黑龙江省大庆外国语学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份黑龙江省大庆外国语学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版）-A4，共12页。试卷主要包含了 若向量，满足， 已知向量，，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项
1.考试时间120分钟，满分150分
2.答题前，考生务必先将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并准确填涂.
3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦净后，再选涂其他答案的标号.非选择题答案使用0.5毫米中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.
4.按照题号在各答题区域内作答，超出答题区域书写答案无效.
一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）
1. 下列结论中正确的为（ ）
A. 两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B. 向量与向量的长度相等
C. 对任意向量，是一个单位向量
D. 零向量没有方向
【答案】B
【解析】
【分析】利用单位向量的概念可判断A选项的正误；利用向量模的定义可判断B选项的正误；取可判断C选项的正误；利用零向量的定义可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，两个单位向量的模相等，但这两个单位向量的方向不确定，故A错；
对于B选项，向量与向量的模相等，B对；
对于C选项，若，则无意义，C错；
对于D选项，零向量的方向任意，D错.
故选：B.
2. 已知平面上，，三点不共线，是不同于，，的任意一点，且，则是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形
【答案】A
【解析】
【分析】由，可得，即可判断的形状.
【详解】因为，即，即，
所以，所以是等腰三角形.
故选：A.
3. 若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中能构成平面内所有向量的一个基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量共线定理以及基底的概念逐一判断即可.
【详解】对于A选项，，所以共线，不能作为基底；
对于B选项，，所以共线，不能作为基底；
对于C选项，，所以共线，不能作为基底；
对于D选项，易知不共线，可以作为基底.
故选：D.
4. 已知向量， ，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】，，则，
即，解得.
故选：C.
5. 在中，角的对边分别为，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用正弦定理求得，再利用余弦定理求得，即可求解.
【详解】因为，由正弦定理得，
又因为，可得，
又由余弦定理，可得，
因为，所以.
故选：B.
6. 若向量，满足：，，，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据平面向量数量积的几何意义求出在上的投影，然后结合向量的数乘运算即可求出结果.
【详解】在上的投影为，
所以在上的投影为.
故选：D
7. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】观察给定的函数图象，求出及周期，进而求出，再利用最大值点求出即得.
【详解】观察图象知，，函数的周期，则，
由，得，而，于是，
所以.
故选：A
8. 如图，无人机在离地面高的处，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题中条件，先得到，，在中，根据正弦定理可求得，进而在中，可求得.
【详解】因为，所以，又，
所以，所以，所以，
又，，
所以，
在中，由正弦定理可得，
所以，
在中，因为，
所以.
故选：B.
二、多选题：（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.）
9. 已知向量，，则（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 当时，D. 当时，
【答案】AC
【解析】
【分析】根据平面向量垂直的坐标表示公式、平面向量共线的坐标表示公式、平面向量模的坐标表示公式逐一判断即可.
【详解】A：当时，，，因为，所以，因此本选项正确；
B：由（1）可知，该选项不正确；
C：当时，向量，，因为，所以，即
，因此本选项正确；
D：因为，所以有，所以，因此本选项不正确，
故选：AC
10. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，则（ ）
A. 的最小正周期为B. 的图象关于直线对称
C. 在上单调递增D. 当时，的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】利用平移得，根据周期公式判断A项；结合正弦函数的图象，通过代入检验判断B，C两项；根据正弦函数在给定区间上的单调性即可判断并求得最小值.
【详解】依题意，将函数的图象向左平移个单位长度，即得的图象.
对于A，由,可知A正确；
对于B，因，故图象关于直线不对称，即B错误；
对于C，当时，，此时，函数先增后减，故C错误；
对于D，当时，，
因时，函数单调递增，当时，函数单调递减，
且时，即时，；时，即时，，
故的最小值为，故D正确.
故选：AD.
11. 的内角A，B、C的对边分别为a，b，c，若，则（ ）
A. B.
C. 角A的最大值为D. 面积的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】首先将向量的数量积转化为，再根据余弦定理和基本不等式，三角形的面积公式，即可求解.
【详解】，故A错误；
根据余弦定理，则，故B正确；
由A知，，，则，故C正确；
，，当时，面积的最大值为，故D正确.
故选：BCD
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 求值：______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用诱导公式及两角差的正弦公式化简计算即可.
【详解】,
故答案为：.
13. 设是平面内两个不共线的向量，已知且三点共线，则实数__________．
【答案】1
【解析】
【分析】由三点共线，可得，利用向量共线的充要条件列出向量方程，根据对应系数相等求解即得.
【详解】依题意，，,
因三点共线，即，则存在，使得，
即得，解得.
故答案为：1.
14. 已知向量，的夹角为，且，则的最小值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】，展开计算得，根据，则得到其最小值.
详解】.
因为,所以，当且仅当时取等号，
所以,则的最小值是.
故答案：.
四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 已知，，是同一平面内的三个向量，其中
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且，求与的夹角
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意设，根据向量模的坐标表示求出，即可得解；
（2）依题意可得，根据数量积的运算律和定义求出，即可得解.
【小问1详解】
，，
，且，
，解得，
或；
【小问2详解】
，则，
，
，即，即，
，
，
，．
16. 设函数．
（1）求的值；
（2）若，且，求的值．
【答案】（1）2；（2）
【解析】
【分析】先将函数解析式化简整理得到，
（1）将代入解析式，即可得出结果；
（2）先由得到，根据题中范围求出，再由展开，代入数据，即可得出结果.
【详解】由题意
（1）所以；
（2）∵，∴，
又，∴，∴，
所以．
【点睛】本题主要考查三角函数化简求值的问题，熟记公式即可求解，属于常考题型.
17. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，且，且.
（1）求角；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量垂直得数量积为0，由数量积坐标表示及正弦定理可得角；
（2）根据余弦定理，及，，，配方可求解出，再利用三角形的面积公式求解即可.
【小问1详解】
∵，∴，
由正弦定理得，是三角形内角，，
∴，，是三角形内角，∴；
【小问2详解】
由余弦定理得：，
又，，，
所以，解得，
则的面积.
18. 已知，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）若且，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由，，可求出，从而可求出，进而利用正切的二倍角公式可求得答案；
（2）先利用两角和的余弦公式展开，再利用二倍角公式求解；
（3）先由已知条件求出，再利用展开代值可求得结果
【小问1详解】
因为，，则，
所以.
【小问2详解】
由（1）可知：，
所以
.
【小问3详解】
因为，，且，则，
可得，
所以.
19. 如图，在平面四边形ABCD中，，，．
（1）若，求面积；
（2）若，求BC．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据求得，再结合求解即可
（2）设，再在中利用正弦定理得出关于的方程，再根据三角函数恒等变换化简求解即可
【小问1详解】
由可得，又故，故
【小问2详解】
设，则，，在中，由正弦定理可得，即，交叉相乘化简得，即，利用降幂公式有，利用辅助角公式有，故，利用诱导公式可得，故，又，解得，又由正弦定理有，故