江苏省连云港市重点高中2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题含答案

这是一份江苏省连云港市重点高中2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
用时：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合交集运算的定义求出即可.
【详解】由题意得，因为，，
所以根据交集运算的定义，两集合的公共元素为，
所以，
故答案选：D.
2. 若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出的最小值即可得．
【详解】，的最小值是，因此，
故选：B．
3. 定义在上的偶函数，在区间上单调递减，下列判断正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，对函数值比较大小即可.
【详解】∵在0,+∞单调递减，∴，故B错误；
又是偶函数，所以在上单调递增，
∴，故C错误；
而由是偶函数以及其单调性可得，
∴，故A正确，D错误；
故选：A．
4. 已知函数图象如右图所示，则的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据与的图象关于轴对称，再将的图象向右平移1个单位即可求解.
【详解】将与的图象关于轴对称，再将的图象向右平移1个单位得到，因此D符合，
故选：D
5. 设正数，满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本不等式求出最小值.
【详解】正数，满足，则，
当且仅当时取等号，所以的最小值为.
故选：A
6. 设，则“”的充要条件是（ ）
A. a，b不都为1B. a，b都不为0
C. a，b中至多有一个是1D. a，b都不为1
【答案】D
【解析】
【分析】由，求得且，即可求解.
【详解】由，可得，所以且，
所以“”的充要条件是“都不为”.
故选：D.
7. 已知函数，，则函数的值域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据解析式和函数定义域，可由定义法先求出函数的单调性，再根据单调性求出函数值域.
【详解】由题意得，设，且，
则
，
因为，所以，
又因为，
若，
则，此时，
所以在上为减函数；
若，
则，此时，
所以在上为增函数；
综上所述，函数在上为减函数，在上为增函数，
所以，
因为，
所以，
所以函数，的值域为，
故答案选：B.
8. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由绝对值定义化简函数式，结合单调性求解．
【详解】，
，则，解得，
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若，则下列各式中，成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据对数运算法则、换底公式判断．
【详解】，A错；
，B正确；
由换底公式知C正确；
，D错，
故选：BC．
10. 已知是定义在R上的奇函数，当时，fx=x2-2x，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 当x∈0,+∞时，
C. 在定义域R上为减函数D. 不等式的解集为
【答案】AC
【解析】
【分析】利用奇函数的定义求解在给定区间外的函数表达式，然后分析函数的单调性，最后求解不等式即可
【详解】利用奇函数的性质，对于所有，，
因为是奇函数，对于所有，
，
因此，
所以A正确；B错误；
当，函数的导数为，
在时，，所以函数在内是减函数，
当，的导数为，在时，，
所以函数在内是减函数，故在整个定义域R上是减函数；故C正确；
若， 当时，，即
因为在整个定义域R上是减函数，
解得，即，所以选项D错误；
故选：AC.
11. 关于的方程的两实根为，，且，，则（ ）
A. B. 的最小值为4
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据韦达定理可得，即可代入求解A，根据基本不等式即可求解B，利用，结合基本不等式即可求解CD.
【详解】由的两实根为，可得，
故，或，
对于A，，A正确，
对于B，由，，可得，故，当且仅当时取等号，故B正确，
对于C，由可得，
故，
当且仅当，即取等号，故C错误，
对于D，由可得，故，当且仅当，即时取等号，故D正确，
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的定义域是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义即可求得定义域.
【详解】解：由解析式可知，
故函数的定义域为：
13. 若集合，则______.
【答案】1
【解析】
分析】利用集合相等，分和两种情况求解.
【详解】当时，，即，则；
当时，，解得，此时，即，则，
综上：.
故答案为：1
14. 若，则的最小值是________.
【答案】
【解析】
【分析】用反证法证明的最小值不小于，再确定能等于，即可得．
详解】由题意，
若存在使得，则，
因此，但，
因此假设错误，不存在使得，
所以的最小值不小于，
又时，，
所以的最小值为，
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）化简求值：；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）11；（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数幂以及对数的运算性质即可求解，
（2）根据指数幂的性质可得，即可利用立方差公式求解.
【详解】（1）原式=
.
（2）因为，两边平方得，
所以.
16. 设为实数，集合，.
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先化简集合A，再由得到求解；
（2）分和时，由求解.
【小问1详解】
解：由得，
则.
若，则，
所以，解得.
【小问2详解】
当时，有，则；
当时，则，或，
解得或.
综上，实数的取值范围是
17. 定义在的函数满足，且当时，.
（1）证明：函数是奇函数；
（2）判断函数在上的单调性并证明.
【答案】（1）证明见解析
（2）函数在上单调递减，证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用函数奇偶性的定义证明；
（2）利用函数的单调性的定义证明.
【小问1详解】
证明：函数的定义域为R，
令，得：，，
再令，则，
即f-x=-fx，
所以函数在R上是奇函数.
【小问2详解】
在R上是单调递减函数，
证明如下：
任取，，且，则，
则，
因为当时，，
所以，
所以，即，
所以函数在R上单调递减.
18. 已知二次函数fx=ax2+bx+c的两个零点为和，且.
（1）求的解析式；
（2）当时，求的最小值；
（3）解关于的不等式.
【答案】（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由函数的零点性质可设，代入求解即可；
（2）由二次函数的性质讨论对称轴与区间的关系即可；
（3）讨论与零和12的关系，结合一元二次不等式解法求解即可；
【小问1详解】
因为二次函数fx=ax2+bx+c的两个零点为和，
可设，
又，
所以，解得，
所以.
【小问2详解】
因为的对称轴为，
当时，在上单调递增，；
当，即时，；
当，即时，在上单调递减，；
综上，.
【小问3详解】
由题意可得，即，
①当时，不等式的解集为，
②当时，不等式可化为，
不等式的解集为或.
③当时，不等式可化为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为.
综上，当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
19. 设函数的定义域为，若存在常数满足，且对任意的，总存在，使得，称函数为函数.
（1）求证：函数是函数；
（2）若函数是函数，求实数；
（3）若函数是函数，求实数.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用函数为函数的定义求解.
（2）法一：根据函数是函数，先由不成立，得到或；再根据函数的新定义，由，转化为，令，根据在单调递减，由求解；法二：根据函数是函数及在是增函数，由求解；
（3）法一：由，得到，从而，再由函数是函数，化简得到，由求解；法二：同上，由求解.
【小问1详解】
解：任取，总存在，
使得，
所以是函数.
【小问2详解】
法一：因为函数是函数，
若，则当时，，
此时不存在，使得，
所以或；
若任取，存在，使得，
所以，化简得，
令，
因为在单调递减，
所以
当时，得，
当时，得，
综上所述.
法二：因为函数是函数，若，则当时，，
此时不存在，使得，
所以或；
若任取，存在，使得，
只需满足即可，因为在是增函数，
故有，即，
解得.
【小问3详解】
法一：因为，所以，
所以，
又
所以函数为增函数；
函数函数，
所以任取，存在，使得，
化简得，
，得，所以.
法二：因为，所以，所以，
又
所以函数为上的增函数；
又函数是函数，
所以任取，存在，使得，
等价于，
即，即，
解得.
【点睛】方法点睛：对任意，存在，使得，由而得解.