山西省吕梁市2024-2025学年高三上学期11月阶段性测试数学试题含答案

这是一份山西省吕梁市2024-2025学年高三上学期11月阶段性测试数学试题含答案，共27页。试卷主要包含了保持卡面清洁，不折叠，不破损等内容，欢迎下载使用。
（本试题满分150分，考试时间120分钟．答案一律写在答题卡上）
注意事项：
1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．
2．答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先解二次不等式化简集合，再利用集合的交集运算即可得解.
【详解】因为，
又，所以.
故选：D.
2. 已知复数，则（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的乘方运算求出，再利用复模的运算即可得解.
【详解】复数，所以.
故选：A.
3. 下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇偶性、单调性的定义判断．
【详解】选项A中是偶函数，BCD三选项中函数都是奇函数；
在和上都是减函数，但在定义域内不是减函数，B错；
结合幂函数性质知是减函数，C正确；
中，设，则，而，
因此，即，是增函数，D错．
故选：C．
4. 已知数列的各项均不为0，设甲：；乙：数列是等比数列，则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先验证甲是否能推出乙，再验证乙是否能推出甲求解.
【详解】验证甲是否能推出乙，甲的意思是该数列隔项成等比数列，
甲可构造数列，
显然甲推不出乙，验证乙是否能推出甲，
因为数列是等比数列，所以，，
所以，
所以乙能推出甲，所以甲是乙的必要不充分条件.
故选：B.
5. 已知满足，，且向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】令，过作于，利用投影向量的意义求出，再利用垂直关系的向量表示，结合数量积的运算律求出，由给定向量等式确定点的位置即可求解.
【详解】在中，令，过作于，，
由向量在向量上的投影向量为，得，
解得，则，由，得
，解得，由，
得，即，因此，
在中，.
故选：C

6. 如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，记的周长为，面积为，则的最大值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意设，利用三角形全等得到的周长为4，再利用勾股定理得出关于的表达式，进而得到关于的表达式，利用换元法与基本不等式即可得解.
【详解】因为矩形的周长为，
设，则，故，得，
因为，，，
所以，设，则，
所以的周长为，
在直角中，由勾股定理得，解得，
则，所以，
令，则，，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最大值为.
故选：A.
7. 已知函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据条件得到的周期和对称轴，对A，根据周期可得到，再根据对称轴得到，结合解析式即可求解；对B，根据周期可得到，再根据对称轴得到，结合解析式即可求解；对C，D，结合函数在上的单调性和的对称性即可判断.
【详解】偶函数，，即，
即函数关于对称，
又为奇函数，，
故，即的最小正周期为4，
对A，的最小正周期为4，，
又关于对称，，
当时，，则，
即，故A错；
对B，的最小正周期为4，，
又关于对称，，
当时，，
即，故，故B错；
对C，当时，，易知在上单调递增，
又关于对称，，
，，即，
故，故C错误；
对D，，
且，
故，故D对.
故选：D.
8. 当时，曲线与的交点个数为4个，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意分别作出与的图象，可得，从而可求解.
【详解】由，如图所示，画出在时的图象，
对于，，，
令，得，，得，，
由与的图象有个交点，
由图知，解得，故B正确.
故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题正确的是（ ）
A.
B.
C. 在等差数列中，，，，则
D. 在等差数列中，为其前项和，若，，则
【答案】AC
【解析】
【分析】对于AB，由弦切互化结合三角恒等变换公式即可计算求解；对于CD，由等差数列通项公式和前n项和公式即可计算求解.
【详解】A选项，
，A选项正确.
B选项，
，所以B选项错误.
C选项，在等差数列an中，，，，
设等差数列的公差为，则，
两式相减得，所以，
则，所以，C选项正确.
D选项，设等差数列an的公差为，则，
即，两式相减得，
所以，所以D选项错误.
故选：AC
10. 若实数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】将等式变形为，利用可得选项A正确；通过配方得，利用可得选项B错误；
等式可变形为，利用可得选项C正确；通过配方可得，利用可得选项D正确.
【详解】对于A，可化为，，
∵（当且仅当时取等号），
∴，
∴，
∴，选项A正确.
对于B，由得，
∴，
∴，选项B错误.
对于C，由得，
∴，
∵（当且仅当时取等号），
∴，
∴，
∴，选项C正确.
D. 由得，
∴，
∴.
由得，
∴，
∴，选项D正确.
故选：ACD.
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 有两个零点
C.
D. 若，，，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，求出定义域，求导，得到函数在上单调递减，举出反例得到A错误；B选项，在A选项基础上，结合零点存在性定理进行求解；C选项，计算出，C正确；D选项，计算得到，在C选项基础上求出D正确.
【详解】A选项，定义域为，
，
故在上单调递减，
不妨取，此时满足，但，
，，A错误；
B选项，由A选项知，上单调递减，
其中，，
，，
由零点存在性定理可知，存在，使得，
故有两个零点，B正确；
C选项，，
而，
故，C正确；
D选项，，
又，，
且，，，结合C选项知，，
则，D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：互为倒数关系，从而研究得到，并由此得出D选项的思路，由求出.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，，且，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量共线的坐标表示即可求解.
【详解】由向量，，
则，
又，则，解得，
故答案为：
13. 对于数列，定义数列为数列的“和数列”，若，数列的“和数列”的通项公式为，则数列的前21项和______．（结果保留指数形式）
【答案】．
【解析】
【分析】利用等比数列求和公式求解即可．
【详解】因为，数列an的“和数列”的通项公式为，
所以数列，
，
故答案为：．
14. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题根据余弦定理与正弦定理进行化简，得到为，求出的范围，结合对勾函数的特点，即可求得.
【详解】由题意，因为，即
由正弦定理可得，，
所以或，，
又，，，
，
，解得，
，
又因为，
令，则，，
根据对勾函数的性质，函数在上单调递增，
所以，
所以则的取值范围为，
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题综合考查了余弦定理、正弦定理以及对勾函数性质，较为综合.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数，且的最小正周期为．
（1）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，求的最小值；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化简的解析式，根据的最小正周期求得，利用三角函数图象变换的知识求得，再根据是偶函数来求得的最小值.
（2）根据三角恒等变换的知识求得.
【小问1详解】
，
由于的最小正周期为，所以，
所以，
将函数的图象向右平移个单位长度，
得到函数，
由于是偶函数，所以，
由于，所以时，取得最小值为.
【小问2详解】
，
由于，
所以，
所以
.
16. 已知函数．
（1）证明：曲线是轴对称图形；
（2）若函数在上有三个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）证明，即可说明曲线y=fx是轴对称图形；
（2）首先求出，然后将问题转化为与的图象在上有三个交点，结合hx的图象即可求出实数的取值范围.
【小问1详解】
由函数，定义域为，
则，
因此可得，
故函数y=fx的图象关于，即曲线y=fx是轴对称图形.
【小问2详解】
由，
若函数在上有三个零点，
则方程在上有三个实根，
即在上有三个实根，
令，则与hx的图象在上有三个交点，
又，
当或时，h'x