云南省昆明市第一中学2025届高三上学期第四次联考（11月）数学试题（原卷版）-A4

这是一份云南省昆明市第一中学2025届高三上学期第四次联考（11月）数学试题（原卷版）-A4，共5页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答， 在的展开式中常数项为， 已知是函数的零点，则等内容，欢迎下载使用。
命题人：昆一中数学命题小组
审题人：杨昆华 张波 张兴虎 杨仕华 江明 李春宣 吕文芬 蔺书琴 陈泳序 崔锦
本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知角的终边过点，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
（人教A版必修一教材35页教材习题9）
3. 已知集合，若，则实数（ ）
A. B. C. D. 或
4. 正四棱锥的棱长均为分别是的中点，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
5. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，将其中取就得到了欧拉恒等式，数学家评价它是“上帝创造的公式”.已知复数满足，则的最大值为（ ）
A. B. 1C. D.
6. 在的展开式中常数项为（ ）
A. 721B. -61C. 181D. -59
7. 已知是函数的零点，则（ ）
A 0B. C. 1D.
8. 满足不等式的有序整数组的个数为（ ）
A. 231B. 267C. 334D. 377
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在某次数学测试中，甲､乙两个班的成绩情况如下表：
记这两个班的数学成绩的总平均分为，总方差为，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 在平面直角坐标系中，为圆与轴的交点，点为该平面内异于的动点，且直线与直线的斜率之积为，设动点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则曲线方程
B. 若，则曲线的离心率为
C. 若，则曲线有渐近线，其渐近线方程为
D. 若，过原点的直线与曲线交于两点，则面积最大值为
11. 已知正项数列满足，记，则（ ）
A. 是等差数列B.
C D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，，，则__________.
（人教A版选择性必修二教材56页教材习题9）
13. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过个步骤变成（简称为步“刨程”）.设第一个正整数为，按“冰雹猜想”的运算方法，第步得到的数记为，若，则可以是__________.（只需满足条件的一个值即可）
14. 已知点是抛物线的焦点，过定点的直线与抛物线交于两点，若抛物线上存在动点，使得四边形为平行四边形，则定点坐标为__________.
四､解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16､17题15分，第18､19题17分，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 某学校对高三（1）班50名学生第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数据如下：数学成绩的方差为，化学成绩的方差为，其中且1分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩，关于的线性回归方程为.
（1）求与的样本相关系数；
（2）从概率统计规律来看，本次考试高三（1）班学生数学成绩服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值.试估计该校共800名高三学生中，数学成绩位于区间的人数.
附：①回归方程中：
②样本相关系数
③若，则
④
16. 在中，角所对边分别为是的面积，且满足.
（1）证明：；
（2）若，求角.
17. 如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，，，，.
（1）证明：；
（2）若是线段上的动点，且，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
18. 已知，，是自然对数的底数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；
（3）当时，若满足，求证：.
（人教A版选择性必修一教材113页例6）
19. 平面内，动点与定点的距离与到定直线：的距离之比为常数.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）过点作不垂直于轴的直线，与动点的轨迹交于两点，点在直线上，记直线的斜率分别为，证明：成等差数列.
班级
人数
平均分
方差
甲
60
130
1
乙
40
120
2