2024-2025学年第一学期九年级数学(人教版)末模拟测试题01(含答案解析)

这是一份2024-2025学年第一学期九年级数学(人教版)末模拟测试题01(含答案解析)，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知关于x的一元二次方程一个实根为1，则另一个实根为（ ）
A. 2B. 3C. D.
3. 抛物线顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
4. 若反比例函数的图象经过点，则k的值是（ ）
A. 3B. C. D. 2
5. 如图，点是⊙的弦AB上一点．若，，AB的弦心距为，则的长为（ ）
A. 3B. 4C. D.
6. 已知二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是（ ）
A. ﹣1＜x＜3B. ﹣1＜x＜4
C. x＜﹣1或x＞3D. x＜﹣1或x＞4
7. 如图，已知与位似，位似中心为，且与周长之比是，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，正方形ABCD中，E为DC边上一点，且．将AE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接AF，FC．则线段FC的长度是（ ）

A. B. C. 2D.
9. 如图，和均是等腰直角三角形，其中斜边的端点在斜边的延长线上，，相交于点，则以下判断正确的是（ ）
A. 是等边三角形B.
C. 是等腰三角形D.
10. 如上图，和是全等的等腰直角三角形，，，与在直线上，开始时点与点重合，让沿直线向右平移，直到点与点重合为止，设与的重叠部分（即图中阴影部分）的面积为，的长度为，则与之间的函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
11. 若，则的值为______．
12. 点P是线段的黄金分割点，，若，则____________．
13. 如图，反比例函数的图象上有一点，轴于点，点在轴上，则的面积为______．
14. 已知抛物线与y轴交于点C，顶点的纵坐标为1，直线与x轴交于点E，与y轴交于点F．
（1）a的值为______；
（2）P为线段EF上一点，过点P作，交抛物线于M，N两点，若，则点P的坐标为______．
三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 解方程
（1）
（2）
16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题．
（1）画出关于y轴的轴对称图形；
（2）以点O为位似中心，在第一象限中出画出，使得与位似，且相似比为．
17. 在滨湖国际会展中心广场中央摆放着一个正六边形的鲜花图案，如图所示，已知第一层摆红色花，第二层摆黄色花，第三层是紫色花，第四层摆红色花由里向外依次按红、黄、紫的颜色摆放．
（1）这个鲜花图案有层，则这层共摆放了 盆花（用含的代数式表示）；
（2）如果最外层共有96盆花，则最外层花的颜色是 ，请计算此时鲜花图案共有多少盆花摆成的．
18. 已知反比例函数的图象经过第一、三象限．
（1）求k的取值范围；
（2）若，此函数的图象经过第一象限的两点，，且，求a的取值范围．
19. 2023年全国教育工作会议提出要把开展读书活动作为一件大事来抓，引导学生爱读书，读好书，善读书．某校为了推进这项工作，对全校学生一周内平均读书时间进行抽样调查，将调查结果的数据分成A、B、C、D、E五个等级并绘制成表格和扇形统计图如下．

（1）求统计图表中_________，_________．
（2）已知该校共有2800名学生，试估计该校每周读书时间至少3小时人数为________．
（3）该校每月末从每个班读书时间在E等级的学生中选取2名学生参加读书心得交流会，九年级某班共有3名男生1名女生的读书时间在E等级，现从这4名学生中选取2名参加交流会，用画树状图或列表的方法求该班恰好选出1名男生1名女生参加交流会的概率．
20. 如图，AB为的直径，点C在上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交的延长线于点Q．

（1）在线段上取一点D，使，连接，试为断与的位置关系，并说明理由．
（2）若，求长．
21. 某科技公司研制出一种新型产品，每件成本为2400元，销售单价为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．
（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元?
（2）设商家一次购买这种产品件，开发公司所获得的利润为元，求（元）与（件）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
22. 有这样一个问题：
如图，的内切圆与斜边相切于点，，，求ΔABC的面积（用含的式子表示）.

小冬根据学习几何的经验，先从特殊情况开始探究：
解：如图，令，，

设ΔABC的内切圆分别与相切于点，的长为
根据切线长定理，得，，
根据勾股定理得，
整理，得
所以
请你参考小冬的做法.
解决以下问题：
（1）当时，求ΔABC的面积；
（2）当时，直接写出ΔABC的面积（用含的式子表示）为 .
23. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是直角△ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E、F的坐标；
（3）在（2）条件下：在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
等级
周平均读书时间t：（单位：小时）
人数
A
4
B
a
C
20
D
15
E
5
2024-2025学年第一学期九年级数学期末模拟测试题01
答案解析
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．寻找对称中心，和对称轴是解题的关键；
根据轴对称图形和中心对称的定义逐项判断即可．
【详解】A．可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，找不到一条对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意；
B．可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，找不到一条对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意；
C．可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，也可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，也是轴对称图形，故选项符合题意；
D．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
故选：D．
2. 已知关于x的一元二次方程一个实根为1，则另一个实根为（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记“是一元二次方程的两根时，”是解题的关键，根据两根之和等于，结合方程的一个根是1，即可求出方程的另一个根．
【详解】解：，
∴方程两根之和，
∴方程的另一根．
故选：D．
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】抛物线y=ax−ℎ2+ka≠0的顶点坐标为 利用以上结论直接写出顶点坐标即可．
【详解】解：∵ ，
抛物线的顶点坐标是
故选：D．
【点睛】本题考查的是抛物线的性质，掌握抛物线的顶点式y=ax−ℎ2+ka≠0是解题的关键．
4. 若反比例函数的图象经过点，则k的值是（ ）
A. 3B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，把点代入反比例函数解析式中求出k的值即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
故选B．
5. 如图，点是⊙的弦AB上一点．若，，AB的弦心距为，则的长为（ ）
A. 3B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点作于点，根据垂径定理得出，继而得出，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵，，AB的弦心距为，
∴,，，
∴，
在中，，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．
6. 已知二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是（ ）
A. ﹣1＜x＜3B. ﹣1＜x＜4
C. x＜﹣1或x＞3D. x＜﹣1或x＞4
【答案】C
【解析】
【分析】求y＞0时x的取值范围，就是二次函数的图象在x轴下方时对应的x的范围．
【详解】根据图象可得x的范围是x＜﹣1或x＞3．
故选C．
7. 如图，已知与位似，位似中心为，且与的周长之比是，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵与位似，
∴，
∵与的周长之比是，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
8. 如图，正方形ABCD中，E为DC边上一点，且．将AE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接AF，FC．则线段FC的长度是（ ）

A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】延长，过点F作于点H，证明，得出，，证明，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：延长，过点F作于点H，如图所示：

则，
根据旋转可知，，，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴在中，根据勾股定理得：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明．
9. 如图，和均是等腰直角三角形，其中斜边的端点在斜边的延长线上，，相交于点，则以下判断正确的是（ ）
A. 是等边三角形B.
C. 是等腰三角形D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图所示，取的中点O，则，以O为原点，所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，过点E作垂直直线于G，垂直于直线于H，则四边形是矩形，证明，得到，，则点E在直线上运动，不妨设，，则，，即，利用勾股定理求出即可判断C；先证明，再由于当D在运动的过程中，的度数会发生变化，伴随着也发生变化，则不一定随时成立，即可判断B；当E在运动过程中，的长度是会发生变化的，则不一定随时成立，即可判断A；假设，则，求出直线的解析式，进而求出点F的坐标，过点F作轴于T，则，证明，得到，则，即可判断D．
【详解】解：如图所示，取的中点O，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
以O为原点，所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，过点E作垂直直线于G，垂直于直线于H，则四边形是矩形，
∴，，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，，
∴点E在直线上运动，
不妨设，，则，，即，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，故C符合题意；
∵，
∴，
∴，
∵当D在运动的过程中，的度数会发生变化，伴随着也发生变化，
∴不一定随时成立，故B不符合题意；
∵当E在运动过程中，的长度是会发生变化的，
∴不一定随时成立，
∴不一定是等边三角形，故A不符合题意；
假设，则，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
同理得直线的解析式为，
联立，
解得，
∴，
过点F作轴于T，则，
∴，
∴，
∴，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，坐标与图形，一次函数与几何综合，勾股定理等等，正确建立坐标系确定E点在第一象限角平分线上运动是解题的关键．
10. 如上图，和是全等的等腰直角三角形，，，与在直线上，开始时点与点重合，让沿直线向右平移，直到点与点重合为止，设与的重叠部分（即图中阴影部分）的面积为，的长度为，则与之间的函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据和是全等的等腰直角三角形，得出与的重叠部分也是等腰直角三角形，再根据当沿直线自点向右平移到点，即时，与的重叠部分的面积，即可得出答案．
【详解】解：和是全等的等腰直角三角形，
与的重叠部分也是等腰直角三角形，
当沿直线自点向右平移到点，即时，
与的重叠部分的面积，
当时，与的重叠部分的面积，
则与之间的函数图象大致是C．
故选：C．
【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，用到的知识点是等腰直角三角形的性质及面积的求法、二次函数的图象，关键是根据题意求出与之间的函数关系式，要注意的取值范围．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
11. 若，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查比例的性质，先根据题意得到，然后代入约分是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 点P是线段的黄金分割点，，若，则____________．
【答案】##
【解析】
【分析】由黄金分割点可知，较大部分比较小部分，等于整体比较大部分，等于，代入求值即可．
本题考查黄金比例，掌握黄金比例的比值是解决本题的关键．
【详解】解：点P是线段AB的黄金分割点，
，
故答案为：．
13. 如图，反比例函数的图象上有一点，轴于点，点在轴上，则的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，连接，根据三角形面积公式得到，根据比例系数的几何意义计算即可求解，掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵轴，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 已知抛物线与y轴交于点C，顶点的纵坐标为1，直线与x轴交于点E，与y轴交于点F．
（1）a的值为______；
（2）P为线段EF上一点，过点P作，交抛物线于M，N两点，若，则点P的坐标为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）求出顶点坐标，利用纵坐标的值解题即可；
（2），直线所在直线为，得到直线的解析式为，设，，利用根与系数的关系求出解题即可．
【详解】解：（1）
∴顶点坐标为，
∵顶点的纵坐标为1，
∴
∴抛物线解析式为
（2）过点作交轴于点G
∵，直线所在直线为，
∴当时，；令，则，则
∴
∵
∴
∴
即：
∴，解得：
∴
∴直线解析式为，
∵
∴直线的解析式为，
设，，
由消去y得到，
∴，
∵
∴，
∵点P在直线上，
∴
故答案为：，
【点睛】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的根与系数的关系，一元二次函数的顶点，解题的关键是学会用数形结合思想解决问题．
三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 解方程
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用公式法求解；
（2）首先把原方程化为一元二次方程的一般形式，再根据公式法求解．
【小问1详解】
，
∴
∴；
【小问2详解】
原方程可化为： ，
∵，
∴
∴
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的公式法求解是解题关键．
16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题．
（1）画出关于y轴的轴对称图形；
（2）以点O为位似中心，在第一象限中出画出，使得与位似，且相似比为．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查轴对称及位似，熟练掌握轴对称及位似的性质是解题的关键；
（1）分别得出点A、B、C关于y轴的对称点，然后连线即可；
（2）由（1）及位似的性质可进行作图
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求．
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求．
17. 在滨湖国际会展中心广场中央摆放着一个正六边形的鲜花图案，如图所示，已知第一层摆红色花，第二层摆黄色花，第三层是紫色花，第四层摆红色花由里向外依次按红、黄、紫的颜色摆放．
（1）这个鲜花图案有层，则这层共摆放了 盆花（用含的代数式表示）；
（2）如果最外层共有96盆花，则最外层花的颜色是 ，请计算此时鲜花图案共有多少盆花摆成的．
【答案】（1）
（2）红色；
【解析】
【分析】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出第层有盆花，层共有盆花．
（1）从图形可得：第1层花的盆数是6，第2层花的盆数是，第3层的花的盆数是，，则第层花的盆数是，从而可求层共有花的盆数；
（2）根据（1）所得的规律进行求解即可．
小问1详解】
解：第1层花的盆数是6，
第2层花的盆数是，
第3层的花的盆数是，
，
第层花的盆数是，
层共有花的盆数是：
；
【小问2详解】
解：由题意得：，
解得，
即第16层共有96盆花，
，
第16层花的颜色是红色，
共有花的盆数是：（盆．
18. 已知反比例函数的图象经过第一、三象限．
（1）求k的取值范围；
（2）若，此函数的图象经过第一象限的两点，，且，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解一元一次不等式．熟练掌握反比例函数，当时，图象经过第一、三象限，且在第一象限，随着的增大而减小是解题的关键．
（1）由题意知，，计算求解即可；
（2）由题意知，反比例函数在第一象限，随着的增大而减小，由，可得，计算求解并和综合求取值范围即可．
【小问1详解】
解：由题意知，，
解得，，
∴的取值范围为；
【小问2详解】
解：由题意知，反比例函数在第一象限，随着的增大而减小，
∵，
∴，
解得，，
∵，
∴，
∴的取值范围为．
19. 2023年全国教育工作会议提出要把开展读书活动作为一件大事来抓，引导学生爱读书，读好书，善读书．某校为了推进这项工作，对全校学生一周内平均读书时间进行抽样调查，将调查结果的数据分成A、B、C、D、E五个等级并绘制成表格和扇形统计图如下．

（1）求统计图表中_________，_________．
（2）已知该校共有2800名学生，试估计该校每周读书时间至少3小时的人数为________．
（3）该校每月末从每个班读书时间在E等级的学生中选取2名学生参加读书心得交流会，九年级某班共有3名男生1名女生的读书时间在E等级，现从这4名学生中选取2名参加交流会，用画树状图或列表的方法求该班恰好选出1名男生1名女生参加交流会的概率．
【答案】（1），
（2）1120 （3）
【解析】
【分析】（1）由等级得到学生总数，即可得出结果；
（2）根据样本所占的百分比，样本估计总体即可得出结果；
（3）利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再根据概率公式即可．
【小问1详解】
解：由等级得到学生总数人，
，，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：人，
故答案为：1120；
【小问3详解】
解：用A、B、C分别表示3男，用a分别表示1女．设事件M为：恰好抽到一男一女，用列表法分析如下：
用树状图分析如下：

所有等可能出现的结果总数为12个，事件M所含的结果数为6个，
，
∴恰好抽到一男一女概率为．
【点睛】本题考查了扇形统计图，样本估计总体，列表法与树状图法求概率，本题的关键是利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
20. 如图，AB为的直径，点C在上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交的延长线于点Q．

（1）在线段上取一点D，使，连接，试为断与的位置关系，并说明理由．
（2）若，求长．
【答案】（1）CD是切线，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握圆的性质定理和相似三角形的判定的方法．
（1）连接，根据等边对等角得到，，根据直角三角形两锐角互余可得，然后推导解题即可；
（2）连接，则有，即可得到，即可得到解题即可．
【小问1详解】
解：CD是的切线，理由如下：
连接，

∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵是的半径，
∴CD是的切线．
【小问2详解】
解：连接，

∵AB为的直径，，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：，
∴．
21. 某科技公司研制出一种新型产品，每件成本为2400元，销售单价为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．
（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元?
（2）设商家一次购买这种产品件，开发公司所获得的利润为元，求（元）与（件）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
【答案】（1）50件 （2）
【解析】
【分析】（1）设件数为，则销售单价为元，根据销售单价恰好为2600元，列方程求解；
（2）由利润（销售单价成本单价）件数，及销售单价均不低于2600元，按，，三种情形列出函数关系式．
【小问1详解】
解：设件数为，依题意，得，
解得，
答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元；
【小问2详解】
当时，，
当时，，即，
当时，，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，理解利润、售价、销售量之间的关系是解本题的关键．
22. 有这样一个问题：
如图，的内切圆与斜边相切于点，，，求ΔABC的面积（用含的式子表示）.

小冬根据学习几何的经验，先从特殊情况开始探究：
解：如图，令，，

设ΔABC的内切圆分别与相切于点，的长为
根据切线长定理，得，，
根据勾股定理得，
整理，得
所以
请你参考小冬的做法.
解决以下问题：
（1）当时，求ΔABC的面积；
（2）当时，直接写出ΔABC的面积（用含的式子表示）为 .
【答案】（1）35；（2）
【解析】
【分析】（1）模仿例题求解即可解决问题;
（2）探究规律，利用规律即可解决问题．
【详解】（Ⅰ）如图，令

设的内切圆分别与相切于点，CE的长为
根据切线长定理，得，，，
据勾股定理得，
整理，得
所以
（Ⅱ）由（1）可知：
【点睛】本题考查了三角形的面积，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
23. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是直角△ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E、F的坐标；
（3）在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）点E（，），F（，）；（3）存在，P1（，），P2（，），P3（，）．
【解析】
【分析】（1）根据AC=BC，求出BC的长，进而得到点A，B的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）利用待定系数法求出直线AB的解析式，用含m的式表示出E，F的坐标，求出EF的长度最大时m的值，即可求得E，F的坐标；
（3）分两种情况：∠E-90°和∠F=90°，分别得到点P的纵坐标，将纵坐标代入抛物线解析式，即可求得点P的值．
【详解】解：（1）∵OA=1，OC=4，AC=BC，
∴BC=5，
∴A（﹣1，0），B（4，5），
抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，
∴，解得：，
∴y=x2﹣2x﹣3；
（2）设直线AB解析式为：y=kx+b，
直线经过点A，B两点，
∴，解得：，
∴直线AB的解析式为：y=x+1，
设点E的坐标为（m，m+1），则点F（m，m2﹣2m﹣3），
∴EF=m+1﹣m2+2m+3=﹣m2+3m+4=﹣（m﹣）2+，
∴当EF最大时，m=，
∴点E（，），F（，）；
（3）存在．
①当∠FEP=90°时，点P的纵坐标为，
即x2﹣2x﹣3=，解得：x1=，x2=，
∴点P1（，），P2（，），
②当∠EFP=90°时，点P的纵坐标为，
即x2﹣2x﹣3=，解得：x1=，x2=（舍去），
∴点P3（，），
综上所述，P1（，），P2（，），P3（，）．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合题，掌握二次函数的性质和分类讨论思想是解题的关键．
等级
周平均读书时间t：（单位：小时）
人数
A
4
B
a
C
20
D
15
E
5
A
B
C
a
A
B
C