的坐标为或．
【小问2详解】
解：过点M作轴于点E，与抛物线交于点．
抛物线上任意一点到定点的距离与到x轴的距离相等，
，
又为定值，
当点P运动到点时，周长取最小值，
,，
，，
，
周长的最小值为5．
x
1
1.1
1.2
1.3
1.4
0.29
0.76