2023~2024学年山东省济南市莱芜区九年级(上)期末数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省济南市莱芜区九年级(上)期末数学试卷(解析版)，共19页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 下列几何体中，俯视图是三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解：A、俯视图是圆，故本选项不合题意；
B、俯视图是三角形，故本选项符合题意；
C、俯视图是有圆心的圆，故本选项不合题意；
D、俯视图是圆，故本选项不合题意．
故选：B．
2. 下列函数中，随的增大而减小的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】、由可知，则在每一象限内，随的增大而减小，此选项符合题意；
、由可知，则随的增大而增大，此选项不符合题意；
、由可知抛物线开口向下，当时，随的增大而增大，此选项不符合题意；
、由可知，则随的增大而增大，此选项不符合题意；
故选：．
3. 不透明的盒子中装有红色棋子和蓝色棋子若干个；其中红色棋子15个．每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到蓝色棋子的概率是，则蓝色棋子个数是（ ）
A. 5B. 10C. 15D. 20
【答案】A
【解析】解：设蓝色棋子有个，由题意得，，
解得：，
经检验：是方程的解，
∴蓝色棋子有5个，
故选：A．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 相等的圆心角所对的弧相等
B. 平分弦的直径垂直于弦
C. 圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角
D. 圆的切线垂直于半径
【答案】C
【解析】解：A、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，选项错误；
B、平分弦（不是直径）直径垂直于弦，选项错误；
C、圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角，选项正确；
D、圆的切线垂直于过切点的半径，选项错误；
故选C．
5. 如图，在中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：由题意知，，
∴，
故选：D．
6. 如图，是的切线，是切点，是弦，过圆心，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B.
7. 如果，点，都在反比例函数的图象上，那么的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵，，
∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随的增大而增大，
∵，点，都在反比例函数的图象上，
∴，
故选：D．
8. 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则此圆锥底面圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：设此圆锥底面圆的半径为，
根据扇形的周长等于底面圆的周长可得，，
解得，
圆锥底面圆的半径为，
故选：C．
9. 已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象与反比例函数的图象在同一坐标系中大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】解：∵二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，，
∵对称轴，
∴，
∴直线过二、三、四象限，反比例函数的图象位于一、三象限，
故选A．
10. 已知：二次函数．下列结论：
①抛物线的开口向上，当时，随增大而增大；
②当时，抛物线与轴有两个交点；
③若关于的一元二次方程，在的范围内有实数根，则的取值范围是；
④抛物线与直线可以存在唯一公共点．
⑤若是抛物线上的两点，则．
其中正确的个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随增大而增大；故①正确；
当时，，
∴抛物线与与轴没有交点，故②错误；
若关于的一元二次方程，在的范围内有实数根，
则：时，，时，，
∴，
∴；故③正确；
联立，得：，
，
∴抛物线与直线有2个交点，故④错误；
∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大，
∵，
∴；故⑤正确；
故选B．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请直接填写答案．）
11. 线段的正投影，其形状可能是______．（写出一个即可）
【答案】线段或点
【解析】解：线段的正投影，其形状可能是线段，也可能是一个点，
故答案为：线段或点．
12. 圆中一条弦所对的圆心角是，则这条弦所对的圆周角的度数是______．
【答案】或
【解析】解：当弦所对的弧为劣弧时，
∵该弦所对的圆心角是，
∴这条弦所对的圆周角的度数是；
当弦所对的弧为优弧时，则：这条弦所对的圆周角的度数是；
故答案为：或．
13. 抛物线图象向左平移3个单位，再向上平移7个单位，所得图象的解析式为，则______．
【答案】
【解析】解：，
将该函数图象向左平移3个单位，再向上平移7个单位，
得：，
∴，
故答案为：．
14. 如图，正方形的边在正六边形的边上，则______度．

【答案】
【解析】解：正六边形的内角和为，
，
四边形正方形，
，
，
故答案为：．
15. 如图1，一个扇形纸片的圆心角为，半径为10．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为______．（结果保留）
【答案】
【解析】解：由题意可得，
在中，，
∴，
∴，；
∴；
∴阴影部分的面积；
故答案为：．
16. 如图，在中，，延长斜边到点，使，连接，若，则______．
【答案】
【解析】解：如图，作交于，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. 计算：
解：原式
．
18. 已知两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点．
（1）求一次函数的解析式和的值；
（2）求的面积．
解：（1）由题意可得：点在反比例函数图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
将代入，得：，即，
∵一次函数图象经过，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）设一次函数的图象与轴交于点，
当时，，
∴点，
∴，
∴．
19. 莱芜红石公园西北角有一红色八角空心七层宝塔“赢圣塔”．某校数学兴趣小组的同学对其高度进行了测量．如图，他们在处仰望塔顶，测得仰角为，再往楼的方向前进至处，测得仰角为，问该塔的高度为多少？（学生的身高忽略不计，，结果精确到）
【答案】
【解析】解：设“赢圣塔”的高度，由题意可知，
∵，则，
∴，
∵，
∴，
在中，∵，
∴，
即，
∴，
答：塔的高度约为．
20. 如图，是的弦，是的半径，垂足为是的切线，为切点，连结并延长交切线于．
（1）求证：；
（2）若，求的长（结果保留）．
解：（1）证明：∵
，
∵是的切线，
∴，
∴
；
（2）解：∵
，
又∵
是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴的长．
21. 在一个不透明的口袋里装有四个分别标有汉字“大”、“美”、“云”、“南”的小球，这些小球除标的汉字不同之外，没有任何区别．标有汉字“大”、“美”、“云”、“南”的小球分别用学母“A”，“B”，“C”，“D”表示．
（1）若从袋中任取一个球，则球上的汉字刚好是“美”的概率为___________；
（2）若同时从袋中任取两个球，请用列表法或画树状图法求取出的两个球上的汉字恰能组成“大美”或“云南”的概率
解：（1）∵袋里装有四个分别标有汉字“大”“美”“云”、“南”的小球，
∴任取一个球，则球上的汉字刚好是“美”的概率
（2）列表格，如图.
由表格可知恰能组成“大美”或“云南”的次数为4，所有可能出现的结果数为12，
∴事件A的概率．
22. 随着数字转型世界大会的召开，引领时尚，无人机走进人们生活．周末数学小达人小华利用无人机来测量汶河上，两点之间的距离（，位于同一水平地面上），如图所示，小华站在处遥控空中处的无人机，此时他的仰角为，无人机的飞行高度为，并且无人机测得河岸边处的俯角为，若小华的身高，（点，，，在同一平面内）．

（1）求小华的仰角的正切值；
（2）求、两点之间的距离．
解：（1）作于，于，

无人机的飞行高度为，
，
由题意可得，四边形是矩形，
，
，
，，
在中，，
，
；
（2）四边形是矩形，
，
无人机测得河岸边处的俯角为，
，
，即，解得，
，
，两点之间距离．
23. 随着科技的日新月异，冬天人们也可以吃到香甜可口的草莓，草莓被誉为“水果皇后”．近日“牛奶草莓”上市，深受广大消费者的青睐，市场销售情况喜人．某水果店以每公斤30元的价格购进一批“牛奶草莓”，若按每公斤46元的价格销售，平均每天可售出65公斤，结合销售记录发现，若售价每降低2元，平均每天的销售量增加10公斤，水果店恰遇店庆，为答谢新老顾客，该水果店决定降价销售．
（1）若一次降价4元，则每天的销售利润为多少元；
（2）销售单价定为每公斤多少元时，每天销售“牛奶草莓”获得的利润最大？最大利润是多少元？
解：（1）根据题意，降价4元则销售量为：，
销售利润为：，
答：若降价4元，则每天的销售利润是1020元；
（2）设每公斤销售单价降了元，根据题意得：
，
∵
当时，有最大值，最大值为1051.25，此时，
答：销售单价定为每公斤44.5元时，每天销售“牛奶草莓”获得的利润最大，最大利润是1051.25元．
24. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为．
（1）求证：是的切线；
（2）若，且的半径，求的长．
解：（1）证明：连接，
∵，
∴
，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，即，
∴
是的切线；
（2）解：∵，且的半径，
∴，
∴
，
∵
，
∴，
∴
．
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，将直线向上平移个单位，与轴交于点，与双曲线交于点．
（1）求反比例函数和直线的表达式；
（2）求点的坐标；
（3）在轴上是否存在一点，使是以为腰的等腰三角形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）把代入中，得，
解得，
，
，
，
，且直线向上平移个单位，
∴直线表达式为；
（2）由题意得：，
，
，（舍去），
∴，
；
（3）设，
当时，，
解得，
；
当时，，
解得，
；
综上所述，点坐标为或．
26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将点沿轴向右平移4个单位长度得到点，抛物线经过点，，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，在直线上方的抛物线上，是否存在一点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点在抛物线的对称轴上，点在轴上，若以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形，请求出的坐标．
解：（1）∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∵将点沿轴向右平移4个单位长度得到点，
∴，
∴设抛物线表达式为，
将代入得，
∴抛物线表达式为；
（2）存在点，使的面积最大．
过点作轴于，交直线于点，
设，则，由题意得：，
故，
∴当时，最大．此时，，
∴；
（3）∵，
∴对称轴为直线，
设，当以点为顶点，为边的四边形为平行四边形时，
∵
∴点向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点，
∴点向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点，或点向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点，
∴且，
∴或，
∴或．大
美
云
南
大
（大，美）
（大，云）
（大，南）
美
（美，大）
（美，云）
（美，南）
云
（云，大）
（云，美）
（云，南）
南
（南，大）
（南，美）
（南，云）