北师大版数学九上期末重难点培优训练专题01 菱形的性质与判定（2份，原卷版+解析版）

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考点一 根据菱形的性质与判定求角度 考点二 根据菱形的性质与判定求线段长
考点三 根据菱形的性质与判定求面积 考点四 根据菱形的性质与判定求动点中的最值问题
考点五 根据菱形的性质与判定求折叠问题 考点六 根据菱形的性质与判定无刻度作图
考点一 根据菱形的性质与判定求角度
例题：（2021·重庆·西南大学附中八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AE＝CF．
（1）求证四边形ABCD为菱形；
（2）若点E是AB的中点，求∠A的度数．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）先由AD∥BC，且AD＝BC得出四边形ABCD为平行四边形，再根据ASA证得△ADE≌△CDF，得出AD=CD即可得出结论；
（2）根据菱形的性质得出AD=AB，结合已知从而得出AE=AD，再利用直角三角形的性质即可得出答案；
【详解】
（1）证明：∵AD∥BC，且AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠AED=∠CFD=90°，
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF，
∴AD=CD
∴四边形ABCD为菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，
如图，连接
∵点E是AB的中点，


∴是等边三角形，
∴∠A=
【点睛】
本题考查了菱形的性质和判定、全等三角形的判定与性质，含有30°的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·新疆师范大学附属中学一模）如图，是的角平分线，过点作交于点，交于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果，，求的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠BDE=35°．
【解析】
【分析】
（1）由题意可证BE=DE，四边形BEDF是平行四边形，即可证四边形BEDF为菱形；
（2）先根据三角形的内角和定理得出，再由菱形的性质可求解．
【详解】
（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又四边形为平行四边形，
∴四边形为菱形．
（2），，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，掌握菱形的判定定理是本题的关键．
2．（2021·浙江宁波·八年级期末）已知：如图，在四边形中，．点在对角线上，且，
（1）求证：；
（2）连接，交于点，若，四边形周长为，求的大小．
【答案】（1）见解析；（2）60°
【解析】
【分析】
（1）由平行线的性质得出，根据即可证明；
（2）证明四边形是菱形．由勾股定理求出，由直角三角形的性质可得出的度数，则可得出答案．
【详解】
解：证明：（1），
，
，
，
，
在和中，
，
．
（2），
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
，，
四边形周长为16，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是证明和四边形为菱形．
考点二 根据菱形的性质与判定求线段长
例题：（2022·河北保定·八年级期中）如图，在ABCD中，BD＝AD，延长CB到点E，使BE＝BD，连接AE.
(1)求证：四边形AEBD是菱形；
(2)连接DE交AB于点F，若，，求AD的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）证四边形AEBD是平行四边形，再因为BE＝BD，即可由菱形的判定定理得出结论；
（2）连接DE交AB于F，根据四边形AEBD是菱形，得出AB⊥DE，从而证得∠EDC ＝∠EFB＝90°.得用勾股定理即可求解．
(1)
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，AD＝BC，
∵DB＝DA， BE＝BD，
∴AD＝BE，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵BE＝BD，
∴四边形AEBD是菱形
(2)
解：如图，连接DE交AB于F，
∵四边形AEBD是菱形，
∴AB⊥DE，
∴∠EFB＝90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABDC.
∴∠EDC ＝∠EFB＝90°.
∵DC＝，DC：DE＝1：3，
∴DE＝.
在Rt△EDC中，根据勾股定理可得
∴AD＝.
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质，菱形的判定与性质是解题词的关键．
【变式训练】
1．（2022·上海·八年级专题练习）已知，如图，在▱ABCD中，分别在边BC、AD上取两点，使得CE＝DF，连接EF，AE、BF相交于点O，若AE⊥BF．
(1)求证：四边形ABEF是菱形；
(2)若四边形ABEF的周长为16，∠BEF＝120°，求AE的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）由平行四边形的性质得出，，证出，则四边形是平行四边形，由，即可得出四边形是菱形；
（2）由菱形的性质得出，，证出是等边三角形，得出．
(1)
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
(2)
解：菱形的周长为16，
，，
，
是等边三角形，
．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；解题的关键是熟练掌握菱形的判定与性质．
2．（2022·新疆·乌鲁木齐市第九中学一模）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交、于点、，连接、．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)当AB4，BC8时，求线段EF的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用EF是AC的垂直平分线，可得∠EAC=∠ECA，∠CAF=∠FCA，在矩形中有，即有∠ECA=∠CAF，∠ECF=∠CFD，即可证得∠CFD=∠EAF，则有，再结合，AE=EC，可证四边形AFCE是菱形；
（2）根据（1）的结论，平行四边形AFCE是菱形，即有EF、AC相互垂直平分，根据菱形的性质可得BE=BC-AE，利用矩形的性质可求出AC，则有OA，在Rt△ABE中，利用勾股定理，有，即可解得AE，在Rt△AOE中，利用勾股定理，有，根据AE=5，OA=，可得OE=，即有EF=．
(1)
证明：∵EF是AC的垂直平分线，
∴AE=EC，AF=FC，
∴∠EAC=∠ECA，∠CAF=∠FCA，
∵在矩形中有，
∴∠ECA=∠CAF，∠ECF=∠CFD，
∴∠EAC=∠ECA=∠CAF=∠FCA，
∴∠ECF=∠EAF，
∴∠CFD=∠EAF，
∴，
再结合，可知四边形AFCE是平行四边形，
∵AE=EC，
∴平行四边形AFCE是菱形；
(2)
根据（1）的结论，平行四边形AFCE是菱形，
∴EF、AC相互垂直平分，且AE=EC=CF=FA，
∴EF=2OE，AC=2OA，
∵BC=8，AB=4，
∴BE=BC-EC=8-EC=8-AE，，
∴OA=，
在Rt△ABE中，利用勾股定理，有，
即：，解得：AE=5，
∴在Rt△AOE中，利用勾股定理，有，
根据AE=5，OA=，可得OE=，
∴EF=．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质、垂直平分线的性质、矩形的性质和勾股定理等知识，利用垂直平分线的性质证得四边形AECF是菱形是解答本题的关键．
考点三 根据菱形的性质与判定求面积与周长
例题：（2022·四川·德阳五中三模）如图，在四边形中，，于点O，点E是延长线上一点，，于点F．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若平分，，，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)33
【解析】
【分析】
（1）先证明它是平行四边形，再证明是菱形；
（2）先设，再用x表示AE，利用勾股定理建立方程即可求解．
(1)
∵，于点O，
∴，
∵，
∴四边形AECD是平行四边形，
由AD=CD，
∴四边形AECD是菱形．
(2)
如图，∵于点F，
∴∠AFC=90°，
又∵AC⊥BD，
∴∠BOA=90°，
∵平分，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴设，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵菱形AECD中，OD=OE，
∴，
∴．
．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等内容，解题关键是牢记相关概念，能利用勾股定理建立方程．
【变式训练】
1．（2022·贵州贵阳·一模）如图，已知四边形中，对角线，相交于点O，且，，过点O作，分别交，于点E，F．
(1)求证：；
(2)若，，求四边形的周长．
【答案】(1)见解析
(2)52
【解析】
【分析】
（1）先证四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥CB，则可证得△AOE≌△COF（ASA）；
（2）由△AOE≌△COF（ASA），可得OE＝OF＝5，BO＝12，利用勾股定理求出BF＝13，继而求得周长．
(1)
证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠OAE＝∠OCF，
∵∠AOE＝∠COF，，
∴△OAE≌△OCF（ASA），
(2)
解：∵△OAE≌△OCF，，，
∴OE＝OF＝5，BO＝DO＝12，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形，
∴，
∴四边形BCFE的周长＝13×4＝52．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质和勾股定理，解题关键是熟记相关性质，熟练运用这些判定与性质推理证明．
2．（2022·甘肃武威·三模）如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠ADC＝90°，∠ABC的平分线BE交CD于点E，交对角线AC于点O，OA＝OC，连接AE．
(1)求证：四边形ABCE是菱形；
(2)若BC＝5，CD＝8，求四边形ABCE的面积．
【答案】(1)见解析
(2)20
【解析】
【分析】
（1）利用AAS证明△ABO≌△CEO可得BO＝EO，即可证明四边形ABCE是平行四边形，由角平分线的定义可得∠CBE＝∠ABE＝∠CEB，即可得CB＝CE，进而可证明结论；
（2）由菱形的性质可求解CE＝AE＝5，DE＝3，利用勾股定理可求解AD的长，再利用菱形的面积公式计算可求解．
(1)
证明：∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CEO，∠BAO＝∠ECO，
在△ABO和△CEO中，
∴△ABO≌△CEO（AAS），
∴BO＝EO，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABE＝∠CEB，
∴CB＝CE，
∴四边形ABCE为菱形；
(2)
解：∵四边形ABCE是菱形，BC＝5，
∴AE＝CE＝BC＝5，
∵CD＝8，
∴DE＝CD−CE＝8−5＝3，
∵∠ADE＝90°，
∴AD＝＝＝4，
∴S四边形ABCE＝CE•AD＝5×4＝20．
【点睛】
本题主要考查菱形的判定，角平分线的定义，勾股定理，全等三角形的判定与性质，证明四边形ABCE是平行四边形是解题的关键．
3．（2022·云南·一模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点O的直线MN与AD、CB的延长线分别交于点M、N，连接CM，AN，且．
(1)求证：四边形ANCM是菱形；
(2)若四边形ANCM周长为12，，求四边形ANCM的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用平行四边形的性质，通过证明，得到四边形ANCM是平行四边形，再根据，即可判定；
（2）根据四边形ANCM周长为12，得到，由勾股定理可得，由，可得，从而求得，即可求解．
(1)
证明：平行四边形ABCD中，，
∴
又∵
∴（ASA）
∴，
∴四边形ANCM是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形ANCM是菱形；
(2)
解：由四边形ANCM周长为12可得，
∵，，
∴
由勾股定理可得：，
四边形ANCM的面积为
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理以及完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
考点四 根据菱形的性质与判定解决动点中的最值问题
例题：（2022·湖南娄底·中考真题）菱形的边长为2，，点、分别是、上的动点，的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解．
【详解】
解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，
菱形的边长为2，，
中，
PQ+QC的最小值为
故答案为：
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·江苏·苏州市胥江实验中学校八年级期中）如图，菱形的边在轴上，顶点坐标为，顶点坐标为，点在轴上，线段轴，且点坐标为，若菱形沿轴左右运动，连接、，则运动过程中，四边形周长的最小值是________．
【答案】13+
【解析】
【分析】
由题意可知AD、EF是定值，要使四边形周长的最小，AE＋DF的和应是最小的，运用“将军饮马”模型，根据点E关于AD的对称点为O，过点A作AF1∥DF，当O，A，F1三点共线时，AE+DF=OA+AF1=OF1，为所求线段和的最小值，再求四边形周长的最小值．
【详解】
∵点坐标为，点坐标为，
∴OC＝4，OD＝3，
∴在Rt△COD中，CD＝5，
∵四边形是菱形，
∴AD＝CD＝5，
∵坐标为，点 在轴上，线段轴，
∴EF＝8，
连接OA，过点A作AF1∥DF交EF于点F1，
则四边形ADFF1是平行四边形，FF1=AD=5，
∴EF1=EF-FF1=3，
∵点E，O关于AD对称，
∴OA=AE，
当O，A，F1三点共线时，AE+DF=OA+AF1=OF1，为所求线段和的最小值，
在Rt△OEF1中，OF1＝，
∴四边形周长的最小值：
AD＋EF＋AE＋DF＝ AD＋EF＋ OF1＝5＋8＋＝13+．
【点睛】
本题考查菱形，勾股定理，平移，轴对称，解决问题的关键是熟练掌握菱形的性质，勾股定理解直角三角形，平移图形全等性，轴对称性质．
2．（2022·辽宁大连·一模）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在对角线AC和边AD上，连接DE，EF，若AC=4，BD=2，则DE，EF之和的最小值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】
如图所示：在AB上取点F′，使AF′=AF，过点D作DH⊥AB，垂足为H．因为EF+DE=EF′+DE，推出当D、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+DE的值最小．
【详解】
解：∵菱形ABCD中，AC=4，BD=2，
∴AO=OC=2，BO=OD=1，
∴AD=AB=，
如图所示：在AB上取点F′，使AF′=AF，过点D作DH⊥AB，垂足为H．
∵S△ABD=•AO•BD=•AB•DH，
∴DH=，
∵EF+DE=EF′+DE，
∴当D、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+DE的值最小，最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查的是菱形的性质，轴对称的性质、勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是学利用对称解决最短问题．
考点五 根据菱形的性质与判定解决折叠问题
例题：（2022·山西·模拟预测）如图，在菱形中，，，，分别是边，上的点，将沿EF折叠，使点的对应点落在边上，若，则的长为______．
【答案】##
【解析】
【分析】
根据菱形性质和，可得，，，过点作于点，于点，过点于点，得矩形，然后利用含度角的直角三角形可得，得，再利用勾股定理即可解决问题．
【详解】
解：在菱形中，，，，
，
如图，过点作于点，于点，过点于点，
得矩形，如图所示：
，，
，，
，，
由翻折可知：，，
，
，
，
，
解得，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理，得：，
，
解得，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查勾股定理求线段长，涉及到翻折变换的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·云南·麻栗坡县第二中学一模）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝45°，点E在边AB上，将△BCE沿CE折叠．若点B的对应点B′落在AD边所在的直线上，则BE的长为________．
【答案】4或
【解析】
【分析】
分两种情况，第一种情况，由折叠性质可知：= CB= CD，可知E点与A点重合，BE=AB，第二种情况，由折叠性质可知，BC=，得∠B=∠E= 45°，再证∠AE = 90°，设BE= E= x，得，即可得答案．
【详解】
解：
第一种情况，如上图，由折叠性质可知：= CB= CD，
∴在AD线上仅D点符合题意，
∵∠B=∠D= 45°，
∴E点与A点重合，BE=AB，
∴BE=4；
第二种情况，如上图，由折叠性质可知，BC=，
∴∠B=∠E= 45°，
∵在菱形中BC=CD=，
∴∠D=∠B=∠D= 45°，ADBC，∠AE=∠B= 45°，
∴∠AE=∠DC+∠EC= 90°，
∴A=E，
设BE= E= x，则， ，
解得： ，
故答案为：4或．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、菱形的性质、一元一次方程的解法，解题的关键是注意两种情况．
2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E为AD边上的一个动点，连接BE，将AB沿着BE折叠得到A'B，A的对应点为A'，连接A'D，当A′B⊥AD时，∠A'DE的度数为 ______．
【答案】15°##15度
【解析】
【分析】
由菱形的性质可得，可证是等边三角形，由等边三角形的性质可得垂直平分，，由折叠的性质可得，可得，即可求解．
【详解】
解：如图，连接，，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
垂直平分，，
，
，
将沿着折叠得到，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，证明是等边三角形是解题的关键．
考点六 根据菱形的性质与判定无刻度作图
例题：（2022·江西吉安·九年级期末）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，延长BC至E，使．取CD的中点F，连接EF，请利用无刻度的直尺按下列要求作图（保留画图痕迹）．
(1)在图1中作出△CEF中CF边上的中线；
(2)在图2中作出BC的中点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）连接AC和BD交于点O，连接OE交CD于点G，EG即为所求；
（2）连接AC和BD交于点O，连接FO并延长交AB于点M，连接MC交BD于点N，连接AN并延长，交BC于点H，点H即为所求.
(1)
解：如图，EG即为所求；
(2)
解：如图，点H即为所求；
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图，解题的关键是掌握菱形的性质，灵活运用所学知识解决问题.
【变式训练】
1．（2022·江西萍乡·二模）如图，菱形ABCD及点P，请仅用无刻度的直尺按要求完成下列作图．
（1）如图1，若点P在AB上，请在CD上作出点Q，使CQ=AP；
（2）如图2，若点P在菱形ABCD外，请在菱形外作点Q，使△CQD≌△APB．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）连接，交于点，连接延长交于点，点即为所求．
（2）连接，交于点，延长交的延长线于，连接交的延长线于，连接，连接，延长交于点，连接，点即为所求．
【详解】
解：（1）如图1中，点即为所求．
（2）如图2中，点即为所求．
【点睛】
本题考查作图复杂作图，菱形的性质等知识，解题的关键是作出菱形的对称中心，属于中考常考题型．
2．（2022·江苏盐城·二模）如图，在中，点N在BC上，，BM平分交AD于点M，请用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）．
(1)在图1中，过点A画出中BM边上的高AP，并证明你的结论；
(2)在图2中，过点C画出C到BM的垂线段CQ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）连接AN即可，根据菱形的性质与判定证明即可；
（2）连接，交于点，过点作，交于点，连接交于点，则线段即为所求．
(1)
如图1，AP即为所求中BM边上的高；
证明：∵BM平分，
∴．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴四边形ABNM是平行四边形，
∵，
∴是菱形，
∴，
即AP为中BM边上的高；
(2)
如图2，连接，交于点，过点作，交于点，连接交于点，则线段即为所求．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AE∥CN，
∴∠AEO=∠CNO，
∵∠AOE=∠CON，
∴△AOE≌△CON（AAS），
∴OE=ON，
∴四边形ANCE是平行四边形，
∴AN∥CE，
∵AN⊥BM，
∴CE⊥BM，即CQ⊥BM．
【点睛】
本题考查了无刻度直尺作图，平行线的性质与判定，菱形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
一、选择题
1．（2022·广东·珠海市拱北中学八年级期中）已知菱形的两条对角线的长分别为8和10，则菱形的面积为（ ）
A．160B．80C．40D．20
【答案】C
【解析】
【分析】
根据菱形面积等于两条对角线乘积的一半，计算求值即可．
【详解】
解：∵菱形的两条对角线的长分别为8和10，
∴菱形的面积，
故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，菱形的面积，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题关键．
2．（2022·重庆·西南大学附中九年级期中）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，过点A作于点E，连接OE．若，，则DE的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由直角三角形斜边上的中线性质得AC＝2OE＝2，则OA＝AC＝，再由勾股定理得OB＝，则BD＝2OB＝2，然后由菱形面积求出AE的长，即可解决问题．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AD＝AB＝3，OA＝OC，OB＝OD，BD⊥AC，
∵AE⊥CD，
∴∠AED＝∠AEC＝90°，
∴AC＝2OE＝2，
∴OA＝AC＝，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝，
∴BD＝2OB＝2，
∵S菱形ABCD＝CD•AE＝AC•BD＝×2×2＝2，
∴AE＝，
∴DE＝，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
3．（2022·海南省直辖县级单位·二模）如图，菱形纸片中，，P为中点，折叠菱形纸片，使点C落在所在的直线上，得到经过点D的折痕，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接BD，由菱形的性质及∠A＝60°，得到△ABD为等边三角形，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP＝30°，进而求出∠PDC＝90°，由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．
【详解】
解：连接BD，
∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，
∵P为AB的中点，
∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，
∴∠PDC＝90°，
∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，
在△DEC中，∠DEC＝180°−∠CDE−∠C＝75°，
故选：B．
【点睛】
此题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质以及内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．
4．（2022·河北·八年级期中）如图，在菱形中，，．动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿方向向点运动，同时，动点从点出发沿方向向点运动，它们同时到达目的地，则运动到（ ）秒时．
A．3或B．3C．D．5
【答案】A
【解析】
【分析】
分两种情形求解即可：①当点Q与点O重合时，PQ=OP，此时t=3秒；②如图1中，当OP=PQ时，想办法构建方程即可解决问题．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AO=CO，BC//AD，
∵，
∴∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，∠BAO=∠DAO=30°，
∴BO=AB=3，
∴CO=AO=，
设点Q的运动速度为x单位/秒，由题意得
，
解得x=，
经检验x=符合题意．
①当点Q与点O重合时，PQ=OP，此时t=3÷=3秒；
②如图1中，当OP=PQ时，作PH⊥OA于H，则QH=OH．
在Rt△APH中，PA=t，∠PAH=30°，
∴PH=t，
∴AH=t，
∴OH=3-t，
∵QH=（t-3），
∴（t-3）=3-t，
解得t=，
综上所述，当t=3秒或秒时，OP=PQ．
故选A．
【点睛】
本题考查菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．（2022·甘肃武威·中考真题）如图1，在菱形中，，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图2所示，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图1和图2判定三角形ABD为等边三角形，它的面积为解答即可．
【详解】
解：在菱形ABCD中，∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，
设AB=a，由图2可知，△ABD的面积为，
∴△ABD的面积
解得：a=
故选B
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．
二、填空题
6．（2022·江苏·徐州市第十三中学三模）如图，在菱形中，、分别为、的中点，若，则菱形的周长为______．
【答案】16
【解析】
【分析】
由三角形中位线定理可求长为长的2倍，那么菱形的周长等于，由此问题得解．
【详解】
解：∵点，分别为，的中点，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴菱形周长为：．
故答案为：16．
【点睛】
本题考查了菱形的四边相等的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质．熟记各性质是解答本题的关键．
7．（2022·上海市张江集团中学八年级期中）在平面直角坐标系中，点A、B分别为A（－3，0）、B（0，－4），点C在x轴上，若四边形ACBD是菱形，则点D的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】
由菱形的性质得BD=AC=BC，，设OC=x，则BD=BC=AC=OA+OC=3+x，然后在Rt△OBC中，由勾股定理得：x2+42=（3+x）2，解得，即可解决问题．
【详解】
解：如图，∵四边形ACBD是菱形，
∴BD=AC=BC，，
∵A（-3，0）、B（0，-4），
∴OA=3，OB=4， 设OC=x，则BD=BC=AC=OA+OC=3+x，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：x2+42=（3+x）2，
解得：，
∴BD=3+=，
∴点D的坐标为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
8．（2022·江苏·苏州市胥江实验中学校八年级期中）如图，在中，分别是上的点，，将沿所在的直线翻折，使点的对应点与点重合，且点落在点处，连接，若，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
过点作的垂线交延长线于点，根据翻折的性质证明，根据全等的性质，证明四边形是菱形，根据菱形的性质得到、的长度，根据平行线的性质得到，根据含角的直角三角形三边关系，即可求出，的长度，根据勾股定理即可求出的长度．
【详解】
解：过点作的垂线交延长线于点
∵翻折
∴，，
∵四边形是平行四边形
∴，，
∴，，
∵，
∴
在和中
∵
∴
∴，
∵
∴
∴
又∵
∴四边形是平行四边形
∵
∴平行四边形是菱形
∵
∴是等边三角形
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查了翻折、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质、含角的直角三角形三边关系、勾股定理等知识点，正确作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求线段长是解答本题的关键．
9．（2022·陕西·中考真题）如图，在菱形中，．若M、N分别是边上的动点，且，作，垂足分别为E、F，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
连接AC交BD于点O，过点M作MG//BD交AC于点G，则可得四边形MEOG是矩形，以及，从而得NF=AG，ME=OG，即NR+ME=AO，运用勾股定理求出AO的长即可．
【详解】
解：连接AC交BD于点O，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO=，AD//BC，
∴
在Rt中，AB=4，BO=，
∵，
∴
过点M作MG//BD交AC于点G，
∴,
∴
又
∴，
∴四边形MEOG是矩形，
∴ME=OG，
又
∴
∴
在和中，
,
∴≌
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
10．（2022·上海市张江集团中学八年级期中）如图，在ABCD和BEFG中，AB＝AD，BG＝BE，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
延长GP交CD于点H，根据AB＝AD，BG＝BE，得出四边形ABCD和四边形BEFG都是菱形，由菱形的性质证明△DPH≌△FPG，得出DH=GF，进而得出△CHG为等腰三角形，利用等腰三角形的性质得出CP⊥HG，∠PCG=60°，再利用直角三角形的性质，即可求解．
【详解】
解：如图，延长GP交CD于点H，
在ABCD和BEFG中，AB＝AD，BG＝BE，
∴四边形ABCD和四边形BEFG都是菱形，
∴CD=CB，GF=GB，CD∥AE，GF∥AE，
∴CD∥GF，
∴∠DHP=∠FGP，
∵∠DPH=∠FPG，DP=FP，
∴△DPH≌△FPG（AAS），
∴DH=GF，PH=PG，
∴DH=GB，
∴CH=CG，
∴CP⊥PG，
∴∠HCG=2∠PCG，
∵∠ABC=60°，
∴∠HCG=180°-∠ABC=120°，
∴∠PCG=60°，
∴∠CGP=30°，
∴CG=2PC，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】
本题考查了菱形的的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质是解决问题的关键．
三、解答题
11．（2022·四川广元·中考真题）如图，在四边形ABCD中，ABCD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连接CE．
(1)求证：四边形AECD为菱形；
(2)若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．
【答案】(1)见详解
(2)△ABC的面积为
【解析】
【分析】
（1）由题意易得CD=AE，∠DAC=∠EAC=∠DCA，则有四边形AECD是平行四边形，然后问题可求证；
（2）由（1）及题意易得，则有△BCE是等边三角形，然后可得△ACB是直角三角形，则，进而问题可求解．
(1)
证明：∵ABCD，AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠EAC，∠EAC=∠DCA，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
∵AB＝2CD，E为AB中点，
∴，
∵，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵DA=DC，
∴四边形AECD是菱形；
(2)
解：由（1）知：，
∵∠D＝120°，
∴，
∵E为AB中点，
∴，
∴△BCE是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质与判定、等边三角形的性质及含30°直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质与判定、等边三角形的性质及含30°直角三角形的性质是解题的关键．
12．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，∠BAC＝90°，点E为BC的中点
(1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)连接BD，如果BD平分∠ABC，AD＝2，求BD的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）由直角三角形的性质可得，且，可证四边形是平行四边形，即可得结论；
（2）由角平分线的性质和平行线的性质可得，可证四边形是等腰梯形，可得，由勾股定理可求的长，即可得的长．
(1)
证明：，点为的中点，
，
，且，
四边形是平行四边形，且，
四边形是菱形；
(2)
解：如图，
，
四边形是梯形，
平分，
，
，
，
四边形是菱形，
四边形是等腰梯形，
，
．
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是求证．
13．（2022·广东深圳·三模）如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点、．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的周长．
【答案】(1)见解析
(2)68
【解析】
【分析】
（1）证△MOD≌△NOB（AAS），得出OM=ON，由OB=OD，证出四边形BNDM是平行四边形，进而得出结论；
（2）由菱形的性质得出BM=BN=DM=DN，OB=BD，OM=MN，由勾股定理得BM的长，即可得出答案．
(1)
证明：∵AD∥BC，
，
是对角线的垂直平分线，
，，
和中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
(2)
解：四边形是菱形，
，，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
菱形的周长．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
14．（2022·浙江金华·九年级期中）如图，中，、分别是、的中点，，过点作BF//CE，交的延长线于点．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，，求菱形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）跟了中点的性质及平行线的性质即可求证结论．
（2）根据（1）中菱形的性质可得是等边三角形，过点作于点，利用勾股定理即可求得答案．
(1)
证明：、分别是、的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是菱形．
(2)
由知，
，
是等边三角形，
，
，
，
过点作于点，如图所示，

，
在中，
，，，
，
．
【点睛】
本题考查了菱形的判定及性质、勾股定理的应用、三角形的中位线定理，熟练掌握菱形的判定及性质是解题的关键．
15．（2022·安徽·中考真题）已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．
(1)如图1，若，求证：四边形BCDE是菱形；
(2)如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．
（ⅰ）求∠CED的大小；
（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．
【答案】(1)见解析
(2)（ⅰ）；（ⅱ）见解析
【解析】
【分析】
（1）先根据DC=BC，CE⊥BD，得出DO=BO，再根据“AAS”证明，得出DE=BC，得出四边形BCDE为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，得出四边形BCDE为菱形；
（2）（ⅰ）根据垂直平分线的性质和等腰三角形三线合一，证明∠BEG=∠DEO=∠BEO，再根据∠BEG+∠DEO+∠BEO=180°，即可得出；
（ⅱ）连接EF，根据已知条件和等腰三角形的性质，算出，得出，证明，再证明，即可证明结论．
(1)
证明：∵DC=BC，CE⊥BD，
∴DO=BO，
∵，
∴，，
∴（AAS），
∴，
∴四边形BCDE为平行四边形，
∵CE⊥BD，
∴四边形BCDE为菱形．
(2)
（ⅰ）根据解析（1）可知，BO=DO，
∴CE垂直平分BD，
∴BE=DE，
∵BO=DO，
∴∠BEO=∠DEO，
∵DE垂直平分AC，
∴AE=CE，
∵EG⊥AC，
∴∠AEG=∠DEO，
∴∠AEG=∠DEO=∠BEO，
∵∠AEG+∠DEO+∠BEO=180°，
∴．
（ⅱ）连接EF，
∵EG⊥AC，
∴，
∴，
∵
∵AE=AF，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
，
，
，
∴，
，
∴（AAS），
．
【点睛】
本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质，作出辅助线，得出，得出，是解题的关键．
16．（2021·江西南昌·八年级期末）如图，点为线段上一点且不与，两点重合，分别以，为边向的同侧做锐角为60°的菱形．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中，连接，若，作出线段的中点；
（2）在图2中，连接，若，作出线段的中点．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）连接AF，BD交于点O，连接DF，连接CO延长CO交DF于点M，点M即为所求．
（2）连接AD，BF，延长AD交BF的延长线于E，连接CE，DF交于点N．点N即为所求．
【详解】
解：（1）
如图点为的中点
（2）
如图点为的中点
【点睛】
本题考查作图−复杂作图，菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中线等知识，解题的关键是利用三角形中线的定义，平行四边形的性质解决问题．
17．（2022·浙江宁波·八年级期中）问题原型
(1)如图1，在菱形中，，于E，F为中点，连结，．试猜想的形状，并说明理由．
(2)如图2，在中，于E，F为中点，连结，．试猜想的形状，并说明理由．
(3)如图3，在中，F为上一点，连结，将沿折叠，点C的对应点为．连结并延长交于G，若，求证：F为中点．
(4)如图4，直角坐标系中有，点A与原点重合，点B在x轴正半轴上，与y轴交于点E．将其沿过A的直线折叠，点B对应点恰好落在y轴上，且折痕交于M，交于点N．若的面积为48，，，求点M的坐标和阴影部分面积（直接写出结果）．
【答案】(1)是等边三角形
(2)是等腰三角形
(3)证明见解析
(4)
【解析】
【分析】
（1）连接，证明和是等边三角形，进而证明，证明，从而得出，进而得出结果；
（2）取的中点，连接，直线交于，证明四边形是平行四边形，，进而得出是的中位线，进一步得出是等腰三角形；
（3）由条件推出，进而得出四边形是平行四边形，从而，进而证明，进一步得出结论；
（4）根据条件求得，，从而求得的解析式，求出的解析式，从而求得点坐标，求出的解析式，从而求得点坐标，从而求得的长，求出和的面积，进而求得阴影部分面积．
(1)
如图1，
连接，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
同理可得：是等边三角形，
，，
点是的中点，
，，
，
在和中，
，
，
，
是等边三角形；
(2)
如图2，
是等腰三角形，理由如下：
取的中点，连接，直线交于，
四边形是平行四边形，
，，
点是的中点，是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
点是的中点，
，
，
，
即：是等腰三角形；
(3)
证明：由（2）知：，，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
即：点是的中点
(4)
由得，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
直线的解析式为：，
，
直线的解析式为：，
由得，
，
，，
，
，
直线的解析式为：，
当时，，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了菱形性质，平行四边形性质，等腰三角形的判定，勾股定理，求一次函数解析式等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造线段垂直平分线．