广东省广东实验中学附属江门学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省广东实验中学附属江门学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，满分：150分，考试时间：120分钟．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据交集的概念，可得答案.
【详解】由，则.
故选：A.
2. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题即可求解.
【详解】“，”的否定为：，.
故选：D
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】解二次不等式得，再根据必要不充分条件的概念判断即可.
【详解】由得，
由能推出，但推不出，
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
4. 下列各组函数中，是同一函数的是（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. ，与，
【答案】D
【解析】
【分析】分别判断函数的定义域与对应法则，即可作出判断．
【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，故它们的定义域不同，故不是同一函数；
对于B，与对应法则不同，故不是同一函数；
对于C，由于的定义域为，的定义域为，故它们的定义域不同，故不是同一函数；
对于D，与，定义域与对应法则均相同，故是同一函数．
故选：D
5. 已知函数是幂函数，若为增函数，则等于（ ）
A. B. C. 或1D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂函数的定义，建立方程，利用幂函数的单调性分别验根，可得答案.
【详解】由题意可得，，解得或，
当时，，则函数不是增函数，不符合题意；
当时，，易知函数是增函数，符合题意.
故选：D.
6. 若二次函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的图象和性质求解即可.
【详解】二次函数是开口向上，对称轴为的抛物线，
若在区间上单调递增，则，解得，
故选：A
7. 函数满足，若，则实数的值为（ ）
A. 0B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用换元法求出，代入即可求.
【详解】令，则，
所以，即，
所以，
解得.
故选：D
8. 已知是定义在上偶函数，且在上为增函数，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由偶函数的性质可得，从而得函数的定义域为，由，结合函数的单调性、定义域及偶函数的性质，列出不等式组求解即可.
【详解】因为是定义在上的偶函数，
所以，
解得，
所以函数的定义域为；
又因为在上为增函数，
即在上为增函数，
所以在0,2上为减函数，
又因为，
所以，
整理得，
解得或.
所以不等式的解集为.
故选：D.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是根据函数的奇偶性及单调性，将原不等式转化为，再结合定义域即可求解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9. 下列等式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据根式与指数幂的运算，可得答案.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：ACD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 存在，使得是真命题
C. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是
D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为15
【答案】AC
【解析】
【分析】利用含有一个量词的命题的否定判定选项A正确；利用判别式判定选项B错误；利用等价命题及判别式判定选项C正确；现将条件转化为，进而判定选项D错误.
【详解】对于A：命题“，”的否定是“，”，正确；
对于B：因为，即方程无实数解，也无有理数解，
即存在，使得是假命题，错误；
对于C：若命题“，”为假命题，
则命题“，”为真命题，
即无实数解，则，解得，正确；
对于D：因为，所以，又因为，
所以满足条件的集合有无数个，只要集合B至少包含0,1,3,4四个元素都符合题意，错误.
故选：AC.
11. 下列命题中正确的是（ ）
A. 函数，是偶函数
B. 若函数，则
C. 如果函数在上单调递增，那么它在上单调递减
D. 若函数的定义域是，则函数的定义域为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，由函数奇偶性判断；对于B，作差比较大小；对于C，由奇函数性质判断；对于D，由抽象函数求定义域方法即可求.
【详解】对于A，的定义域为，关于原点对称，
且，
所以是偶函数，故A正确；
对于B，
，
所以，故B正确；
对于C，令，定义域为，关于原点对称，
，
所以为奇函数，
因为在上单调递增，
所以在上单调递增，故C错误；
对于D，若函数的定义域是，则，
所以，所以，
所以函数的定义域为，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若为上的奇函数，则____________．
【答案】0
【解析】
【分析】由奇函数定义即可求.
【详解】因为为上的奇函数，
所以，
所以，
所以.
故答案：0
13. 若，则的最小值为____________．
【答案】3
【解析】
【分析】将整理为，再根据不等式性质即可求解.
【详解】因为，所以，
则，
当且仅当，即x=1时等号成立，
故答案为：3
14. 已知函数是减函数，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件及分段函数单调性分段处理的原则，结合一次函数与幂函数的单调性即可求解.
【详解】因为函数是上的减函数，
所以，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 化简或求值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据分数指数幂运算和根式运算求解即可.
（2）根据指数幂运算求解即可.
【小问1详解】
原式
；
【小问2详解】
原式
．
16. 已知集合，集合．
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得，再根据交集、并集、补集定义求解即可；
（2）由题意可得，再由集合的包含关系求解即可.
【小问1详解】
因为，
当时，，
所以；或；
所以；
【小问2详解】
因为，所以，
又因为，，
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
17. 最近南京某地登革热病例快速增长，登革热是一种由登革病毒引起的急性虫媒传染病，主要通过埃及伊蚊和白纹伊蚊传播，为了阻断传染源，南京卫建委在全市范围内组织了蚊虫消杀工作．某工厂针对市场需求开始生产蚊虫消杀工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为50万元，每生产万件，需另外投入成本（万元），，每件工具售价为50元，经过市场调研该厂年内生产的工具能全部销售完．
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；
（2）年产量为多少万件时，该厂在这一工具的生产中所获利润最大？
【答案】（1）
（2）90万件
【解析】
【分析】（1）分和两种情况，由题意得到函数解析式；
（2）分和两种情况，由函数单调性和基本不等式求出最大值，比较后得到答案.
【小问1详解】
当时，
，
当时，
，
故
【小问2详解】
时，，
当时，取得最大值，
当时，，
当且仅当即时取到等号，
，
时，取得最大值，
18. 已知函数
（1）写出函数的定义域，判断并证明函数的奇偶性；
（2）用单调性定义证明函数在上单调递增；
（3）若定义域为，解不等式
【答案】（1）的定义域为R，为奇函数
（2）证明过程见详解 （3）
【解析】
【分析】（1）求出定义域，判断并用定义法证明函数在R上为奇函数；（2）定义法证明函数单调性，取值，作差，判号，下结论；（3）利用第一问和第二问的结论解不等式.
【小问1详解】
的分母恒成立，故的定义域为R，函数在R上为奇函数，理由如下：首先定义域关于原点对称，其次，所以在R上为奇函数，证毕.
【小问2详解】
任取，，且，则 ，因为，，且，所以，，所以，故，，所以在单调递增，证毕.
【小问3详解】
，即
由（1）知，在R上为奇函数，故，所以，又定义域为，由（2）知，函数在上单调递增，故，解得：，故解集为.
19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.
（1）若.
①求此函数图象的对称中心；
②求的值；
（2）类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论（写出结论即可，不需证明）.
【答案】（1）①；②
（2）答案详见解析
【解析】
【分析】（1）根据题目所给推广知识求得的对称中心并由此求得的值.
（2）结合函数奇偶性、对称性等知识写出推广结论.
【小问1详解】
①，，
而满足，
即为奇函数，所以的图象关于点中心对称.
②，由①得，即，
所以
.
【小问2详解】
“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”，
类比已知条件可得，一个一个推广结论：
函数的图象关于直线对称的充要条件是函数为偶函数.
（答案不唯一）