河北省邯郸市重点高中2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案

这是一份河北省邯郸市重点高中2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据空间直角坐标系对称点的特征，点关于轴的对称点的坐标为只须将纵坐标、竖坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标.
【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为：，
所以点关于轴的对称点的坐标为：.
故选：B.
2. 若圆C：的半径为1，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将圆的一般方程转化为圆的标准方程即可求解.
【详解】由，得，
所以圆C的圆心为，半径为，
因为圆C：的半径为1，
所以，解得，
故实数.
故选：D.
3. 圆关于直线对称的圆的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据圆的标准方程得到圆的圆心和半径，求出圆心关于直线的对称点，进而写出圆的标准方程.
【详解】因为圆的圆心为，半径为，
且关于直线对称的点为，
所以所求圆的圆心为、半径为，
即所求圆的标准方程为.
故选：D.
4. 已知，，则点B到直线AC的距离为（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由坐标运算求出，，，进而求出，再求得在方向上的投影，然后即可求出点B到直线AC的距离.
【详解】因，，
所以，，
，
，
所以在方向上的投影为，，
所以点B到直线AC的距离为.
故选：C.
5. 已知曲线，则的最大值，最小值分别为（ ）
A. ＋2，－2B. ＋2，
C. ，－2D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得曲线表示的图形为以为圆心，2为半径的半圆，表示半圆上的动点与点的距离，作出图象，结合图象求解即可．
【详解】由，可知，，
且有，表示的图形为以为圆心，2为半径的半圆，如图所示：

又因为表示半圆上的动点与点的距离，
又因为，
所以的最小值为，
当动点与图中点重合时，取最大值，
故选：C．
6. 过点引圆：的切线，切点为A，则PA的最小值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，由圆切线的性质及两点距离公式可得，即可求PA的最小值.
【详解】由题设，的标准方程为，故圆心为，半径为3，
∴由切线的性质知：，
∴当时，.
故选：A
7. 如图所示，在平行六面体中，，，，，，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量线性运算，利用向量表示，再根据向量的模的性质，数量积的运算律求，由此可得结论.
【详解】因为，
所以，
所以，
又，，，，，
所以
所以.
故选：C.
8. 已知棱长为2的正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，设出点，可知，所以表示点与点之间距离的平方，分析求解即可.
【详解】以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，设点，
所以，，
所以，
因为表示点与点之间距离的平方，
所以当点的坐标为时，取得最大值为，
当与点重合时，取得最小值，
所以的取值范围为：.
故选：A.
二、多选题
9. 下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有（ ）
A. 平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角
B. 平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率
C. 若，则
D. 若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据直线倾斜角、斜率的概念可判断ABD选项的正误，根据两直线平行与倾斜角的关系可判断C选项的正误.
【详解】对于A选项，平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，A对；
对于B选项，平面直角坐标系中倾斜角为的直线没有斜率，B错；
对于C选项，当、都与轴垂直时，、的斜率都不存在，但，C错；
对于D选项，若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为，D对.
故选：AD.
10. 若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据空间向量基底的概念可得解.
【详解】由已知，，不共面，则，，不共面，A选项正确；
设，即方程无解，
所以，，不共面，B选项正确；
设，即，解得： ，
即，所以，，共面，C选项错误；
设，显然三个向量不共面，D选项正确；
故选：ABD.
11. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面，，，，则下列结论正确的有（ ）
A. 四面体是鳖臑
B. 阳马的体积为
C. 若，则
D. 到平面的距离为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由△不是直角三角形否定选项A；求得阳马的体积判断选项B；以为基底表示向量进而判断选项C；求得到平面的距离判断选项D.
【详解】A错，连接AC，则△中，，
则△不是直角三角形，则四面体不是鳖臑；
B对，.
C对，
D对，设到平面的距离为d，
又，
由，得，则到平面的距离为
故选：BCD
三、填空题
12. 若是直线的一个法向量，则直线的斜率为__________，倾斜角的大小为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由直线的法向量得到直线斜率，进而得到倾斜角.
【详解】由题意知，向量是直线的一个法向量，可得斜率为，
设直线的倾斜角为，可得，可得
则直线的倾斜角的大小为.
故答案为：；.
13. 已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】由二级结论：若点在圆外，过点引圆的两条切线，切点为，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程为：（圆的方程为），代入即可的直线的方程
【详解】由题意，切点弦所在直线的方程为：
，
化简得：.
故答案为：.
14. 已知，若点在线段AB上，则的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】设，利用斜率计算公式可得：，．再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．
【详解】设，则，，
点是线段上的任意一点，
的取值范围是,，
故答案为：,
四、解答题
15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形、平面分别为棱的中点
（1）证明：平面;
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由题意易知，根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）由题意，两两垂直，所以建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，再通过空间角的向量求解即可.
【小问1详解】
分别为的中点，
为正方形，
,平面平面，
平面.
【小问2详解】
由题知平面
建立如图所示的空间直角坐标系，
，则，
，，，
设平面的一个法向量为n=x,y,z
则，令则，
设直线与平面所成的角为，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
16. 已知直线经过直线和的交点，且与直线垂直.
（1）求直线的方程；
（2）若圆的圆心为点，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意求出两直线的交点，再求出所求直线的斜率，用点斜式写出直线的方程；
（2）根据题意求出圆的半径，由圆心写出圆的标准方程．
【小问1详解】
由已知得解得，
∴两直线交点为.
设直线的斜率为，
∵直线与垂直，∴，
∵直线过点，
∴直线的方程为，即.
【小问2详解】
设圆半径为，依题意，得圆心到直线的距离为，
则由垂径定理得，∴，
∴圆的标准方程为.
17. 如图，在正四棱柱中，，点分别在棱上，．
（1）判断与平面的位置关系并证明；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）平面，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）平面，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，计算可得，可证结论；
（2）求得平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用向量的夹角公式可求得平面与平面夹角的余弦值．
【小问1详解】
平面．理由如下：
以所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
由，
，所以，所以是共面向量．
因为平面，平面，
故平面．
【小问2详解】
设平面的一个法向量为，
则，不妨令，得，
则平面的一个法向量为．
又平面的一个法向量为，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18. 已知点和直线.点B是点A关于直线l的对称点.
（1）求点B的坐标；
（2）O为坐标原点，且点P满足.若点P的轨迹与直线有公共点，求m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）点B与点A关于直线对称，则直线直线，且线段AB的中点在直线上，两个方程联立可求出点的坐标；
（2）利用关系式可以得出点轨迹方程，根据点的轨迹与直线有公共点，知圆心到直线的距离小于等于半径，解不等式即可.
【小问1详解】
设，，因为点B与点A关于直线的对称，则有
线段AB的中点在直线上，即①，
又直线直线，且直线的斜率为，则①，
联立①①式子解得，
故点B的坐标
【小问2详解】
设，由，则，
故，化简得，
所以点的轨迹是圆，其方程为，圆心坐标，半径.
又因为直线与圆有公共点，
利用圆心到直线距离小于等于半径，则，
解得.
故的取值范围为.
19. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系．如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴，轴，轴）正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作．
（1）若，求斜坐标；
（2）在平行六面体中，，建立“空间斜坐标系”如下图所示．

①若，求向量的斜坐标；
②若，且，求．
【答案】（1）
（2）①；②3
【解析】
【分析】（1）通过“空间斜60°坐标系”的定义，化简为，，再计算的斜60°坐标.
（2）设，，分别为与，，同方向的单位向量，则，，，①中，通过平行六面体得到，从而得到求向量的斜坐标；
②中，通过平行六面体得到，由，得到，并结合题目中的，从而计算出值，并得到的值.
【小问1详解】
，
的斜坐标为．
【小问2详解】
设分别为与同方向的单位向量，
则，
①
②由题，
由，知，
由，知：
，
，解得，
则．