甘肃省兰州市安宁区西北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期12月模拟检测数学试题

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（本卷满分150分，考试时间120分钟）
第I卷（非选择题 共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．已知两个非零向量，，则这两个向量在一条直线上的充要条件是( )。
A、 B、
C、 D、存在非零实数，使
2．已知焦点在轴上的双曲线的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为( )。
A、 B、 C、 D、
3．为达成“碳达峰､碳中和”的目标，我们需坚持绿色低碳可持续发展道路，可再生能源将会有一个快速发展的阶段．太阳能是一种可再生能源，光伏是太阳能光伏发电系统的简称，主要有分布式与集中式两种方式．下面的图表是近年来中国光伏市场发展情况表，则下列结论中正确的是（ ）
A．2013~2020年，年光伏新增装机规模同比(与上年相比)增幅逐年递减
B．2013~2020年，年光伏发电量与年份成负相关
C．2013~2020年，年新增装机规模中，分布式的平均值大于集中式的平均值
D．2013~2020年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关
4．已知数列满足，设，为数列的前n项和.若对任意恒成立，则实数t的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
5．“是“函数与轴只有一个交点”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
6.在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
7．若函数满足，则的值为（ ）．
A．1B．2C．0D．
8．已知是定义在上的偶函数，当时，（其中为的导函数），若，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相垂直，则实数( )。
A、 B、 C、 D、
10．下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
11．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在处取得极大值B．有两个不同的零点
C．D．若在上恒成立，则
12．已知等比数列首项，公比为，前项和为，前项积为，函数，若，则（ ）
A．为单调递增的等差数列B．
C．为单调递增的等比数列D．使得成立的的最大值为6
第II卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．朱载堉（1536-1611）是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制作了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为，第七个音的频率为，则______．
14．若函数图象在点处的切线方程为，则的最小值为__________．
15．如图所示，是正四棱锥，是正方体，其中，，则点到平面的距离为 。
16．已知，则的值是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．设数列的前n项和为，从条件①，②，③中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.已知数列的前n项和为，，____.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n和.
18．（本小题满分12分）
如图，已知的边所在直线的方程为，满足，点在边所在直线上且满足。
(1)求边所在直线的方程；
(2)求外接圆的方程；
(3)若动圆过点，且与的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程。
19．（本小题满分12分）
如图所示，在三棱柱中，底面为正三角形，在底面上的射影是棱的中点，于点。
(1)证明：平面；
(2)若，求与平面所成角的正弦值。
20．如图，定义在上的函数的图象由一条线段及抛物线的一部分组成．
(1)求的解析式；
(2)写出的值域．
21．已知数列满足
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：.
22．已知函数，其中.
（1）讨论的单调性.
（2）是否存在，对任意，总存在，使得成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.