2024~2025学年浙江省台州市三校高一(上)期中联考数学试卷(解析版)

这是一份2024~2025学年浙江省台州市三校高一(上)期中联考数学试卷(解析版)，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为集合，，故.
故选：B.
2. 下列关于，的关系式中，能表示是的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A，，当时，得，即，不满足函数定义，
故A错误；
对于B，，当时，得，即，不满足函数定义，故B错误；
对于C，即，满足函数的定义，故C正确；
对于D，，当时，得，即，不满足函数定义，故D错误.
故选：C.
3. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意得，解得，所以的定义域为.
故选：D.
4. 若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由函数在上单调递减，且，则；
由函数在上单调递增，且，则，
由，则.
故选：A.
5. 已知，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A. a＜b＜cB. c＜a＜bC. b＜a＜cD. c＜b＜a
【答案】C
【解析】函数是定义域R上的单调减函数，且，则，即，
又函数 在上单调递增，且，于是得，即，
所以a、b、c的大小关系为．
故选：C.
6. 已知实数，且“”的一个必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，得，即，
由，，得，即，
因为“”是“”的必要不充分条件，
所以，得（等号不能同时成立），解得，
即实数的取值范围为.
故选：A.
7. 过点与圆相切两条直线的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，
若切线斜率不存在时，则直线方程为，此时，圆心到直线的距离为，
不合乎题意；
当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即，
则有，整理可得，
则，
设两切线的斜率分别为、，
则、为关于的方程的两根，
由韦达定理可得，，
所以，，
所以，，
由题意，，由，解得.
故选：D.
8. 已知正实数，，满足，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，
即，
因为，则，解得，
当且仅当，即或时，等号成立，
所以的取值范围为.
故选：C.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】对于A，函数的定义域为，该函数不具奇偶性，A不是；
对于B，函数的定义域为R，，是偶函数，
当时，在上单调递减，B是；
对于C，函数的定义域为R，，是偶函数，
在上单调递减，C是；
对于D，函数的定义域为，，
是奇函数，D不是.
故选：BC.
10. 已知集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】由题意得，.
A. ，选项A错误.
B. ，选项B错误.
由集合与元素的关系得，，，选项C，D正确.
故选：CD.
11. 如图，在直棱柱中，各棱长均为，则下列说法正确的是（ ）
A. 异面直线与所成角的正弦值为
B. 当点M在棱上运动时，则直线与平面所成角的最大值为
C. 当点M在棱上运动时，最小值为
D. 三棱锥外接球的表面积为
【答案】BCD
【解析】对于A，连接，
，，四边形为平行四边形，，
异面直线与所成角即为，
，，
，
所以异面直线与所成角的正弦值为，故A错误；
对于B，连接交于点，连接，
在菱形中，，
因为平面，平面，所以，
又平面，
所以平面，
因为平面，平面，
所以平面，
所以线段的长度即为点到平面的距离，
在等边三角形中，，
则直线与平面所成角的正弦值为，
当点与点重合时，取得最小值，
所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为，
所以直线与平面所成角的最大值为，故B正确；
对于C，将四边形与沿着棱展开得四边形，
则的最小值即为，故C正确；
对于D，，，是边长为的正三角形，
的外接圆半径，
三棱锥外接球半径，
三棱锥外接球表面积，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 命题“，”的否定是______．
【答案】，
【解析】因为全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，
所以命题“，”的否定是“，”.
13. 已知，若，，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】因为，
若，，可知，则，可得，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
14. 设函数，若且，则当取得最小值时__________.
【答案】
【解析】因为函数，
又因为且，则，
所以，所以，
则，
则当取得最小值时，
所以，所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知全集，集合，.
（1）求和；
（2）已知，写出集合的所有非空子集.
解：（1）因为，，
则，.
（2）因为全集，，则，
所以，集合的所有非空子集为：、、、、、、.
16. 设．注：.
（1）证明：；
（2）若，求的最小值．
解：（1），
．
均不为0，则，
．
（2）由可知．
，
当且仅当时，取等号，．
的最小值为.
17. 已知集合，.
（1）当时，求；
（2）已知“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围.
解：（1），得，所以.
，
当时，，.
（2）因为“”是“”的必要条件，所以.
当时，，不符合题意；
当，即时，，符合题意；
当时，，所以，解得.
综上所述：.
18. 已知函数.
（1）解不等式；
（2）若，试判断的单调性，并用定义证明.
解：（1）令，则，
原不等式可化为，解得，
即，可得，故原不等式的解集为.
（2）在上为增函数，证明如下：
因为，
任取，，且，
则.
因为，则，，
可得，即，
所以函数在上为增函数.
19. 已知函数，且.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）若，试判断函数的单调性.并求使不等式在R上恒成立的的取值范围；
（3）若，且在上的最小值为，求的值.
解：（1）函数的定义域为R，，
所以函数奇函数.
（2）由，，得，则，
显然函数，在R上单调递增，
因此函数是R上的增函数，
不等式，
则，，，
于是，当且仅当时取等号，因此，
所以的取值范围是.
（3）由，得，而，解得，则，
，
令，由（2）知，函数是R上的增函数，当时，，
，当时，函数在上单调递增，
当时，，解得与矛盾；
当时，时，，则，
所以.