河南省济源市2023-2024学年高二上学期期末质量调研数学试题含答案

这是一份河南省济源市2023-2024学年高二上学期期末质量调研数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（ ）
A.B.C.D.
2.过点且方向向量为的直线方程为（ ）
A.B.C.D.
3.等差数列，0，，…的第20项为（ ）
A.B.C.D.
4.若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A.，，B.，，C.，，D.，，
5.抛物线的焦点到双曲线（，）的渐近线的距离是，则该双曲线的离心率为（ ）
A.B.C.2D.
6.我国享誉世界的数学大师华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径.若，则的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
7.已知数列满足，，，则数列的第2024项为（ ）
A.B.C.D.
8.已知为坐标原点，是椭圆：上位于轴上方的点，为右焦点.延长，交椭圆于，两点，，，则的值为（ ）
A.B.C.3D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知直线：，其中，则下列说法正确的有（ ）
A.直线过定点B.若直线与直线平行，则
C.当时，直线的倾斜角为D.当时，直线在两坐标轴上的截距相等
10.已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（ ）
A.当或时，曲线是双曲线B.若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
C.当时，曲线是椭圆D.若曲线是焦点在轴上的双曲线，则
11.设是公差为的等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（ ）
A.B.C.D.
12.如图，正三棱柱中，，点为中点，点为四边形内（包含边界）的动点，则以下结论正确的是（ ）
A.
B.异面直线与所成角的余弦值为
C.若平面，则动点的轨迹的长度等于
D.若点到平面的距离等于，则动点的轨迹为抛物线的一部分
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若圆：与圆：只有唯一的公共点，则__________.
14.在平面直角坐标系中，若的坐标，满足方程，则点的轨迹是__________（填曲线的类型，填方程不给分）.
15.已知数列均为正项，且是等差数列，，则__________.
16.如图，在四棱台中，，，设，则的最小值为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）
已知圆关于直线对称，且圆与直线相切于点.
（1）求圆的标准方程；
（2）若过点的直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程.
18.（12分）
已知数列满足：，，设.
（1）求证：是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）求数列的前项和.
19.（12分）
在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记.
（1）证明：平面.
（2）当为何值时，的长最小并求出最小值；
（3）当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值；
20.（12分）
已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，.
（1）求抛物线的方程；
（2）不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，，若，求的值.
21.（12分）
如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线，交于点，，，，底面，，分别为侧棱，的中点，点在上且.
（1）求证：，，，四点共面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点到平面的距离.
22.（12分）
已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，，，的面积为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线交椭圆于，两点，若直线斜率为，直线斜率为，且.证明的面积为定值，并求此定值.
数学答案
一、单选题：
1-5 BDCDA6-8 DCB
二、多选题：
9.AC10.ABD11.AB12.BCD
三、填空题：
13.或2514.直线15.10016.
四、解答题：
17.解：（1）过点与直线垂直的直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
由，解得圆心.所以半径.
故圆的标准方程为：；
（2）①若斜率存在，设过点的直线斜率为，则直线方程为：，
即，所以圆心到直线的距离，
又因为，所以，解得.
此时直线的方程为.
②若斜率不存在，直线方程为，弦心距为2，半径，
弦长为，符合题意.
综上，直线的方程为或.
18.（1）证明：由，，可得.因为，即，.
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列.
（2）由（1）可得：，即，所以.
（3）由（2）可知：，
则，可得，
两式相减可得：.
所以.
19.解：如图，以为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，
则，，，，
因为，所以，.
（1），平面的法向量为.
因为，所以.
又平面，所以平面.
（2），其中.
，当时，最小，最小值为.
（3）由（2）可知，当，为中点时，最短，此时，
取得中点，连接，，则，
因为，，所以，，
所以或其补角为所求的角.
因为，，
所以，所以平面与平面夹角的余弦值为.
20.解：（1）由抛物线过点，且，得，.
所以抛物线方程为.
（2）由不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，，设，.
联立得.
所以，所以，所以.
因为，所以，
则.
，即，解得或.
又当时，直线与抛物线的交点中有一点与原点重合，不符合题意，故舍去.
所以.
21.解：（1）因为平面是菱形，所以，
又因为底面，所以，，
所以，，两两垂直.
以为坐标原点，以，，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立如图空间直角坐标系：
因为，，，则，，，，，因为，分别为侧棱，的中点，所以，.
因为，所以.
所以，，.
所以.由向量共面的充要条件可知，，，共面.
又，，过同一点，从而，，，四点共面.
（2）由点坐标可得，，，
又因为，所以，.
设平面的法向量，则，
取，可得，，所以，设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）由空间直角坐标系，可得，可得，
所以与平面所成角的正弦值为，则到平面的距离.
22.解：（1）由题意可得，可得，.所以椭圆的方程：.
（2）证明：当直线的斜率不存在时，设直线：（，），
代入椭圆方程，可得，
则，解得.
则的面积为.
当直线的斜率存在时，设点，，直线：
联立直线与椭圆的方程：，整理可得，，
则，
所以，
所以，满足，
所以，
又原点到直线的距离，
所以，
所以的面积为定值.
综上可证，的面积是定值.