人教版数学七下培优提升训练专题5.11平行线基本模型之子弹模型（2份，原卷版+解析版）

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一、解答题（本大题共30小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1．（2021·广东·东莞市长安实验中学七年级期中）如图，已知AB∥CD．
（1）如图1所示，∠1+∠2＝ ；
（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝ ；并写出求解过程．
（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ；
（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝ ．
2．（2021·广西贺州·七年级期末）请在横线上填上合适的内容．
（1）如图（1）已知//，则．
解：过点作直线//．
∴（ ）．（ ）
∵//，//，
∴（ ）//（ ）．（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）
∴（ ）．（ ）．
∴．
∴．
（2）如图②，如果// ，则（ ）
3．（2021·吉林松原·七年级期中）（1）问题发现
如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现：，请你写出证明过程；
（2）拓展探究
如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：．
（3）解决问题
如图③，，，，则________．（直接写出结论，不用写计算过程）
4．（2020·广东·湛江市第二中学七年级期中）探索：小明在研究数学问题：已知AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠C的数量关系．
发现：在如图中：∠APC＝∠A＋∠C；如图
小明是这样证明的：过点P作PQ∥AB
∴∠APQ＝∠A（ ）
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（ ）
∴∠CPQ＝∠C
∴∠APQ＋∠CPQ＝∠A＋∠C
即∠APC＝∠A＋∠C
（1）为小明的证明填上推理的依据；
（2）应用：①在如图中，∠P与∠A、∠C的数量关系为 ；
②在如图中，若∠A＝30°，∠C＝70°，则∠P的度数为 ；
（3）拓展：在如图中，探究∠P与∠A，∠C的数量关系，并说明理由．
5．（2019·内蒙古·康巴什区第二中学七年级期中）问题探究：
如下面四个图形中， ABCD．
（1）分别说出图1、图2、图3、图4中，∠1与∠2、∠3三者之间的关系．
（2）请你从中任选一个加以说明理由．
解决问题：
（3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出两束光线OB、OC经灯碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．
6．（2021·全国·七年级专题练习）AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．
（1）如图1，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度数．
7．（2021·全国·七年级专题练习）（1）如图1，AM∥CN，求证：

①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；
②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；
（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．
8．（2022·全国·七年级）(1)问题情景：如图1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．
小明想到一种方法，但是没有解答完：
如图2，过P作PE//AB，∴∠APE+∠PAB=180°，
∴∠APE=180°-∠PAB=180°-130°=50°
∵AB//CD，∴PE//CD．
……
请你帮助小明完成剩余的解答．
(2)问题迁移：请你依据小明的解题思路，解答下面的问题：
如图3，AD//BC，当点P在A、B两点之间时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由．
9．（2021·全国·七年级专题练习）如图所示，，，，求的度数.
10．（2021·全国·七年级专题练习）如图所示，直线，，，求的度数.
11．（2022·上海·七年级期中）已知，直线AB∥CD
（1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，则∠AGC的度数是多少？
（2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，则∠AGC的度数是多少？
（3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论．
12．（2021·山东德州·七年级期中）（1）如图1，，，，则 ；
（2）如图2，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，求与、之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你直接写出与、之间的数量关系．
13．（2022·全国·八年级专题练习）如图1，四边形为一张长方形纸片．
（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（），则__________°．
（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（），则__________°．
（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（），则___________°．
（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°．
14．（2021·全国·七年级专题练习）请你探究：如图（1），木杆与平行，木杆的两端、用一橡皮筋连接．
（1）在图（1）中，与有何关系？
（2）若将橡皮筋拉成图（2）的形状，则、、之间有何关系？
（3）若将橡皮筋拉成图（3）的形状，则、、之间有何关系？
（4）若将橡皮筋拉成图（4）的形状，则、、之间有何关系？
（5）若将橡皮筋拉成图（5）的形状，则、、之间有何关系？
（注：以上各问，只写出探究结果，不用说明理由）
15．（2022·江苏·灌南县新知双语学校七年级阶段练习）阅读下面材料，完成（1)～（3）题．
数学课上，老师出示了这样—道题：
如图1，已知点分别在上，．求的度数．
同学们经过思考后，小明、小伟、小华三位同学用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法：
小明：“如图2，通过作平行线，发现，由已知可以求出的度数．”
小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得也能求出的度数．”
小华：∵如图4，也能求出的度数．”
(1)请你根据小明同学所画的图形(图2)，描述小明同学辅助线的做法，辅助线：______；
(2)请你根据以上同学所画的图形，直接写出的度数为_________°；
老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，这个方法可以推广．”
请大家参考这三位同学的方法，使用与他们类似的方法，解决下面的问题：
(3)如图，，点分别在上，平分若请探究与的数量关系（(用含的式子表示)，并验证你的结论．
16．（2022·全国·七年级）综合探究：已知，点、分别是、上两点，点在、之间，连接、．

（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数．
17．（2021·全国·七年级专题练习）（1）问题情境：如图1，AB//CD，∠PAB=120°，∠PCD=130°，求∠APC的度数．
小辰的思路是：如图2，过点P作PE//AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数，请写出具体求解过程．
（2）问题迁移：
①如图3，AD//BC，点P在射线OM上运动，当点P在A，B两点之间运动时，设∠CPD=∠，∠ADP=，∠BCP=∠，问：∠、、∠之间有何数量关系？请说明理由．
②在①的条件下，如果点P不在A，B两点之间运动（点P与点A，B，O三点不重合），请直接写出∠、、∠间的数量关系．
18．（2021·浙江·金华海亮外国语学校七年级阶段练习）问题情境：如图1，已知，．求的度数．
经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作，根据平行线有关性质，可得________．
问题迁移：如图3，，点P在射线OM上运动，，．
（1）当点P在A、B两点之间运动时，、、之间有何数量关系？请说明理由．
（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、之间的数量关系，
问题拓展：如图4，，是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为________．
19．（2022·广东·惠阳竹贤学校八年级阶段练习）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数．
思路点拨：
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而可求出∠APC的度数；
小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数；
小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∠APC的度数．
问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为 °；
问题迁移：（1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
20．（2021·全国·七年级专题练习）如图1、图2，已知∠1+∠2＝180°．
（1）若图1中∠AEF＝∠HLN，试找出图中的平行线，并说明理由；
（2）如图2，∠PMB＝3∠QMB，∠PND＝3∠QND，试探究∠P与∠Q的数量关系？（直接写答案，不写过程）．