贵州省黔东南苗族侗族自治州2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份贵州省黔东南苗族侗族自治州2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．在正方体中，下列向量与平行的是( )
A.B.C.D.
2．直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
3．已知点，，则( )
A.B.C.D.
4．下列命题正确的是( )
A.一条直线的方向向量是唯一的
B.若直线l的方向向量与平面的法向量平行，则
C.若平面的法向量与平面的法向量平行，则
D.若直线l的方向向量与平面的法向量垂直，则
5．直线在x轴､y轴上的截距之和的最小值为( )
A.B.C.D.10
6．在正四面体中，E为棱的中点，，则( )
A.B.3C.D.6
7．已知O为坐标原点，点A在圆上运动，则线段的中点P的轨迹方程为( )
A.B.
C.D.
8．已知点，，H在直线上，则的最小值为( )
A.B.C.3D.
二、多项选择题
9．已知直线，则( )
A.当时，
B.当时，
C.不存在实数m，使得
D.与直线之间的距离为
10．已知几何体为长方体，则( )
A.在方向上的投影向量为
B.在方向上的投影向量为
C.在方向上的投影向量为
D.在方向上投影向量为
11．已知圆与圆，则下列结论正确的是( )
A.若圆与圆外切，则或
B.当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为
C.若圆与圆关于点对称，则
D.当时，对任意的，曲线恒过圆与圆的交点
三、填空题
12．已知直线经过定点A，则点A的坐标为__________.
四、双空题
13．曲线的长度为__________，若直线与曲线C有公共点，则m的取值范围是__________.
14．如图，在四棱台体中，平面，底面为正方形，，则该四棱台的体积__________，直线与平面所成角的正弦值为__________.
五、解答题
15．已知的三个顶点的坐标分别为，，.
(1)求过点C且与直线平行的直线的方程；
(2)求边上的高所在直线的方程
16．已知直线，圆.
(1)若，判断直线l与圆C的位置关系；
(2)若，直线l与圆C交于A，B两点，求.
17．在三棱锥中，平面平面，，，O，D分别为棱，的中点，E为上靠近点D的三等分点
(1)证明：平面
(2)求二面角的余弦值
18．如图，平面，，，，H，G分别为线段，的中点，，P为线段上的点，且直线与平面所成角的正弦值为.
(1)证明：平面；
(2)求点P到平面的距离
19．已知圆，点在圆C上，点D，G在x轴上，且关于y轴对称
(1)圆C在点Q处的切线的斜率为，直线QD，QG的斜率分别为，，证明：为定值
(2)过点Q作轴，垂足为E，，点D满足.
①直线AD与圆C的另一个交点为F，且F为线段AD的中点，，求r；
②证明：直线QG与圆C相切
参考答案
1．答案：A
解析：如图，在正方体中，
故选：A.
2．答案：C
解析：由得，
所以直线的斜率
即，
又
所以倾斜角.
故选：C.
3．答案：A
解析：由题意可得，
.
故选：A.
4．答案：B
解析：对于A一条直线的方向向量不唯一，A错误；
对于B:若直线l的方向向量与平面的法向量平行，则，B正确
对于C:若平面的法向量与平面的法向量平行，则，C错误
对于D:若直线l的方向向量与平面的法向量垂直，则或，D错误
故选：B.
5．答案：A
解析：
可化为，
则直线
在x轴､y轴上的截距之和为，
当且仅当时，等号成立，
所以截距之和的最小值为.
故选：A.
6．答案：B
解析：因为E为棱的中点，所以，
所以
故选：B.
7．答案：D
解析：设，，
则，，即，①.
因为点A在圆上运动，
所以满足②
把①代入②，得，
即.
故线段OA的中点P的轨迹方程为.
故选：D
8．答案：D
解析：如图，设P关于直线对称的点为，
则
解得，
则，
所以.
故选：D
9．答案：BCD
解析：对于选项AB：若，
则，即，故A错误，B正确；
对于选项C：若，则，即，
此时，即与重合，故C正确；
对于选项D：与直线之间的距离为，故D正确
故选：BCD.
10．答案：AC
解析：如图：
在长方体中，
因为平面，
所以，所以在方向上的投影向量为，即A正确；
因为在中，，
所以与不垂直，
所以在方向上的投影向量不是，即B错误；
因为，，所以在方向上的投影向量为，即C正确；
虽然，但与不垂直，
所以在方向上的投影向量不是，即D错误
故选：AC
11．答案：ABD
解析：圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径．
若圆与圆外切，则，解得或-2，A正确．
当时，圆，圆，
将两圆的方程作差可得圆与圆的公共弦所在直线的方程为，B正确．
若圆与圆关于点对称，
则
解得，C错误．
当时，圆，圆，
则
所以对任意的，曲线W恒过圆与圆的交点，D正确．
故选：ABD
12．答案：
解析：由，得，
令,得到,
则点A的坐标为.
故答案为：.
13．答案：①；②.
解析：由，得，
则曲线C表示圆的上半部分，半径为，
故曲线C的长度为；
根据题意，作图如下：
因为圆的圆心到直线的距离，
所以，
数形结合可知，当直线经过点时，，
故当时，直线与曲线C有公共点
故答案为：；.
14．答案：①.；②
解析：
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)由，可知，
故所求直线的方程为，
即.
(2)易知，
则所求直线的斜率为3，
故所求直线的方程为，
即.
16．答案：(1)相离
(2)
解析：(1)圆C的标准方程为，
圆心为，半径.
设圆心到直线的距离为，
因为圆心C到直线l的距离，
所以直线l与圆C相离
(2)设圆心到直线的距离为，
由(1)知圆心C到直线l的距离，
所以.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)连接，，
因为，所以.
因为平面平面，
平面平面，
所以平面，
因为平面，进而
因为，所以.
以O为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，.
因为，
所以，
则，，
又，，平面，
所以平面.
(2)由(1)得，，
，.
设平面的法向量为，
则，
令，则，
所以平面的一个法向量为.
易得平面的一个法向量为.
设二面角的大小为，
则，
由图可知二面角为锐角，
故二面角的余弦值为.
18．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)因为平面，平面，
所以，以A为坐标原点，
，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示
，，，，
，
，，
设平面的法向量为，
则
令，得，得.
因为，
所以，故平面.
(2)连接.因为，，都在平面内，
所以平面，
又在平面内，则，
又，所以.
因为，H是的中点，
所以，，都在平面内，
所以平面，则为平面的一个法向量
设，，
则.
根据题意可得
解得或-1（舍去），
则.
因为平面的一个法向量为，
所以点P到平面的距离.
19．答案：(1)证明见解析
(2)①
②证明见解析
解析：(1)设，.，.
记坐标原点为O，直线OQ的斜率为，.
.
综上，为定值，定值为-2.
(2)①在中，AD为斜边，OF为斜边上的中线
所以.
又因为，
所以
.
因为，
所以
，
解得.
②因为点在圆C上，
所以.
直线AE的斜率为，直线AD的斜率为，
直线AD的方程为.
令，得，
则，.
直线QG的方程为，
即，
原点O到直线QG的距离
，
所以直线QG与圆C相切