2024-2025学年高二上学期（人教版）期末模拟数学试卷02

这是一份2024-2025学年高二上学期（人教版）期末模拟数学试卷02，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（本题5分）设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|﹣4≤x≤1}，则S∩T=（ ）
A．[﹣4，+∞）B．（﹣2，+∞）C．[﹣4，1]D．（﹣2，1]
2．（本题5分）若为虚数单位，，则
A．4B．3C．2D．1
3．（本题5分）等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（本题5分）现有四件不同款式的上衣与三条不同颜色的长裤，如果选一条长裤与一件上衣配成一套，那么不同的选法种数为（ ）
A．7B．64C．12D．81
5．（本题5分）直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．不确定
6．（本题5分）函数在区间内只有一个极值点的充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
7．（本题5分）已知的三条边的长分别为3，4，6，则它的较大的锐角的平分线分三角形所成的两个三角形的面积比是．
A．B．C．D．
8．（本题5分）已知函数，存在、、、，使得成立，则的最大值为
A．B．C．D．
二、多选题（共18分）
9．（本题6分）记是数列的前项的和，且，则下列说法正确的有（ ）
A．数列是等差数列B．数列是递减数列
C．数列是递减数列D．当时，取得最大值
10．（本题6分）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取一个球.事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“第二次取出的球的数字是2”，事件“两次取出的球的数字之和是8”，事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．与互斥B．与互斥C．与相互独立D．与相互独立
11．（本题6分）已知函数和其导函数的定义域都是，若与均为偶函数，则（ ）
A．
B．关于点对称
C．
D．
三、填空题（共15分）
12．（本题5分）已知向量与的夹角为，且，则与夹角的余弦值为 ．
13．（本题5分）已知正三棱锥的底面三角形的边长为，斜高为，则该正三棱锥的体积为 cm3
14．（本题5分）已知事件与事件互斥，如果，，那么 .
四、解答题（共77分）
15．（本题12分）已知曲线y＝f(x)＝，y＝g(x)＝，过两条曲线交点作两条曲线的切线，求两切线与x轴所围成的三角形面积．
16．（本题15分）如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，且平面ABCD
（1）求证：平面PAB；
（2）过CD作一平面交平面PAB于EF，求证：CD//.
17．（本题15分）某消费者协会在3月15号举行了以“携手共治，畅享消费”为主题的大型宣传咨询服务活动，着力提升消费者维权意识.组织方从参加活动的1000名群众中随机抽取n名群众，按他们的年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，其中第1组有6人，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）求m，n的值，并估计抽取的n名群众中年龄在的人数；
（2）已知第1组群众中男性有2人，组织方要从第1组中随机抽取3名群众组成维权志愿者服务队，求至少有两名女生的概率.
18．（本题16分）已知，，，函数的最小正周期为.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，a=2，求周长的取值范围.
19．（本题19分）已知圆：和点，， ，.
(1)若点是圆上任意一点，求；
(2)过圆 上任意一点 与点的直线，交圆于另一点,连接，，求证：.
2024-2025学年高二上学期期末模拟数学试卷02
参考答案：
1．D
【详解】∵集合S={x|x＞﹣2}=（﹣2，+∞），T={x|﹣4≤x≤1}=[﹣4，1]，
∴S∩T=（﹣2，1]．
故选D
2．C
【详解】，
故选C
3．B
【分析】利用等差数列的求和公式可求得结果.
【详解】由等差数列的求和公式可得.
故选：B.
4．C
【分析】分步求得选一件上衣和一件长裤的选法，结合分步计数原理，即可求解.
【详解】由题意，有四件不同款式的上衣与三条不同颜色的长裤，
从中四件不同款式的上衣中，任选一件有种选法，
从中三件不同颜色的长裤中，任选一件有种选法，
根据分步计数原理，可得共有种不同的选法.
故选：C.
5．B
【解析】求出直线所过定点，定点在圆内，由此可得所求位置关系．
【详解】易知直线过定点，又，∴在圆内，
∴直线与圆相交．
故选：B．
6．A
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合正弦型函数极佳点的意义列出不等式组求解即可.
【详解】由且，得，显然，
由函数在区间内只有一个极值点，则，解得，
结合选项，所以函数在区间内只有一个极值点的充分不必要条件是.
故选：A
7．B
【分析】利用余弦定理，可得较大的锐角边对的角，再利用面积公式即可得到比值．
【详解】不妨设，，，
由余弦定理可得 ，故角为钝角，
所以较大锐角为边对的角，为角平分线，则
所以由面积公式可得：
故答案选B
【点睛】本题主要考查余弦定理以及面积公式，属于中档题．
8．C
【分析】利用导数求出函数在区间上的最大值和最小值，由此可得出，由此可得出的最大值.
【详解】，定义域为，则，
令，得，当时，；当时，.
所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故函数在处取得最小值，即，
又，，且，所以，.
由于存在、、、，使得成立，
则，得，，则.
因此，的最大值为.
故选C.
【点睛】本题考查函数最值的应用，同时也考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，解题的关键就是将题意转化为函数的最值来处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
9．ACD
【分析】由等差数列的定义可判断A；由等差数列的单调性可判断C；根据的表达式结合二次函数的性质可判断BD.
【详解】∵，∴数列是等差数列，故A正确；
，，
∵当时，递增，∴数列不是递减数列，故B错误；
由得，所以数列是递减数列，故C正确；
∵，，∴当 时，取得最大值，故D正确.
故选：ACD.
10．ABD
【分析】列举出基本事件，再根据互斥事件及相互独立事件的定义判断即可.
【详解】依题意从中有放回地随机取两次球，则可能结果有：
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，共个结果.
事件包含的基本事件有：，，，，，共个；
事件包含的基本事件有：，，，，，共个；
事件包含的基本事件有：共个；
事件包含的基本事件有：，，，，，共个；
对于A：显然事件与事件不可能同时发生，所以与互斥，故A正确；
对于B：事件与事件不可能同时发生，所以与互斥，故B正确；
对于C：因为，，，
所以与不独立，故C错误；
对于D：因为，，，
所以与相互独立，故D正确.
故选：ABD
11．BD
【分析】用特殊值法，假设，可判断选项A；对进行变形处理，即可判断其对称性，从而判断选项B；对两边求导，可得，根据可判断的周期性和对称性，再根据特殊值关系，即可判断选项C；由特殊值关系得到，，化简，即可判断选项D.
【详解】假设，则，则，与都为偶函数，
则所设函数符合题意，此时，故A错误；
因为为偶函数，所以，即，
令，则，所以关于点对称，故B正确；
因为为偶函数，所以，
所以函数的图象关于直线对称，即，即，
因为，所以，所以，
则，故，
所以，所以，又，，
所以，所以无法确定的值，所以C错误；
又，，所以，
由，得，则，所以，
由知函数周期为4，则的周期也为4，则

，所以 D正确.
故选：BD.
【点睛】结论点睛：
对称性有关结论：
若，则关于直线对称；
若，则关于直线对称；
若，则关于点中心对称；
若，则关于点中心对称；
周期性结论：
若，则函数的周期为.
12．或.
【分析】设向量与的夹角为，根据向量的运算法则和向量的夹角公式，列出关于的方程，即可求解.
【详解】设向量与的夹角为，由，，
可得，
且，
又因为向量与的夹角为，可得，
即，可得，
解得或.
即与夹角的余弦值为或.
故答案为：或.
13．
【分析】先利用斜高所在直角三角形求出棱锥的高，再利用体积公式求解可得.
【详解】如图，正三棱锥，取的中心为，连接，连接并延长交于，连接，
由正三棱锥的定义得面，且为的中点，
则即为正三棱锥的斜高，，
,
又为等边三角形，则，
所以正三棱锥的高,
故该正三棱锥的体积为.
故答案为：.
14．/
【分析】根据互斥得到，计算，得到答案.
【详解】事件与事件互斥，则，，
故.
故答案为：.
15．
【分析】由两个曲线方程得到交点坐标为(1，1)，利用导数的几何意义求出两切线方程，
进而求出与x轴的交点坐标，结合三角形面积公式即可.
【详解】由得，得两曲线的交点坐标为(1，1)．
两条曲线切线的斜率分别为f′(1)＝，g′(1)＝-1．
易得两切线方程分别为y-1＝(x-1)，y-1＝-(x-1)，即y＝x+与y＝-x＋2．
其与x轴的交点坐标分别为(-1，0)，(2，0)，所以两切线与x轴所围成的三角形面积为×1×|2-(-1)|＝．
【点睛】解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用切点处的导数是切线的斜率、切点在切线上及切点在曲线上这三个条件联立方程解决．
16．（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】（1）先证，即可证明问题；
（2）先证CD//平面，即可由线面平行推证线线平行.
【详解】（1）因为四边形为矩形，故可得，
又因为平面，又平面，故可得，
又因为平面，且，
故可得平面.
（2）∵CD//AB，平面PAB，平面PAB，
∴CD//平面PAB.
又平面平面，
∴CD//.
【点睛】本题考查由线线垂直推证线面垂直，以及由线面平行推证线线平行，属综合基础题.
17．（1），，年龄在的人数为（2）
【分析】（1）根据第一组的频数和频率可得，由所有频率和为1可得，再求得间的频率后可得人数；
（2）把第一组人数编号，如男性为，女性为，然后用列举法写出任取3人的所有基本事件及至少有两名女生的基本事件，计数后可得所求概率．
【详解】（1），
设第2组的频率为f，
，
所以，
第3组和第4组的频率为，
年龄在的人数为；
（2）记第1组中的男性为，女性为，
随机抽取3名群众的基本事件是：，
，
共20种；
其中至少有两名女性的基本事件是：共16种.
所以至少有两名女性的概率为.
【点睛】本题考查频率分布直方图，考查古典概型．解题关键是掌握性质：频率分布直方图中所有频率（小矩形面积）之和为1．
18．(1)，
(2) .
【分析】（1）根据向量数量积运算以及三角恒等变换化简得的表达式，再利用三角函数的单调性可求得结果；
（2）由结合（1）可求得，又为锐角三角形，可得，由此利用正弦定理，三角恒等变换可求得的范围，从而得解.
【详解】（1）因为，，则，
，
故，
因为最小正周期为，所以，所以，故，
由，，解得，，
所以的单调递增区间为，.
（2）由（1）及，即，又，所以，解得，
又为锐角三角形，即，即，解，
，
又，，，
，
所以周长的取值范围为.
19．(1)2(2)见证明
【分析】（1）设点的坐标为，得出，利用两点间的距离公式以及将关系式
代入可求出的值；
（2）对直线的斜率是否存在分类讨论．
①直线的斜率不存在时，由点、的对称性证明结论；
②直线的斜率不存在时，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，通过计算直线和的斜率之和为零来证明结论成立．
【详解】（1）证明：
设，因为点是圆 上任意一点，
所以，
所以，

（2）①当直线的倾斜角为时，
因为点、关于轴对称，所以.
②当直线的倾斜角不等于时，
设直线的斜率为，则直线的方程为
.
设、，则，
.
，
，
.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系问题，考查两点间的距离公式、韦达定理在直线与圆的综合问题的处理，本题的关键在于将角的关系转化为斜率之间的关系来处理，另外，利用韦达定理求解直线与圆的综合问题时，其基本步骤如下：
（1）设直线的方程以及直线与圆的两交点坐标、；
（2）将直线方程与圆的方程联立，列出韦达定理；
（3）将问题对象利用代数式或等式表示，并进行化简；
（4）将韦达定理代入（3）中的代数式或等式进行化简计算．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
B
C
B
A
B
C
ACD
ABD
题号
11









答案
BD