高考数学一轮复习：9统计与概率-专题6练习（题型归纳与重难专题突破提升）

这是一份高考数学一轮复习：9统计与概率-专题6练习（题型归纳与重难专题突破提升），文件包含专题96随机抽样样本估计总体原卷版docx、专题96随机抽样样本估计总体解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc154054971" 题型一： 简单随机抽样 PAGEREF _Tc154054971 \h 4
\l "_Tc154054972" 题型二： 分层随机抽样 PAGEREF _Tc154054972 \h 6
\l "_Tc154054973" 题型三： 平均数、中位数、众数、方差、标准差、极差 PAGEREF _Tc154054973 \h 7
\l "_Tc154054974" 题型四： 总体百分位数 PAGEREF _Tc154054974 \h 10
\l "_Tc154054975" 题型五： 频率分布直方图的应用 PAGEREF _Tc154054975 \h 11
知识点总结
简单随机抽样
(1)特点：逐个抽取，且每个个体被抽取的概率相等．
(2)常用方法：抽签法和随机数法.
(3)适用范围：个体性质相似，无明显层次，且个体数量较少，尤其是样本容量较少.
分层随机抽样
(1)定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.
(2)适用范围：总体可以分层，且层与层之间有明显区别，而层内个体差异较小.
(3)平均数的计算：各层抽样比乘以各层平均数的和.
统计图表
(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等．
(2)作频率分布直方图的步骤
①求极差；
②决定组距与组数；
③将数据分组；
④列频率分布表；
⑤画频率分布直方图．
用样本估计总体
(1)百分位数
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
(2)平均数、中位数和众数
①平均数：eq \x\t(x)＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．
②中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)．
③众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)．
(3)方差或标准差
①方差：s2＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n, )(xi－eq \x\t(x))2或eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n,x)eq \\al(2,i)－eq \x\t(x)2.
②标准差：s＝eq \r(\f(1,n)\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2).
(4)总体(样本)方差和总体(样本)标准差
①一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，Yn，总体平均数为eq \x\t(Y)，则总体方差S2＝eq \f(1,N)eq \i\su(i＝1,N, )(Yi－eq \x\t(Y))2.
②加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝eq \f(1,N)eq \i\su(i＝1,k,f)i(Yi－eq \x\t(Y))2.
【常用结论与知识拓展】
1．频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．
2．平均数、方差的公式推广
(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为eq \x\t(x)，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是meq \x\t(x)＋a.
(2)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，那么
①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；
②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.
例题精讲
简单随机抽样
【要点讲解】(1)简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体中的个体数有限；②逐个抽取；③等可能抽取．
(2)简单随机抽样常有抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况)．
已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257．据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率
A．B．C．D．
【解答】解：用1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、0表示不命中，模拟产生了的12组随机数为：137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257，
表示运动员三次投篮恰有两次命中的是：137，271，436，
故所求的概率值为．
故选：．
学校举行舞蹈比赛，现从报名的50位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加，将这50位学生按01、02、、50进行编号，假设从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，读到行末则从下一行行首继续，则选出来的第5个号码所对应的学生编号为
0627 4313 2432 5327 0941 2512 6317 6323 2616 8045 6011
1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607
5124 5179 3014 2310 2118 2191 3726 3890 0140 0523 2617
A．43B．25C．32D．12
【解答】解：从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，如下：
62（舍，74（舍，31，32，43，25，32（舍，70（舍，94（舍，12；
所以选出来的5个号码为：31，32，43，25，12．
故选：．
采取随机模拟的方法估计气步枪学员击中目标的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，以三个随机数为一组，代表三次射击击中的结果，经随机数模拟产生了20组随机数：
107 956 181 935 271 832 612 458 329 683
331 257 393 027 556 498 730 113 537 989
根据以上数据估计，该学员三次射击恰好击中1次的概率为
A．B．C．D．
【解答】解：依题意这20组随机数中恰好击中一次的有107，935，458，683，257，027，498，730，537共9组，
所以所求概率．
故选：．
某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，，699，700．从中抽取70个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是
A．623B．328C．253D．530
【解答】解：从表中第5行第6列开始向右读取数据，
得到的前6个样本编号依次为：
253，313，457，007，328，623，
则得到的第6个样本编号为623．
故选：．
分层随机抽样
【要点讲解】在比例分配的分层随机抽样中，抽样比＝eq \f(样本容量,总体容量)＝eq \f(各层样本容量,各层个体总量)；在比例分配的分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m，平均值为eq \x\t(x)；第二层的样本量为n，平均值为eq \x\t(y)，则样本的平均值为eq \f(m\x\t(x)＋n\x\t(y),m＋n).
某学校在校学生有2000人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比赛，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为，，，且，全校参加登山的人数占总人数的，为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为200的样本进行调查，则应从高三年级参加跑步的学生中抽取人数为 45 ．
【解答】解：可知全校参加跑步的人数为，
因为，，
所以，
按分层抽样的方法从中抽取一个容量为200的样本，
故应从高三年级参加跑步的学生中抽取的人数，．
故答案为：45．
某企业两个分厂生产同一种电子产品，产量之比为，现采用分层随机抽样方法，从两个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，由所得样品的测试结果计算出该产品的平均使用寿命分别为1000小时，1020小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为
A．1012小时B．1010小时C．1008小时D．1006小时
【解答】解：由题意可知，该产品的平均寿命为．
故选：．
某高中为了了解本校学生考入大学一年后的学习情况，对本校上一年考入大学的同学进行了调查，根据学生所属的专业类型，制成饼图，现从这些同学中抽出100人进行进一步调查，已知张三为理学专业，李四为工学专业，则下列说法不正确的是
A．若按专业类型进行分层抽样，则张三被抽到的可能性比李四大
B．若按专业类型进行分层抽样，则理学专业和工学专业应抽取30人和20人
C．采用分层抽样比简单随机抽样更合理
D．该问题中的样本容量为100
【解答】解：对于选项，张三与李四被抽到的可能性一样大，故错误；
对于选项，理学专业应抽取的人数为，
工学专业应抽取的人数为，故正确；
对于选项，因为各专业差异比较大，所以采用分层随机抽样更合理，故正确；
对于选项，该问题中的样本容量为100，故正确．
故选：．
某班共有45名学生，其中女生25名，为了解学生的身体状况，现采用分层抽样的方法进行调查，若样本中有5名女生，则样本中男生人数为
A．4B．5C．6D．9
【解答】解：某班有45名学生，其中女生25名，男生有20名，
用分层抽样法抽取样本，其中有5名女生，男生有（名．
故选：．
平均数、中位数、众数、方差、标准差、极差
【要点讲解】用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似值. 实际应用时，需先计算样本数据的平均数，分析平均水平，再计算方差(标准差)分析稳定情况.
一名同学掷骰子5次，记录每次骰子出现的点数，可以判断一定没有出现点数6的是
A．平均数为3，中位数为2B．中位数为3，众数为2
C．平均数为2，方差为2.4D．中位数为3，方差为2.8
【解答】解：对于，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故错误；
对于，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故错误；
对于，若平均数为2，且出现6点，则方差，则平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故正确；
对于，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为：，方差为，可以出现点数6，故错误．
故选：．
若一组样本数据、、、的平均数为10，另一组样本数据、、、的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为
A．17，54B．17，48C．15，54D．15，48
【解答】解：由题意可知，数据、、、的平均数为10，则，
所以数据、、、的平均数为，
方差为，
所以，
将两组数据合并后，新数据、、、、、、、的平均数为：，
方差为：．
故选：．
四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是
A．平均数为3，中位数为2B．中位数为3，众数为2
C．平均数为2，方差为2.4D．中位数为3，方差为2.8
【解答】解：对于，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故错误；
对于，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故错误；
对于，若平均数为2，且出现6点，则方差，
平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故正确；
对于，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，
平均数为：
方差为，可以出现点数6，故错误．
故选：．
某校高一年级有女生504人，男生596人．学校想通过抽样的方法估计高一年级全体学生的平均体重，从高一女生和男生中随机抽取50人和60人，经计算这50个女生的平均体重为，60个男生的平均体重为，依据以上条件，估计该校高一年级全体学生的平均体重最合理的计算方法为
A．B．
C．D．
【解答】解：高一年级有女生504人，男生596人．总人数为，
从高一女生和男生中随机抽取50人和60人，没有按照比例分配的方式进行抽样，
不能直接用样本平均数估计总体平均数，
需要按照女生和男生在总人数中的比例计算总体的平均体重，
即，即选项最合理．
故选：．
总体百分位数
为了进一步学习贯彻党的二十大精神，推进科普宣传教育，激发学生的学习热情，营造良好的学习氛围，不断提高学生对科学、法律、健康等知识的了解，某学校组织全校班级开展“红色百年路科普万里行”知识竞赛．现抽取10个班级的平均成绩：70、71、73、76、78、78、81、85、89、90，据此估计该校各个班级平均成绩的第40百分位数为
A．77B．78C．76D．80
【解答】解：因共10个数据，则，故该组数据的第40百分位数为从小到大排列第4个数据与第5个数据的平均数，即．
故选：．
某城市30天的空气质量指数如下：29，26，28，29，38，29，26，26，40，31，35，44，33，28，80，86，65，53，70，34，36，，31，38，63，60，56，34，74，34．则这组数据的第75百分位数为 56 ．
【解答】解：易知，
将30个数据由小到大排列为：26，26，26，28，28，29，29，29，31，31，33，34，34，34，35，36，38，38，40，44，，53，56，60，63，65，70，74，80，86，
或26，26，26，28，28，29，29，29，31，31，33，34，34，34，35，36，38，38，40，，44，53，56，60，63，65，70，74，80，86，
因为，
所以这组数据的第75百分位数为上述排列后的从小到大的第23个数56．
故答案为：56．
某地一年之内12个月的降水量从小到大分别为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，则该地区的月降水量分位数为
A．58B．60C．61D．62
【解答】解：根据题意，12个数据从小到大分别为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，
因为，所以该地区的月降水量的分位数为，
故选：．
2020年11月1日零时广西14个地区人口的男、女性别比如下表所示：
根据表中数据可知，这14个数据的第60百分位数对应的地区是
A．柳州市B．南宁市C．北海市D．玉林市
【解答】解：将这14个数据（单位：按照从小到大的顺序排列为103.33，104.18，104.69，105.66，106.71，106.77，107.52，107.74，107.81，108.29，108.48，
108.90，110.66，119.01，
，
则这14个数据的第60百分位数为107.81，对应的地区是玉林市．
故选：．
频率分布直方图的应用
如图是根据原卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》绘制的我国7岁以下女童身高（长的中位数散点图，下列可近似刻画身高随年龄变化规律的函数模型是
A．B．
C．D．
【解答】解：选项，由散点图知身高随时间变化不是线性增长，故错误；
选项，指数函数模型中随增长越来越快，与图象不符合；
选项，对数函数模型在时没有意义；
选项，符合散点图中随增长越来越慢，且在时有意义．
故选：．
某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，选取了人参与问卷调查，将他们的成绩进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，且成绩落在，的人数为10，则
A．60B．80C．100D．120
【解答】解：由图可知，，
解得，
则成绩在，的频率为0.1，
由，
得．
故选：．
在一次实验中，某小组测得一组数据，，2，，，并由实验数据得到下面的散点图．由此散点图，在区间，上，下列四个函数模型，为待定系数）中，最能反映，函数关系的是
A．B．C．D．
【解答】解：由散点图的定义域可排除、选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型．
故选：．
某柚子种植户挑选了100个柚子称重（单位：斤），将100个称重数据分成，，，，，，这6组，并整理得到如图所示的频率分布直方图，则质量在区间，内的柚子数量是
A．15B．20C．25D．30
【解答】解：质量在区间，内的柚子的频率为：
，
质量在区间，内的柚子数量为．
故选：．
某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间，、，、、，、，．
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计该中学学生个性化作业评分的第70百分位数．（结果保留一位小数）；
（3）从评分在，的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在，的概率．
【解答】解：（1）由频率分布直方图可得，，
解得．
（2）由于，的频率之和为，
所以作业评分的第70百分位数在区间，内，设为，
则有，
解得．
（3）受访学生评分在，的人有人，编号为，，
受访学生评分在，的人有人，编号为1，2，3，
随机抽取2人的样本空间为，，，，，，，12，13，共包含10个样本点，
此2人评分都在，的概率为．
俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升．燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查，现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，，第2组，，第3组，，第4组，，第5组，，得到的频率分布直方图如图所示：
（1）求的值及样本数据的第50百分位数；
（2）若将频率视为概率，现在要从，和，两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在，这一组的概率．
【解答】解：（1）依题意，，；
前三组的频率之和，
前四组的频率之和
样本数据的第50百分位数落在第四组，且第50百分位数为；
（2），与，两组的频率之比为，
现从，与，两组中用分层抽样的方法抽取6人，
则，组抽取2人，记为，，，组抽取4人，记为1，2，3，4．
从这6人中随机抽取2人，所有可能的情况为：
，，，，，，，，，，，，，，，共15种，
其中至少有1人的年龄在，的情况有，，，，，，，，，共9种，
记“抽取的2人中至少有1人的年龄在，组”为事件，则．
某电信运营公司为响应国家网络建设政策，拟实行网络流量阶梯定价，每人月用流量中不超过（一种流量计算单位）的部分按0.8元收费，超过的部分按2元收费，从用户群中随机调查了10000位用户，获得了他们某月的流量使用数据，整理得到如下的频率分布直方图．已知用户月使用流量的中位数为31．
（1）求表中的；
（2）若为整数，依据本次调查为使以上用户在该月的流量价格为0.8元，则至少定为多少？
（3）为了进一步了解用户使用流量与年龄的相关关系，由频率分布直方图中流量在，和，两组用户中，按人数比例分配的分层抽样方法中抽取了100名用户，已知，组用户平均年龄为30，方差为36，流量在，组用户的平均年龄为20，方差为16，求抽取的100名用户年龄的方差．
【解答】解：（1），，．
（2）通过直方图可知第85百分位数落在第，组，
，
解得，，；
（3）按分层抽样在，组抽取40人记为，，，，
则，
，
在，组抽取60人，记为，，
同理可得，平均值为，
抽取的100名用户的方差．
长沙市某中学近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，2023年5月该中学进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，，第2组，，第3组，，第4组，，第5组，，第6组，，得到频率分布直方图（如图），观察图中信息，回答下列问题：
（1）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的平均数和第71百分位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从成绩在第5组和第6组的学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成绩优秀的概率．
【解答】解：（1），
所以本次考试成绩的平均分约为66.8；
因为成绩在，的频率为，
成绩在，的频率为，
所以第71百分位数位于，，
设其为，则，
解得，所以第71百分位数为75．
（2）第5组的人数为：人，第6组的人数为：人，
所以至少有1人成绩优秀的概率．
“山水画卷，郴州相见”，2023年9月16日，第二届湖南省旅游发展大会开幕式暨文化旅游推介会在郴州举行．开幕式期间，湖南卫视全程直播．学校统计了100名学生观看开幕式直播的时长情况（单位：分钟），将其按照，，，，，，，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：
请完成以下问题：
（1）求的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）为进一步了解学生观看开幕式的情况，采用分层抽样的方法在观看时长为，和，的两组中共抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人观看时长在，内的概率．
【解答】解：（1）由，
得；
观看时长在：，频率，
，频率，
，频率，
，频率，
，频率，
，频率，
样本平均值为：，
可以估计样本数据中平均值为93分．
（2）由题意可知，观看时长在，的人数为（人，
在，的人数为（人，
用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，
则需在，内抽2人，需在，内抽3人，
抽取的这2名学生至少有1人观看时长在，内的概率为．
地区
南宁市
柳州市
桂林市
梧州市
玉林市
防城港市
钦州市
男、女性别比
106.71
107.74
103.33
106.77
107.81
119.01
110.66
地区
贵港市
北海市
百色市
贺州市
河池市
来宾市
崇左市
男、女性别比
108.29
108.48
104.69
105.66
104.18
107.52
108.90