重庆市育才中学2025届高三上学期12月月考数学试题及答案

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本试卷为第 I 卷 (选择题) 和第 II 卷 (非选择题) 两部分, 共 150 分, 考试时间 120 分钟。
注意事项:1. 答卷前,请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
2. 作答时, 务必将答案写在答题卡上, 写在本试卷及草稿纸上无效;
3. 考试结束后, 将答题卡交回。
第 I 卷
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一个 选项是符合题目要求的。
1. 设集合 M=x∣x2−3≤0,N={−2,−1,0,1,2} ,则 M∩N=
A. {0,1} B. {−1,0,1} C. {−1,0,1,2} D. {−2,−1,0,1,2}
2. 已知随机变量 ξ 服从正态分布 N2,σ2,P13=
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4
3. 已知直线 l// 平面 α ,点 P∈α ,那么过点 P 且平行于直线 l 的直线
A. 有且只有 1 条,且在平面 α 内 B. 有且只有 1 条,不在平面 α 内
C. 有无数条,不都在平面 α 内 D. 有无数条,都在平面 α 内
4. 函数 fx=csx−x 的零点所在区间为
A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
5. 若正实数 a,b 满足 a=1−2b ,则 2a+1b 的最小值为
A. 1 B. 6 C. 8 D. 9
6. 从 3 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加一项创新大赛, 则选出的 3 人中既有男生又有女生的概率为
A. 110 B. 310 C. 35 D. 910
7. 已知 sinα+β=12,tanα=5tanβ ,则 sinα−β=
A. 14 B. 13 C. 12 D. 34
8. 若正实数 x,y 满足 x+y>ex+lny ,则下列不等式成立的是
A. x−y−1 C x+y1
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知点 A0,2、B2,0、C1,y ,其中 y∈R ,则
A. 若 A、B、C 三点共线,则 y=1
B. 若 AB⊥AC ,则 y=3
C. 若 AB=AC ,则 y=2−7
D. 当 y=2 时, ⟨AB,AC⟩=π4
10. 已知正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 2,E、F 分别为棱 AB、AA1 的中点,则
A. E、F、D1、C 四点共面
B. 直线 AD 与 D1E 所成角的正切值为 52
C. 二面角 A−FD1−E 的大小为 π4
D. 三棱锥 B1−CEF 的体积为 1
11. 若数列 Fn 满足 F1=F2=1,Fn+2=Fn+1+Fnn∈N∗ ,设 an=−1FnFn−1 ,则
A. a4=1
B. a2024+a2025=2
C. an=an+3
D. 若数列 an 的前 n 项和为 30,则 n=90 或 n=92
第II卷
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。第 14 题第一空 2 分,第二空 3 分。
12. 已知复数 z=11+2i (其中 i 为虚数单位),则 z⋅z= _____.
13. 若函数 fx=13x3+x2−mxm∈R 在 R 上单调递增,则实数 m 的取值范围为_____.
14. 若正四面体 A−BCD 的棱切球 (球与正四面体的棱均相切) 半径为 1,则正四面体 A−BCD 的棱长为_____；该棱切球的球面与正四面体 A−BCD 的表面相交所得曲线的总长度为_____.
四、解答题:本题共 5 题,共 77 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
已知非零数列 an 满足: a1=1,an−an+1=2an⋅an+1n∈N∗ .
(1)求证: 1an 是等差数列；
(2)求数列 an⋅an+1 的前 n 项和 Sn
16. (本小题满分 15 分)
若 △ABC 中的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且满足 bsinA=3a1−csB .
(1) 求角 B ;
(2)若 b=23 ,请从下列两个条件:① a=2c ,② csC=34c 中任选一个作为已知条件,求 △ABC 的面积。
注: 如果选择多个条件分别解答, 按第一个解答给分。
17. (本小题满分 15 分)
如第(17)题图,在四棱锥 S−ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,点 E 为棱 SA 的中点,BD⊥SC .
(1)求证: SC// 平面 BED ；
(2)求证:平面 SAC⊥ 平面 ABCD ；
(3)若 SC⊥AC ,且 AB=SC=2 , ∠ABC=120∘ ,求直线 AB 与平面 SAD 所成角的正弦值。
第(17)题图
18. (本小题满分 17 分)
育才中学为普及法治理论知识,举办了一次法治理论知识闯关比赛。比赛规定:三人组队参赛,按顺序依次闯关,无论成败,每位队员只闯关一次。如果某位队员闯关失败,则由该队下一队员继续闯关, 如果该队员闯关成功,则视作该队获胜,余下的队员无需继续闯关；若三位队员闯关均不成功,则视为该队比赛失败。比赛结束后,根据积分获取排名,每支获胜的队伍积分 Y 与派出的闯关人数 X 的关系如下: Y=40−10XX=1,2,3 ,比赛失败的队伍则积分为 0 。现有甲、乙、丙三人组队参赛,他们各自闯关成功的概率分别为 p1、p2、p3 ,且每人能否闯关成功互不影响。
(1)已知 p1=34,p2=23,p3=12 ,
(i) 若按甲、乙、丙的顺序依次参赛,求该队比赛结束后所获积分 Y 的期望;
(ii) 若第一次闯关从三人中随机抽取,求该队比赛结束后所获积分 Y=30 的概率。
(2)若甲只能安排在第二位次参赛,且 00,∴ 不等式(*)等价为 fx>flny,∵x>0 ,
∴f′x=1−ex