河北省沧衡名校联盟2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题含答案

这是一份河北省沧衡名校联盟2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知，则，已知复数，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，不等式，三角函数与解三角形，平面向量，复数，数列．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，若，则
A.1B.2C.3D.4
2.已知，则下列不等式一定成立的是
A.B.C.D.
3.在等比数列中，，则
A.B.81C.D.243
4.甲、乙、丙三人进入某比赛的决赛，若该比赛的冠军只有1人，则“甲是冠军”是“乙不是冠军”的
A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
5.已知，则
A.B.C.D.
6.溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用pH值来表示溶液的酸碱度．pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．已知A溶液中氢离子的浓度是0.135摩尔/升，则A溶液的pH值约为（参考数据：
7.如图，AB是圆的一条直径，CD是圆的一条弦，点在线段CD上，若6，则的最小值是
A.41B.50C.82D.100
8.已知函数在内恰有两个零点，则的取值范围是
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9.已知复数，则
A.B.
C.D.在复平面内对应的点位于第一象限
10.设的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则下列结论正确的是
A.B.的外接圆的面积是
C.的面积的最大值是D.的取值范围是
11.已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则
A.B.的图象关于直线对称
C.的图象关于点中心对称D.当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量，若，则______．
13.正偶数排列如图所示，表示第行第个数，如，若，则______.
14.已知函数，若对任意的成立，则正数的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
（1）求的大小；
（2）若，且的面积是，求的值.
16.（15分）已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若过点可作曲线的三条切线，求的取值范围.
17.（15分）设数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）若求数列的前项和.
18.（17分）已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）求的单调递减区间；
（3）若存在，使得不等式成立，求的取值范围.
19.（17分）若存在有限个，使得，且不是偶函数，则称为“缺陷偶函数”，称为的偶点.
（1）证明：为“缺陷偶函数”，且偶点唯一．
（2）对任意，函数都满足.
①若是“缺陷偶函数”，证明：函数有2个极值点.
②若，证明：当时，.
参考数据：.
沧衡名校联盟高三年级2024-2025学年上学期期中考试数学参考答案
1.B由题意可得，解得.
2.C对于A，当时，不满足，则A错误.对于B，当时，，则B错误.对于C，因为，所以，所以，则，故C正确．对于D，当时，不满足，则D错误.
3.D设数列的公比为，则，解得，故．
4.B若甲是冠军，则乙不是冠军；若乙不是冠军，则甲是冠军或丙是冠军.故“甲是冠军”是“乙不是冠军”的充分不必要条件．
5.A由题意可得解得，则.
6.B由题意得.
7.C如图，连接PO.由题意得是线段AB的中点，所以.因为，所以，所以.因为，所以圆心到直线CD的距离，所以，所以100，故的最小值是82.
8.D因为，所以.因为在内恰有两个零点，所以，解得.
9.ACD因为，所以，所以，则A正确，B错误.因为，所以，则C正确.因为，所以在复平面内对应的点为，位于第一象限，则D正确．
10.BCD因为，所以，所以，因为，所以，又，所以，则A错误.设的外接圆的半径为，由正弦定理可得，则的外接圆的面积是，则B正确.由余弦定理可得，即.因为，当且仅当时，等号成立，所以3，所以的面积，则C正确.由正弦定理可得，则，所以.因为，所以，所以，所以，即的取值范围是，故D正确．
11.ACD因为，所以，因为，所以，则A正确．因为是定义在上的奇函数，所以，所以．因为，所以的图象不关于直线对称，则B错误．因为，所以．因为是定义在上的奇函数，所以，所以，所以的图象关于点中心对称，则C正确．因为是定义在上的奇函数，所以，所以当时，．设，则，所以.因为，所以，则D正确.
12.因为，所以.因为，所以，解得.
13.23由题意可知第行有个数，则前行一共有个数.当时，，当时，，则2024在第45行，即.因为，所以，则.
14.由，即，得.因为，所以.设，则.因为，所以，所以在上单调递增.因为，所以.因为，所以1，又因为在上单调递增，所以，所以，所以.设，则.由，得，则在上单调递减；由，得，则在上单调递增.故，即.
15.解：（1）因为，所以…………………1分
因为，所以，所以，………………………………………2分
所以，即，………………………………………4分
所以，又，所以.……………………………………………………6分
（2）因为的面积是，所以，解得.……………………8分
由余弦定理可得，即，…………………………………9分
则，…………………………………………………………………………………11分
即，…………………………………………………………………………12分
故.…………………………………………………………………………………………13分
16.解：（1）因为，所以，……………………………1分
所以，………………………………………………………………………………3分
则所求切线方程为，即（或）.………………………5分
（2）设过点的切线的切点为.
由（1）可知，则所作切线斜率.…………………6分
由直线的斜率计算公式可得，……………………………………7分
则，所以.………………………8分
因为过点可作曲线的三条切线，所以关于的方程有三个不同的实数根．……………………………………………………………………………………9分
设函数，则.………………10分
由，得或，则在和上单调递增；……………………11分
由，得，则在上单调递减.…………………………………………12分
由题意可得………………………………………14分
解得，即的取值范围为.………………………………………………15分
17.解：（1）因为，所以当时，，………………………………1分
所以，即.……………………………………………………3分
当时，，解得，………………………………………………………4分
则是首项为1，公比为3的等比数列，……………………………………………………………5分
故．……………………………………………………………………………………7分
（2）由（1）可知当为奇数时，；
当为偶数时，.……………………………………………………………………8分
当为奇数时，
…………………………………………………11分
当为偶数时，
.………………………………………………………………14分
综上，………………………………………………………15分
18.解：（1）由题意可得，则.
因为，且，所以.………………………………………………………………2分
由图可知，则，
解得.
因为，所以.……………………………………………………………………3分
由图可知，解得.……………………………………………4分
故.……………………………………………………………………………5分
（2）令，…………………………………………………………7分
解得，…………………………………………………………………9分
故的单调递减区间是.………………………………………………10分
（3）因为，所以，…………………………………………………11分
所以当，即时，取得最小值-2.…………………………………………13分
因为存在，使得不等式成立，所以0，……15分
即，解得，故的取值范围是．………………………………………17分
19.证明：（1）由，得，
则，…………………………………………………………………………1分
解得，所以只有1个偶点，且偶点为0，
所以为“缺陷偶函数”，且偶点唯一．……………………………………………………3分
（2）由题意得对恒成立，………………………4分
所以存在常数，使得…………………………………5分
令，得解得.……………………………………6分
①，由，得，
即，则，即．…………………………………………………………7分
，
因为，所以必有两根（设），………………………………8分
当或时，，当时，，
所以函数有2个极值点．…………………………………………………………9分
②若，则，…………………………………………………10分
当时，要证，只需证.
因为，所以，
所以只需证.……………………………………………………………………12分
设函数，
则.
当时，，则在上单调递减，当时，0，则在上单调递增，………………………………………………………………14分
所以.因为，
所以，………………16分
所以，从而，
故当时，.……………………………………………………………………17分