2025年高考数学一轮复习考点突破和专题练习专题15导数的应用--函数的零点问题（Word版附解析）

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1、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围.
求解步骤：
第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题；
第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；
第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.
2、函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令f（x）＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）·f（b）＜0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点．
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
3、求函数的零点个数时，常用的方法有：一、直接根据零点存在定理判断；二、将整理变形成的形式，通过两函数图象的交点确定函数的零点个数；三、结合导数，求函数的单调性，从而判断函数零点个数.
4、利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图像；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.
一、单选题
1．（2024·天津）函数在区间(0,1)内的零点个数是
A．0B．1C．2D．3
2．（2024·全国）函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全国）已知函数有唯一零点，则
A．B．C．D．1
4．（2024·吉林通化·模拟预测）已知函数满足：①定义域为；②；③有且仅有两个不同的零点，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·河南郑州·模拟预测）已知函数，若有3个不同的解，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
6．（2024高三上·河北保定·阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，有两个极值点
B．当时，的图象关于中心对称
C．当，且时，可能有三个零点
D．当在上单调时，
7．（2024·广东深圳·模拟预测）对于函数和，设，若存在，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的值可以是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
8．（2024·北京）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
9．（2024高三上·江苏南通·开学考试）已知定义在上的函数同时满足下列三个条件：
①为奇函数；②当时，，③当时，.
则函数的零点的个数为 .
10．（2024高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数，则方程有 个不相等的实数解．
11．（2024·陕西西安·一模）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为 .
四、解答题
12．（2024·全国）已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
13．（2024·全国）已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）证明：只有一个零点．
14．（2024·全国）已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
15．（2024·全国）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．
16．（2024高三上·河南·阶段练习）设函数，.
(1)若在上单调递增，求的取值范围；
(2)已知有两个不同的零点，
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
17．（2024高三上·四川成都·开学考试）已知函数有三个零点（）.
(1)求a的取值范围；
(2)过点与分别作的切线，两切线交于M点，求M点到y轴的距离.
18．（2024·全国）已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，则．
19．（2024·河北·模拟预测）已知函数.
(1)若不等式有解，求实数的取值范围；
(2)若有两个不同的零点，证明：.
20．（2024·陕西）设
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）证明：在内有且仅有一个零点（记为），且.
21．（2024高三上·河南洛阳·开学考试）（1）证明不等式：（第一问必须用隐零点解决，否则不给分）；
（2）已知函数有两个零点.求a的取值范围.（第二问必须用分段讨论解决，否则不给分）
22．（2024高三上·河北·期中）已知函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)记函数，若恒成立，试求实数的取值范围.
23．（2024高三上·云南·阶段练习）已知．
(1)当时，求在上的单调性；
(2)若，令，讨论方程的解的个数．
24．（2024高三上·北京·开学考试）已知函数，曲线在的切线为．
(1)求a，b的值；
(2)求证：函数在区间上单调递增；
(3)求函数的零点个数，并说明理由．
25．（2024高三上·河北保定·开学考试）已知函数，.
(1)当时，证明：在上恒成立；
(2)当时，求在内的零点个数..
26．（2024高三上·重庆·阶段练习）已知定义在上的函数，其导函数为.
(1)求的单调区间;
(2)若函数，求关于的方程的解的个数.
27．（2024高三上·河北·阶段练习）已知函数，为的导数.
(1)证明：在区间上存在唯一极大值点；
(2)求函数的零点个数.
28．（2024高三上·重庆·开学考试）已知函数.
(1)求的极值；
(2)若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围.
29．（2024高三上·四川广安·阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若函数只有一个零点，求实数的取值范围.
30．（2024高三上·江西南昌·开学考试）已知函数.
(1)求函数在上的单调区间和极值；
(2)若方程有两个不同的正根，求的取值范围.
31．（2024高三上·福建厦门·阶段练习）若函数，当时，函数有极值为，
(1)求函数的解析式；
(2)若有3个解，求实数的范围.
32．（2024·河北保定·二模）已知函数，其中常数，是自然对数的底数．
(1)若，求的最小值；
(2)若函数恰有一个零点，求a的值．
33．（2024高三上·重庆·阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若函数在区间上恰有一个零点，求的取值范围.
34．（2024·河南·模拟预测）已知函数．
(1)求证：曲线仅有一条过原点的切线；
(2)若时，关于的方程有唯一解，求实数的取值范围．
35．（2024·新疆·三模）已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)若方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围，并证明．
36．（2024·江西鹰潭·一模）设m为实数，函数.
(1)当时，直线是曲线的切线，求的最小值；
(2)已函数有两个不同的零点，（），若，且恒成立，求实数的范围.
37．（2024高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数.
(1)证明：当时，在区间上存在极值点；
(2)记在区间上的极值点为m，在区间上的零点的和为n，请比较2m与n的大小.
38．（2024高三上·内蒙古乌兰察布·期中）设函数，
(1)试讨论函数的单调性；
(2)如果且关于的方程有两个解，证明：.
39．（2024高三上·辽宁大连·期中）已知函数（自然对数的底数）有两个零点.
(1)求实数的取值范围；
(2)若的两个零点分别为，，证明：.
40．（2024高三下·重庆九龙坡·开学考试）已知且.
(1)试讨论函数的单调性；
(2)当时，若有三个零点.
①求的范围；
②设，求证：.
41．（2024高三上·广东河源·开学考试）已知函数，，其中.
(1)求过点且与函数的图象相切的直线方程；
(2)①求证：当时，；
②若函数有两个不同的零点，，求证：.
全国名校大联考2023-2024学年高三上学期第一联考（月考）数学试题）已知函数（）．
(1)若在上恒成立，求a的取值范围：
(2)设，，为函数的两个零点，证明：．
43．（2024·江苏南京·模拟预测）已知函数,.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）设，.
①求证：函数存在零点；
②设，若函数的一个零点为.问：是否存在，使得当时，函数有且仅有一个零点，且总有恒成立？如果存在，试确定的个数；如果不存在，请说明理由.
44．（2024高三上·山西临汾·期中）已知函数，，在上有且仅有一个零点.
(1)求的取值范围；
(2)证明：若，则在上有且仅有一个零点，且.
45．（2024高三上·广东深圳·阶段练习）已知，函数，.
(1)证明：函数，都恰有一个零点；
(2)设函数的零点为，的零点为，证明.
46．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数.
(1)求的最小值；
(2)设.
（ⅰ）证明：存在两个零点，；
（ⅱ）证明：的两个零点，满足.
47．（2024高三上·甘肃天水·阶段练习）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，，证明：函数有且仅有两个零点，两个零点互为倒数．
48．（2024·四川遂宁·模拟预测）已知函数．
（1）若函数在处取得极值，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，，证明：函数有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数．
49．（2024高三·湖南长沙·阶段练习）已知函数在其定义域内有两个不同的零点．
（1）求的取值范围；
（2）记两个零点为，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范围．
50．（2024·广西·模拟预测）已知．
（1）若函数有三个不同的零点，求实数a的取值范围；
（2）在（1）的前提下，设三个零点分别为且，当时，求实数a的取值范围．
51．（2024·贵州遵义·模拟预测）已知函数（）.
（1）若，且在内有且只有一个零点，求的值；
（2）若，且有三个不同零点，问是否存在实数使得这三个零点成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
52．（2024·浙江·二模）设，已知函数有个不同零点.
(1)当时，求函数的最小值：
(2)求实数的取值范围；
(3)设函数的三个零点分别为、、，且，证明：存在唯一的实数，使得、、成等差数列.
53．（2024高三上·山东临沂·期中）已知函数和有相同的最大值.
(1)求，并说明函数在（1，e）上有且仅有一个零点；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
54．（2024·湖北黄冈·三模）已知函数．
(1)当时，求函数在上的极值；
(2)用表示中的最大值，记函数，讨论函数在上的零点个数．
55．（2024·四川南充·三模）已知函数，．
(1)当时，求函数在上的极值；
(2)用表示，中的最大值，记函数，讨论函数在上的零点个数．
56．（2024·四川南充·三模）已知函数，其中为自然对数的底数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)用表示，中的最大值，记函数，当时，讨论函数在上的零点个数.
57．（2024·广东汕头·二模）已知函数，，.
(1)若函数存在极值点，且，其中，求证：；
(2)用表示m，n中的最小值，记函数，，若函数有且仅有三个不同的零点，求实数a的取值范围.
58．（2024高三上·山西朔州·期末）已知函数.
(1)若过点可作的两条切线，求的值.
(2)用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数.
59．（2024高三上·重庆南岸·阶段练习）已知．
(1)若函数在上有1个零点，求实数的取值范围．
(2)若关于的方程有两个不同的实数解，求的取值范围．
60．（2024高三上·湖南·阶段练习）已知函数.
（1）若，求函数的极值；
（2）若函数有且仅有两个零点，求a的取值范围.
61．（2024·江苏）已知关于x的函数与在区间D上恒有．
（1）若，求h(x)的表达式；
（2）若，求k的取值范围；
（3）若求证：．
62．（2024高三上·广东汕头·期中）已知函数，（e为自然对数的底数，且）.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求a的取值范围.
63．（2024高三·宁夏银川·阶段练习）已知函数
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.
（一）
函数零点的求解与判断方法
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
（4）结合导数，求函数的单调性，从而判断函数零点个数.
注：导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方
题型1：利用导数研究函数的零点个数
1-1．（2024高三下·江苏常州·阶段练习）已知，（n为正整数，）．
(1)当时，设函数，，证明：有且仅有1个零点；
(2)当时，证明：．
1-2．（2024·江西九江·二模）已知函数，．
(1)若直线与曲线相切，求a的值；
(2)用表示m，n中的最小值，讨论函数的零点个数．
1-3．（2024·山东·一模）已知，且0为的一个极值点．
(1)求实数的值；
(2)证明：①函数在区间上存在唯一零点；
②，其中且．
1-4．（2024·山东·一模）已知函数．
(1)若对时，，求正实数a的最大值；
(2)证明：；
(3)若函数的最小值为m，试判断方程实数根的个数，并说明理由．
1-5．（2024高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数．
(1)判断函数的单调性；
(2)设，证明：当时，函数有三个零点．
（二）
根据零点个数求参数
函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
题型2：根据零点个数求参数
2-1．（2024高二下·浙江台州·期末）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：当时，有且只有一个零点；
(3)若在区间各恰有一个零点，求的取值范围.
2-2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若函数在区间内存在零点，求实数的取值范围.
2-3．（2024·四川成都·一模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求的取值范围.
2-4．（2024高三上·广东·阶段练习）已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
2-5．（2024·浙江·二模）设函数.
(1)证明：当时，；
(2)记，若有且仅有2个零点，求的值.
2-6．（2024高三·全国·专题练习）已知有3个零点，求实数a的取值范围．
题型3：根据零点个数求值
3-1．（2024·陕西宝鸡·二模）已知是方程的一个根，则的值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
3-2．（2024高三上·广东东莞·阶段练习）已知函数，若方程有3个不同的实根，，（），则的取值范围是 .
3-3．（2024·福建福州·二模）已知函数有三个零点，且，则 .
（三）
零点与不等式的证明问题
证明双变量不等式的基本思路：首先进行变量的转化，即由已知条件入手，寻找双变量所满足的关系式，或者通过比值代换eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(令t＝\f(x2,x1)))，利用关系式将其中一个变量用另一个变量表示，代入要证明的不等式，化简后根据其结构特点构造函数，再借助导数，判断函数的单调性，从而求其最值，并把最值应用到所证不等式.
题型4：零点与不等式的证明问题
4-1．（2024高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数，.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当，时，函数有两个极值点，（），证明：.
4-2．（2024·宁夏）已知函数
（I） 如，求的单调区间；
（II） 若在单调增加，在单调减少，证明
>6.
4-3．（2024·广东深圳·二模）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)①当时，试证明函数恰有三个零点；
②记①中的三个零点分别为，，，且，试证明.
4-4．（2024·山东日照·三模）已知函数有三个零点.
(1)求的取值范围；
(2)设函数的三个零点由小到大依次是.证明：.
4-5．（2024·江苏泰州·一模）已知函数，，．
(1)若，求证：
（ⅰ）在的单调减区间上也单调递减；
（ⅱ）在上恰有两个零点；
(2)若，记的两个零点为，求证：．
4-6．（2024·辽宁·二模）已知函数.
（1）若.证明函数有且仅有两个零点；
（2）若函数存在两个零点，证明：.
4-7．（2024高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数.
(1)若存在极值，求的取值范围；
(2)若，已知方程有两个不同的实根，，证明：.（其中是自然对数的底数）
（四）
导数与“隐零点”问题
利用“隐零点”证明不等式：关键在于“设而不求”及“等量代换”，常见的有不含参和含参两种类型：①不含参函数的隐零点问题：已知不含参函数f(x)，导函数方程f′(x)＝0的根存在，却无法求出，设方程f′(x)＝0的根为x0，则(i)有关系式f′(x0)＝0成立；(ii)注意确定x0的合适范围. ②含参函数的隐零点问题：已知含参函数f(x，a)，其中a为参数，导函数方程f′(x，a)＝0的根存在，却无法求出，设方程f′(x，a)＝0的根为x0，则(i)有关系式f′(x0，a)＝0成立，该关系式给出了x0，a的关系；(ii)注意确定x0的合适范围，往往和a的取值范围有关.
题型5：导数与“隐零点”问题
5-1．（2024·全国）设函数.
（Ⅰ）讨论的导函数的零点的个数；
（Ⅱ）证明：当时.
5-2．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若有两个零点，记较小零点为，求证：.