吉林省吉林市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题含答案

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说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码。
2.答选择题时，选出每小题答案后，用2b铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上。字体工整，笔迹清楚。
3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．
1．直线的倾斜角为
A．B．C．D．
2．圆与圆的位置关系为
A．相离 B．外切C．相交D．内切
3．若直线与直线平行，则实数
A． B． C．或 D．
4．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是
A． B． C． D．
5．如图，椭圆的两个焦点分别为，以线
段为边作等边三角形，若该椭圆恰好平分的
另两边，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
6．一条光线从点射出，经轴反射后，与圆：相切，则反射
后光线所在直线的斜率为
A．或 B．或
C．或 D．或
7．已知动点在椭圆上，若点，点满足，且，
则的最小值为
A．B．C．D．
8．如图，平面四边形中，，垂足为，，，如
图，将沿翻折至，使得平面平面，若点为线段上
的动点，则点到直线距离的最小值为
图 图
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9． 已知椭圆，下列结论正确的是
A．椭圆的长轴长是 B．椭圆的短半轴长是
C．经过椭圆焦点的最短弦长是 D．椭圆的焦点坐标分别是，
10．如图，在平行六面体中，，，与的交点为，设
，，，则
A． B．
C． D．
11．平面内与两定点距离之积为定值的点的轨迹叫做卡西尼卵形线，它的发现为人类研究土星
运行轨迹提供莫大帮助．已知平面内有一卵形线，则
A．曲线过原点
B．曲线既是中心对称图形又是轴对称图形
C．曲线上点的横坐标的取值范围是
D．曲线上任意一点到原点距离的取值范围是
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．其中第14题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．
12．点到直线：的距离为 ．
13．过直线上一点向圆作两条切线为切点，则四边形面积的最小值为 ．
14．在空间直角坐标系中，过点且一个方向向量为的直线方程为，过点且一个法向量为的平面方程为．现已知直线的方程为，则直线的一个方向向量 ，若平面经过点且同时垂直于平面与平面，则直线到平面的距离为 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知圆经过点，，且圆心在直线上．
（Ⅰ）求圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与圆的交点为，求.
16．（本小题满分15分）
如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．
（Ⅰ）求证: ；
（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值．
17．（本小题满分15分）
已知椭圆的离心率，点在椭圆上.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线与椭圆的交点为，点为坐标原点，且的面积
为，求直线的方程.
18．（本小题满分17分）
已知点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径的交点为，记点的轨迹是曲线，设经过点的直线与曲线的交点为．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）求的取值范围；
（Ⅲ）已知点，若直线与直线的斜率分别为，，求的值.
19．（本小题满分17分）
如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，且，分别为的中点.
（Ⅰ）求证: 平面；
（Ⅱ）若平面与平面的夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）在平面内是否存在点，满足若存在，请求出点的轨迹长度；若不存在，请说明理由．