（1）数列——高考数学数列专练

这是一份（1）数列——高考数学数列专练，共11页。试卷主要包含了已知数列满足，且，，则等内容，欢迎下载使用。
1.已知数列的前n项和为，且，则数列( )
A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项
C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项
2.已知数列满足，且，，则( )
A.B.C.D.
3.等差数列、中的前n项和分别为，，，则( )
A.B.C.D.
4.已知数列的前n项和为，其中，且，则( )
A.B.C.D.
5.记为正项等比数列的前n项和，若，，则( )
A.6B.9C.12D.15
6.已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，( )
A.1012B.1013C.2022D.2023
7.已知数列满足，，且数列的前n项和.若，则实数的取值范围为( )
A.B.C.D.
8.设为数列的前n项和，若，且存在，，则的取值集合为( )
A.B.C.D.
9.（多选）若为等差数列，，则下列说法正确的是( )
A.
B.-20是数列中的项
C.数列单调递减
D.数列前7项和最大
10.（多选）已知数列的前n项和为，，则下列说法不正确的是( )
A.为等差数列B.
C.最小值为D.为单调递增数列
11.（多选）已知a，b，c为非零实数，则下列说法正确的是( )
A.是a，b，c成等差数列的充要条件
B.是a，b，c成等比数列的充要条件
C.若a，b，c成等比数列，则，，成等比数列
D.若a，b，c成等差数列，则，，成等差数列
12.（多选）设等比数列的前n项积为并满足，，则下列结论正确的有( )
A.B.
C.当时，取最大值D.当时，
13.已知数列是等差数列，数列是等比数列，，且.则______.
14.已知等差数列公差，由中的部分项组成的数列，，，…，为等比数列，其中，，.则数列的前10项之和为___________.
15.已知等比数列为递增数列，且，，则数列的通项公式为__________.
16.设等比数列的前n项和为，，，则________.
17.已知数列、满足，，，，其中.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和.
18.已知等差数列满足，等比数列满足.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前n项和.
19.已知单调递增的等比数列满足：，且是，的等差中项，
（1）求的值，并求数列的通项公式：
（2）若，，求使成立的正整数n的最小值.
20.某企业2023年的纯利润为500万元，因为企业的设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不进行技术改造，预测从2015年开始，此后每年比上一年纯利润减少20万元.如果进行技术改造，2024年初该企业需一次性投入资金600万元，在未扣除技术改造资金的情况下，预计2024年的利润为750万元，此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元.
（1）设从2024年起的第n年（以2024年为第一年），该企业不进行技术改造的年纯利润为万元；进行技术改造后，在未扣除技术改造资金的情况下的年利润为万元，求和；
（2）设从2024年起的第n年（以2024年为第一年），该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造后的累计纯利润为万元，依上述预测，从2024年起该企业至少经过多少年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润?
答案以及解析
1.答案：C
解析：由知，显然时，，所以，易知，即数列为等差数列，首项，公差，所以等差数列为递增数列，有最小项，无最大项.故选：C
2.答案：B
解析：由，则可得，故可得数列为等差数列，又由，有，可得，所以是2为公差的等差数列，又由，有，所以，则，故，故选B.
3.答案：B
解析：等差数列、中的前n项和分别为，，，.故选：B.
4.答案：C
解析：因为，所以，
又因为，所以数列是首项为6，公比为2的等比数列，
所以，即，所以.故选：C.
5.答案：B
解析：设正项等比数列的公比为q，由题意知，，所以，，成等比数列，所以，即，解得（舍负）.故选：B.
6.答案：A
解析：由题意知，故，则，即，结合等比数列满足，公比，可知，由，得，
即得，故，即，由此可得，故当最小时，，故选：A
7.答案：B
解析：由，，得，即，所以是等差数列，公差为，首项为，所以，则，所以数列的前n项和为①，②，由可得，即，由，得，因为单调递增，所以当时，的值最小，即，所以，所以实数的取值范围为.
8.答案：A
解析：因为，
所以，
假设，解得或（舍去），由存，，所以有或，由可得，，两式相减得：，
当时，有，即，根据可知：数列奇数项是等差数列，公差为2，所以，解得，当时，有，即，
根据可知：数列偶数项也是等差数列，公差为2，所以，解得，由已知得，所以.故选：A.
9.答案：ACD
解析：因为数列为等差数列，且，则，解得，，故A选项正确，
由，得，故B错误，
因为，所以数列单调递减，故C正确，
由数列通项公式可知，前7项均为正数，，所以前7项和最大，故D正确.
故选：ACD
10.答案：BC
解析：对于A，当时，，时满足上式，所以，所以，所以为等差数列，故A正确；
对于B，由上述过程可知，，，，故B错误；
对于C，因为，对称轴为，又因为，所以当或3时，最小值为，故C错误；
对于D，由上述过程可知的公差等于2，所以为单调递增数列，故D正确.故选：BC.
11.答案：AC
解析：对于选项A，根据等差中项即可得出是a，b，c成等差数列的充要条件，故A正确；
对于选项B，，即，又a，b，c为非零实数，所以根据等比中项即可证明a，b，c成等比数列，但a，b，c成等比数列，不确定b的正负，只能得到，即是a，b，c成等比数列的充分不必要条件，故B错误；
对于选项C，若a，b，c成等比数列，则，则，则，，成等比数列，故C正确；
对于选项D，若a，b，c成等差数列，则，无法得到恒成立，故D错误.故选AC.
12.答案：BCD
解析：，所以，即.所以.因为，所以，即等比数列为递减数列.
对选项A，因为为递减数列，所以，故A错误.
对选项B，因为，因为，所以，即，故B正确.
对选项C，因为等比数列为递减数列，，所以，，即当时，取最大值，故C正确.
对选项D，，又因为，，
所以当时，，当时，，故D正确.故选：BCD.
13.答案：
解析：因为数列是等差数列，且，所以即因为数列是等比数列，且，所以，即，所以.故答案为：.
14.答案：2036
解析：由题意可得，，成等比数列，即有，由等差数列的通项公式可得，解得，则，
由的公比，
则，可得，则数列的前10项之和为.故答案为：2036.
15.答案：
解析：由，整理得，解得或.由得.又因为数列是递增数列，所以.由，解得，所以数列的通项公式为.
16.答案：1
解析：设等比数列的公比为，由，可知，因为，，所以，且，解得，故答案为：1
17.答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意可知，对任意的，，
当时，由，可得，
上述两个等式作差可得，可得，
也满足，故对任意的，.
（2）由题意可知，，所以，.
所以，，
所以，.
18.答案：（1），
（2）
解析：（1）设等差数列的公差为d.
由，可得，解得，
则.
由，，
可得是首项为3，公比为3的等比数列，则.
（2）由（1）得，
，
，
所以
，
，
故.
19.答案：（1），；
（2）5
解析：（1）设等比数列的首项为，公比为q，
依题意有，代入，可得，
代入得，
，解之得或（舍去）
数列的通项公式为.
（2），
，
①
②，
由②①得，
，
由得，，则，
易知：当时，，当时，，
故使成立的正整数n的最小值为5.
20.答案：（1），
（2）4
解析：（1）由题意得是等差数列，，
所以，由题意得，
所以，
所以是首项为250，公比为的等比数列，
所以，所以.
（2）是数列的前项和，所以，
是数列的前项和减去600，
所以，
，
又当时，函数单调递增，
所以函数单调递增，且时，时，
所以至少经过4年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润.