盘锦市高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份盘锦市高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设全集,,,则( )
A.B.C.D.
2．命题“,”的否定是( )
A.,B.,
C.,D.,
3．已知,则函数的最小值是( )
A.8B.12C.16D.20
4．函数的最大值是( )
A.B.C.4D.
5．设在二维平面上有两个点,,它们之间的距离有一个新的定义为,这样的距离在数学上称为曼哈顿距离或绝对值距离.已知A,B两个点的坐标为,,如果它们之间的曼哈顿距离大于3恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
6．关于x的方程有唯一解,则m的取值集合为( )
A.B.C.D.
7．已知函数有一个零点在区间内,求实数m的取值范围是( )
A.B.或
C.或D.或
8．已知函数定义域为R的偶函数,且,当时,,则( )
A.B.0C.506D.2024
二、多项选择题
9．下列选项叙述中正确的是( )
A.“”是“”的充分不必要条件
B.“”是“”的必要不充分条件
C.若a,,则“”的充要条件是“”
D.“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
10．下列选项中正确的是( )
A.函数的定义域为
B.函数的对称中心为
C.已知函数,则
D.函数,,其中表示不超过x最大整数,则函数的最大值为l
11．已知实数a,b,c满足,则下列选项正确的是( )
A.的最大值为B.的最大值为
C.的最小值为D.当a,b,时,的最小值为8
三、填空题
12．若函数的定义域为,则函数的定义域为________.
13．已知实数x、y满足,,则的取值范围为________.
14．若不等式对一切正数x,y恒成立,则实数t的取值范围为________.
四、解答题
15．已知集合,
（1）若,求实数a的取值范围
（2）若,求实数a的取值范围
16．已知函数
（1）方程在上有两个不等实数根,求a的取值范围
（2）求解关于x不等式
17．已知定义在R上的函数满足,且当时,.
（1）求的值,并证明为奇函数
（2）求证:在R上是增函数
（3）若,解关于x的不等式
18．如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场,并且建成了高效的协同产业体系,2024年上半年新能源汽车销售469万辆,同比增长29.7%.某企业计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析,每生产x（千辆）获利（万元）,关系如下:,该公司预计2024年全年其他成本总投入为30x万元.由市场调研知,该种车销路畅通,供不应求.记2024年的全年利润为（单位:万元）.
（1）求函数的解析式;
（2）当2024年产量为多少千辆时,该企业利润最大?最大利润是多少?请说明理由.
19．在数学中,布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理,它可应用到有限维空间,并构成一般不动点定理的基石,布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（LEJBruwer）,简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数,存在点,使,那么我们称该函数为“不动点函数”,为函数的不动点.
（1）若定义在R上仅有一个不动点的函数满足,试求函数的解析式.
（2）若对任意的实数b,若函数恒有两个不动点,且满足如下条件:
①图象上两个不同点M,N的横坐标是函数的不动点;
②M,N的中点C在函数的图象上,求b的最小值.
（注:两个点,的中点C的坐标公式为）
参考答案
1．答案：D
解析：因为,,
所以,又,
所以.
故选:D.
2．答案：C
解析：“,”的否定是“,”
故选:C
3．答案：D
解析：由于,所以,
所以,
当且仅当,时等号成立,
所以函数的最小值是20.
故选:D
4．答案：B
解析：设,则,
即,
因为,所以当时,的最大值为,
故选:B.
5．答案：A
解析：已知A,B两个点的坐标为,,如果它们之间的曼哈顿距离大于3恒成立,
则恒成立,
所以恒成立,
情形一:当时,即或时,
不等式恒成立,
情形二:当时,或恒成立,
故或恒成立,
（i）当时,或恒成立,
当且仅当或恒成立,
当且仅当或符合题意;
（ii）当时,或恒成立,
当且仅当或恒成立,
当且仅当或符合题意;
综上所述,实数m的取值范围是.
故选:A.
6．答案：D
解析：由有唯一解可知有唯一解,
当时,方程为,有一解,满足题意;
当时,方程为,有一解,满足题意;
当时,由原方程可得有唯一解,
所以,解得,此时方程有一解,满足题意.
综上,m的取值集合为,
故选:D
7．答案：C
解析：当函数只有一个零点,则,解得;
当函数有两个零点,且一个零点在0,2上时,
则或或
解得或或,
综上所述,实数m的取值范围是或.
故选:C
8．答案：B
解析：因为函数定义域为R的偶函数,所以恒成立,即,
这表明的一个对称中心是,
又,这表明的一条对称轴是,
所以,这表明的周期为8,
当时,,
所以,,,,,
,,,,
所以,
所以
.
故选:B.
9．答案：BD
解析：对于A,取,满足,而,因此“”不是“”的充分条件,A错误;
对于B,,而当时,成立,显然不成立,
则“”是“”的必要不充分条件,B正确;
对于C,,而,因此“”不是“”的充要条件,C错误;
对于D,“方程有一个正根和一个负根”的等价条件是,
所以“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件,D正确.
故选:BD
10．答案：AC
解析：对于A,要使得函数有意义,则,解得,所以函数的定义域为,故A正确;
对于B,函数在处有定义,但在处无定义,所以B错误;
对于C,,故C正确;
对于D,,,使得,从而恒成立,故D错误.
故选:AC.
11．答案：ABD
解析：对于A,
,当且仅当时取等号,A正确;
对于B,,则,
当且仅当或时取等号,B正确;
对于C,由,得,
当且仅当时取等号,取,则,C错误;
对于D,a,b,,,则,当且仅当时取等号,
于是,当且仅当,时取等号,
因此当,时,取得最小值8,D正确.
故选:ABD
12．答案：
解析：若函数的定义域为,,
要使得有意义,则需,解得,
所以函数的定义域为.
故答案为:.
13．答案：
解析：通过观察可知,
由于,则,
而,所以.
故答案为:
14．答案：
解析：不等式对一切正数x,y恒成立当且仅当不等式对一切正数x,y恒成立,
令,所以恒成立,
所以不妨让,
则
,等号成立当且仅当,
综上所述,当时,有最大值1,
所以t的取值范围为.
故答案为:.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）若,这意味着一元二次方程有实数解,
所以或,
所以实数a的取值范围为;
（2）;
若,则当且仅当,
情形一:若,显然满足题意,此时;
情形二:若,此时不是集合A的子集,不符合题意,
若,此时,符合题意;
情形三:若或,且,则只能,此时,无解;
综上所述,实数a的取值范围为.
16．答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）因为方程在上有两个不等实数根,
所以需满足,即,
解得,
即a的取值范围为.
（2）方程的判别式,
①当,即时,方程无实数根,
所以的解集为R;
②当,即或时,方程有两相等实根,
当时,不等式的解集为,
当时,不等式的解集为;
③当,即或时,方程有两不相等实根,,
所以不等式的解集为或;
综上,当时,不等式解集为;
当时,不等式解集为;
当时,不等式解集为R;
当或时,不等式的解集为或.
17．答案：（1）,证明见解析;
（2）证明见解析;
（3）.
解析：（1）在R上的函数满足,
取,则,所以,
,取,则,
于是,
所以为奇函数.
（2）,则,由当时,,得,
,
所以在R上是增函数.
（3）由,得,
不等式,
则,由（2）知,,即,解得或,
所以原不等式的解集为.
18．答案：（1）;
（2）当2024年产量为4千辆时,该企业利润最大,最大利润是480万元.
解析：（1）依题意,,而,
所以函数的解析式为,即.
（2）当时,在上单调递减,在上单调递增,
当时,;
当时,
,当且仅当,即时取等号,
而,则当时,,
所以当2024年产量为4千辆时,该企业利润最大,最大利润是480万元.
19．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）设函数的唯一不动点为t,即,由,
得,即,于是,解得或,
当时,,由,得,解得或,有两个不动点,不符合题意;
当时,,由,得,解得,只有一个不动点,符合题意,
所以函数的解析式是.
（2）由,得,由对任意的实数b,函数恒有两个不动点,
得对任意的实数b,恒成立,于是,解得,
设函数的两个不动点为,,则,,又
于是线段的中点,即,
由点C在函数的图象上,得,
整理得,当且仅当时取等号,
所以b的最小值为.