山东省临沂市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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2024.11
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知是直线的方向向量，为平面的法向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
4 若圆与圆有3条公切线，则（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
5. 空间三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A. B. C. 7D.
6. 若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. D. 4
7. 若，两点到直线的距离相等，则（ ）
A B. C. 2或D. 2或
8. 设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在上，，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线方程可能为（ ）
A. B.
C. D.
10. 在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为，则（ ）
A. 当时，的方程是
B. 当时，以为直径的圆与的公共弦长为
C. 当时，圆的圆心在线段的延长线上
D. 以为直径圆始终与相交
11. 如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点，（，是截口椭圆的焦点）.设图中球，球的半径分别为3和1，球心距，则（ ）

A. 椭圆的中心在直线上
B.
C. 直线与椭圆所在平面所成的角为
D. 椭圆的离心率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若点是点在坐标平面内的射影，则________.
13. 若圆上恰有个点到直线的距离等于，则的取值范围是________.
14. 《九章算术》中记录“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似地下车库入口形状的几何体.如图，羡除中，四边形，均为等腰梯形，，，互相平行，平面平面，梯形，的高分别为2，4，且，，，则与平面所成角的正切值为________，异面直线与所成角的余弦值为_______
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在空间四边形中，，分别为，的中点，点为的重心，设，，.
（1）试用向量，，，表示向量；
（2）若，，，求的值.
16. 已知圆的圆心在直线上，并且经过圆与圆的交点.
（1）求的方程；
（2）直线与交于，两点，当弦最短时，求的值，并求出此时关于对称的圆的方程.
17. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为棱，中点，是与的交点.
（1）求点到平面的距离；
（2）在线段上是否存在一点，使平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
18. 在圆上任取一点，过作轴的垂线段，垂足为，点在线段的延长线上，且，当在圆上运动时，点形成的轨迹为.（当经过圆与轴的交点时，规定点与点重合.）
（1）求的方程；
（2）设的上顶点为，过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，，证明：线段的中点为定点.
19. 已知曲线，对坐标平面上任意一点，定义，若两点，，满足，称点，在曲线的同侧；，称点，在曲线的两侧.
（1）若曲线，判断，两点在曲线的同侧还是两侧；
（2）已知曲线，为坐标原点，求点集所构成图形的面积；
（3）记到点与到轴的距离之和为的点的轨迹为曲线，曲线，若曲线上总存在两点，在曲线两侧，求曲线的方程和实数的取值范围.