高考数学一轮复习：8平面解析几何-专题4练习（题型归纳与重难专题突破提升）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc154052067" 题型一： 椭圆的定义及应用 PAGEREF _Tc154052067 \h 3
\l "_Tc154052068" 题型二： 椭圆中的最值问题 PAGEREF _Tc154052068 \h 4
\l "_Tc154052069" 题型三： 椭圆标准方程 PAGEREF _Tc154052069 \h 5
\l "_Tc154052070" 题型四： 椭圆的焦点三角形 PAGEREF _Tc154052070 \h 6
\l "_Tc154052071" 题型五： 椭圆的几何性质 PAGEREF _Tc154052071 \h 7
\l "_Tc154052072" 题型六： 位置关系的判断 PAGEREF _Tc154052072 \h 9
\l "_Tc154052073" 题型七： 弦长问题 PAGEREF _Tc154052073 \h 10
\l "_Tc154052074" 题型八： 面积问题 PAGEREF _Tc154052074 \h 12
知识点总结
椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
椭圆的标准方程和简单几何性质
在用椭圆定义时，若|F1F2|＝2a，则动点的轨迹不是椭圆，而是连接两定点的线段(包括端点)；若|F1F2|＞2a，则轨迹不存在.
【常用结论与知识拓展】
(1)椭圆中的最值：P为椭圆上任一点，B为短轴一个端点，则|OP|∈[b，a]；|PF1|∈[a－c，a＋c]；|PF1|·|PF2|∈[b2，a2]；∠F1PF2≤∠F1BF2.
(2)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形. r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：
①焦点三角形的周长为2(a＋c)；
②4c2＝req \\al(2,1)＋req \\al(2,2)－2r1r2cs θ；
③当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
④S＝eq \f(1,2)r1r2sin θ＝b2taneq \f(θ,2)＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(3)焦点弦(过焦点的弦)中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，为eq \f(2b2,a).
(4)AB为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的弦(斜率为k)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则
①弦长l＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|；
②直线AB的斜率k＝－eq \f(b2x0,a2y0)；
③k·kOM＝－eq \f(b2,a2).
例题精讲
椭圆的定义及应用
【要点讲解】根据题目所给条件，抓住动点所满足的条件，根据椭圆定义得出椭圆的标准方程．在得到的标准方程中，要注意是否需要“去除”某些不满足题设条件的点．
若的两个顶点坐标、，的周长为18，则顶点的轨迹方程为
A．B．
C．D．
已知圆，点，是圆上任意一点，线段的中垂线和直线相交于点，则点的轨迹方程为
A．B．C．D．
已知，分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一动点，点是三角形的重心，则点的轨迹方程为
A．B．
C．D．
已知椭圆方程为，过平面内的点作椭圆的两条互相垂直的切线，则点的轨迹方程为
A．B．C．D．
椭圆中的最值问题
设椭圆的左焦点为，下顶点为，点在上，则的最大值为
A．1B．C．3D．
椭圆上任一点到点的距离的最小值为
A．B．C．2D．
已知椭圆，是椭圆的左焦点，是椭圆上一点，若椭圆内一点，则的最小值为
A．3B．C．D．
椭圆标准方程
【要点讲解】求椭圆方程的基本方法是待定系数法，先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组，如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，求出m，n的值即可.
两个焦点的坐标分别为，的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准方程
为
A．B．C．D．
椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是
A．B．C．D．
焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为
A．B．C．D．
“，”是“方程表示的曲线为椭圆”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
“”是方程“表示椭圆”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
“”是“方程表示椭圆”的
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
椭圆的焦点三角形
【要点讲解】椭圆的焦点三角形是描述椭圆上一点到与两个焦点的距离、焦距之间的相互制约关系的一个载体. 因此具有“双重特征”，即可以利用椭圆的定义和解三角形知识即可解决相关问题，是高考命题热点，题材内容丰富多变，具备良好的考查背景．
如图，椭圆的左、右焦点分别为、，过点的直线与椭圆相交于、两点．若，，，则椭圆的方程为
A．B．C．D．
已知点在椭圆上，与分别为左、右焦点，若，则△的面积为
A．B．C．D．
已知椭圆，，为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，则
A．B．C．D．
已知椭圆的左、右焦点分别为，．若斜率为1，且过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为
A．9B．12C．18D．24
已知，分别为椭圆的两个焦点，右顶点为，为的中点，且，直线与交于，两点，且的周长为28，则椭圆的短轴长为 ．
椭圆的几何性质
【要点讲解】求椭圆的离心率一般策略：(1)直接利用公式e＝eq \f(c,a)求解；(2)通过构造关于a，c的“齐次方程”来解决，构造关于eq \f(c,a)的方程求解；(3)值得注意的是，只要再确定a，b，c的一个关系，就可以求离心率，椭圆e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2－b2),a)＝eq \f(c,\r(b2＋c2)).求椭圆离心率的取值范围，则往往要借助椭圆的几何性质及平面几何的知识构造不等式后进一步求解．
已知椭圆的左右焦点为，，过的直线与椭圆交于两点，为的中点，，则该椭圆的离心率为
A．B．C．D．
已知椭圆的左、右焦点分别为，，，是椭圆上关于原点对称的两个点，若，且，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
如图，，是椭圆的左、右顶点，是上不同于，的动点，线段与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
已知椭圆中，，则椭圆的离心率的取值范围是
A．B．C．D．
已知椭圆关于轴、轴均对称，焦点在轴上，且焦距为，若点不在椭圆的外部，则椭圆的离心率的取值范围为
A．B．C．D．
已知，是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，是椭圆上的点（不在坐标轴上），的平分线交于，且，则椭圆的离心率的取值范围是
A．B．C．D．
已知为坐标原点，，，分别是椭圆的左顶点、上顶点和右焦点，点在椭圆上，且，若，则椭圆的离心率为
A．B．1C．D．
位置关系的判断
【要点讲解】直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定. 通常用消元后的关于x(或y)的一元二次方程的判别式Δ与零的大小关系来判定.
若直线与椭圆恒有两个不同的公共点，则的取值范围是 ．
直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是 ．
如图，已知直线和椭圆．为何值时，直线与椭圆
（1）有两个公共点？
（2）有且只有一个公共点？
（3）没有公共点？
椭圆与直线相交于，两点，过的中点与坐标原点的直线的斜率为2，则
A．B．C．D．2
弦长问题
【要点讲解】设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长公式|AB|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22)＝eq \r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|＝eq \r(1＋k2)·eq \f(\r(Δ),|a|)(k为直线的斜率)，注意该公式是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式Δ>0这一前提.
若椭圆的弦被点平分，则所在直线的方程为
A．B．C．D．
在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为
A．B．C．D．
已知椭圆，点是椭圆的弦的中点．
（1）求直线的方程；
（2）求弦的长度．
椭圆左、右焦点为，，离心率为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）经过点，倾斜角为直线与椭圆交于，两点，求．
面积问题
【要点讲解】设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长公式|AB|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22)＝eq \r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|＝eq \r(1＋k2)·eq \f(\r(Δ),|a|)(k为直线的斜率)，注意该公式是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式Δ>0这一前提.
已知椭圆的左，右焦点分别为，，焦距为，点，在椭圆上．
（1）是上一动点，求的范围；
（2）过的右焦点，且斜率不为零的直线交于，两点，求△的内切圆面积的最大值．
已知平面内的动点的轨迹是阿波罗尼斯圆（动点与两定点，的距离之比，，且是一个常数），其方程为，定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的长轴长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的左焦点为，过点作直线交圆于点，，求面积的最大值．
已知椭圆经过点，且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的右顶点为，若直线与椭圆相交于，两点（异于点，且满足，求面积的最大值．
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准
方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1 (a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
图形
a，b，c
的关系
a2＝b2＋c2
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
简单几何性质
范围
－a≤x≤a，
－b≤y≤b
－b≤x≤b，
－a≤y≤a
对称性
对称轴为坐标轴，对称中心为原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a
离心率
e＝eq \f(c,a)，且e∈(0,1)，e越接近1，椭圆越扁平