北师大版数学九上期末重难点培优训练第六章 反比例函数培优检测卷（2份，原卷版+解析版）

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考试范围：第六章； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2022·浙江金华·八年级期末）下列坐标对应的点在反比例函数的图象上的是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对各选项进行判断．
【详解】解：∵1×（﹣4）＝﹣4，4×1＝4，8×2＝16，2×8＝16，
∴点（1，﹣4），（8，2），（2，8）不在反比例函数y＝图象上，点（4，1）在反比例函数y＝图象上．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是知道反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
2．（2022·福建·福州立志中学九年级阶段练习）如图，反比例函数图象过点A，则k的值为（ ）
A．k＝1B．k＝2C．k＝-1D．k＝-2
【答案】D
【分析】把点A（﹣2，1）代入反比例函数中，即可求出k的值．
【详解】解：∵反比例函数图象过点A（-2，1），
∴，即k＝-2，
故选：D．
【点评】此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，熟知待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．
3．（2022·安徽·定远县第一初级中学九年级阶段练习）下列函数：①y=x-2；②；③；④；y是x的反比例函数的个数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】根据反比例函数的定义：进行判断即可．
【详解】解：由反比例函数的定义可知：是反比例函数，其余都不是；
故选B．
【点睛】本题考查反比例函数的定义．熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．
4．（2022·山东·东平县实验中学九年级阶段练习）若点在反比例函数（为常数，）的图象上，则下列有关该函数的说法正确的是（ ）
A．该函数的图象经过点B．该函数的图象位于第一、三象限
C．的值随的增大而增大D．当时，的值随的增大而增大
【答案】D
【分析】先把点（-1，2）代入反比例函数（k为常数，k≠0）求出k的值，再根据反比例函数的性质即可判断．
【详解】解：∵反比例函数（k为常数，k≠0）图象经过点（-1，2），
∴k=-1×2=-2，
∴函数的图象位于第二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大，
故B、C选项说法错误，不合题意；
D选项说法正确，符合题意；
∵1×2=2≠k，
∴该函数的图象不经过点（1，2），故A选项说法错误，不合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
5．（2022·江苏·赣榆汇文双语学校八年级阶段练习）如图，A、B两点在反比例函数的图像上，C、D两点在反比例函数的图像上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC=2，BD=1，EF=3，则的值是（ ）
A．6B．4C．3D．2
【答案】D
【分析】设点的坐标为，点的坐标为，则，，，，先将点的坐标代入反比例函数可得，由此可得，再根据可得，从而可得，由此即可得出答案．
【详解】解：由题意，设点的坐标为，点的坐标为，
则，，，，
将点，代入得：，
解得，
，
，即，
解得，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图像，熟练掌握反比例函数图像上的点的坐标特征是解题关键．
6．（2022·湖南·张家界市民族中学九年级阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据一次函数和反比例函数的图像与系数的关系，即可判断各选项是否正确．
【详解】解：∵与y轴的交点为（0，1）
∴可排除B、D选项；
当时，的图像y随x的增大而增大，不经过第四象限，在第一、三象限；C符合；
当时，的图像y随x的增大而减小，不经过第三象限，的图像在第二、四象限，无选项符合；
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图像与系数的关系，掌握相关知识并熟练使用，分类讨论是本题的解题关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2022·湖南永州·二模）若点在反比例函数的图像上，则a的值为______．
【答案】2
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点P的坐标代入该反比例函数的解析式，列出关于a的方程，通过解方程即可求得a的值．
【详解】解：∵点在反比例函数的图像上，
∴，
解得，a=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．反比例函数图象上的所有点的坐标，均满足该反比例函数的解析式．
8．（2021·湖南·安仁县玉潭学校九年级阶段练习）已知直线与双曲线有一交点为（﹣2，4），则另一交点坐标是_____．
【答案】（2，﹣4）
【分析】比例函数的图像是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【详解】解：设直线与双曲线交于A、B两点，
∵点A与B关于原点对称，A（﹣2，4），
∴B点的坐标为（2，﹣4）．
故答案为：（2，﹣4）．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题的知识点，反比例函数图像的中心对称性，要求同学们要熟练掌握．
9．（2022·山东·东平县实验中学九年级阶段练习）已知函数是反比例函数，且当x＜0时，y随x的增大而减小，则m的值是_____．
【答案】3
【分析】根据函数是反比例函数，可得出，再结合当x＜0时，y随着x的增大而减小，可得出，即可得出结论．
【详解】解：∵函数是反比例函数，且当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴且，
解得：．
故答案为：3
【点睛】此题主要考查反比例函数定义及性质，能把函数的增减性与比例系数的符号相结合解题是最基本的要求．
10．（2022·浙江·杭州市文澜中学八年级期末）已知反比例函数与一次函数的图象交于点则的值为______．
【答案】
【分析】把图象的交点分别代入反比例函数与一次函数，得到和的两个关系式，就可以求出答案．
【详解】解：把分别代入反比例函数与一次函数，得
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了两个函数的交点问题，交点坐标就是两个解析式组成方程组的解，关键是分式是化简和整体思想的应用．
11．（2022·广东·广州市第四中学九年级期中）已知方程的有两个不相等的实数根，而点，，，为反比例函数的图象上两点，若，则___（填“”或“”或“” ）．
【答案】＞
【分析】先根据一元二次方程根的判别式求出或，则，然后根据反比例函数的性质求解即可．
【详解】解：方程的有两个不相等的实数根，．
，
解得，
或，
，
反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限随的增大而增大，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，比较反比例函数函数值的大小，正确得到是解题的关键．
12．（2022·湖南·炎陵县教研室一模）如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y=-和y=的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为_____．
【答案】8
【分析】连接OA，OB，利用同底等高的两三角形面积相等得到三角形AOB面积等于三角形ACB面积，再利用反比例函数k的几何意义求出三角形AOP面积与三角形BOP面积，即可得到结果．
【详解】解：如图，连接OA，OB，
∵△AOB与△ACB同底等高，
∴，
∵轴，
∴AB⊥y轴，
∵A、B分别在反比例函数y=-和y=的图象上，
∴，，
∴．
故答案为：8．
【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数y=的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．也考查了三角形的面积．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2022·全国·九年级专题练习）用解析式表示下列函数．
（1）三角形的面积是，它的一边a（单位：）是这边上的高h（单位：）的函数；
（2）圆锥的体积是，它的高h（单位：）是底面面积S（单位：）的函数．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据三角形的面积公式写出解析式即可；
（2）根据圆锥的体积公式写出解析式即可．
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题考查了反比例函数表达式，掌握相关公式以及函数知识是解题的关键．
14．（2022·江苏·八年级专题练习）已知：，与成正比例，与成反比例．当时，；当时，．求与的函数解析式．
【答案】y＝（x+1）+
【分析】根据正比例与反比例的定义设出y与x之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式计算即可得解
【详解】解：（1）设y1＝k1（x+1）（k1≠0），y2＝（k2≠0），
∴y＝k1（x+1）+ ．
∵当x＝1时，y＝7．当x＝3时，y＝4，
∴，
∴，
∴y关于x的函数解析式是：y＝（x+1）+；
【点睛】此题主要考查了待定系数法求函数解析式，关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法，熟练准确计算．
15．（2021·安徽·合肥38中九年级期中）已知点在反比例函数的图象上．
（1）求的值；
（2）当时，求的取值范围．
【答案】（1）1；（2）
【分析】（1）将点代入反比例函数中，即可求出m；
（2）在第一象限中y随x的增大而减少，所以当时，y有最大值，当时，y有最小值，即可求出y的取值范围．
【详解】解：（1）将点代入反比例函数中，
得；
（2）∵在第一象限中y随x的增大而减少，
∴当时，，
当时，，
∴．
【点睛】本题考查了反比例的解析式及其图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数的性质．
16．（2021·河南·漯河市实验中学九年级阶段练习）已知反比例函数y=（m为常数）
（1）若函数图象经过点A（-1，6），求m的值：
（2）若函数图象在第二、四象限，求m的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）将点A的坐标代入即可求得m的值；
（2）根据图象所处的象限确定m的取值范围即可．
【详解】解：（1）∵函数图象经过点A（-1，6），
∴m-8=xy=-1×6=-6，
解得：m=2，
∴m的值是2；
（2）∵函数图象在二、四象限，
∴m-8＜0，
解得：m＜8，
∴m的取值范围是m＜8．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数图象上点的坐标特征，是比较典型的题目，解题的关键是了解反比例函数的性质．
17．（2022·安徽·定远县第一初级中学九年级阶段练习）为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教窒内每立方米空气中含药量y（mg）与时间t（h）成正比例；药物释放完毕后，y与t成反比例，如图所示，根据图象信息，解决以下问题：
(1)写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数解析式及相应的自变量的取值范围；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25mg以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能进入教室？
【答案】(1)；
(2)6
【分析】(1) 首先根据题意，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（m常数），将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；
(2)当y=0.25mg时，利用反比例函数解析式即可求解．
（1）
解：设正比例函数解析式是y＝kt，反比例函数解析式是，
把点（3，）代入反比例函数的解析式，得：，
∴反比例函数的解析式是．
当y＝1时，代入得，
把，y＝1代入正比例函数的解析式是，得：，
∴正比例函数解析式是；
（2）
解：由题意得，，
解得，
∴从药物释放开始，至少需要经过6小时，学生才能进入教室．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2021·河北·唐山市第九中学九年级阶段练习）如图，一次函数y＝x＋b与反比例函数的图像交于A（2，m），B（－3，－2）两点：
(1)求m的值；
(2)根据所给条件，请直接写出不等式的解集；
(3)假设P（p，），Q（－2，）是函数图像上的两点，且，求实数p的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
(3)当点P在第三象限时，要使，实数p的取值范围是，当点P在第一象限时，要使，实数p的取值范围是
【分析】（1）把B（－3，－2）代入中，可求出反比例函数解析式，再把点A（2，m）代入，即可得m的值．
（2）根据图象，找出一次函数在反比例函数上方的所有函数图象，该函数图象对应的x范围即为不等式的解集．
（3）Q在第三象限，分两种情况讨论，点P在第三象限或第一象限，再数形结合即可得到p的取值范围．
（1）
把代入得：
即反比例函数的解析式是
又∵点在反比例函数图象上
∴
（2）
∵，
∴不等式的解集是或
（3）
分为两种情况：
当点P在第三象限时，要使，实数p的取值范围是
当点P在第一象限时，要使，实数p的取值范围是
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，以及函数与不定式的关系．求不等式解集时，常数形结合，同时解集不能有x=0，这是易错点．
19．（2022·广东·绿翠现代实验学校二模）如图，已知矩形OABC，OA在y轴上，OC在x轴上，，，双曲线与矩形的边AB、BC分别交于点E、F．
(1)若点E是AB的中点，求点F的坐标；
(2)将沿直线EF对折，点B落在x轴上的D处，过点E作于点．问：与是否相似？若相似，请求出相似比；若不相似，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，相似比为
【分析】（1）根据点E是AB中点，可求出点E的坐标，将点E的坐标代入反比例函数解析式可求出k的值，再由点F的横坐标为4，可求出点F的纵坐标，继而得出答案；
（2）证明∠GED=∠CDF，然后利用两角法可判断△EGD∽△DCF，设点E坐标为，点F坐标为，即可得，在Rt△CDF中表示出CD，利用对应边成比例可求出k的值．
（1）
∵点E是AB的中点，OA=2，AB=4，
∴点E的坐标为（2，2），
将点E的坐标代入，可得k=4，
即反比例函数解析式为：，
∵点F的横坐标为4，
∴点F的纵坐标=，
∴点F的坐标为（4，1）；
（2）
由折叠的性质可得：BE=DE，BF=DF，∠B=∠EDF=90°，
∵∠CDF+∠EDG=90°，∠GED+∠EDG=90°，
∴∠CDF=∠GED，
又∵∠EGD=∠DCF=90°，
∴△EGD∽△DCF，
结合图形可设点E坐标为，点F坐标为，
则，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合，解答本题的关键是利用点E的纵坐标，点F的横坐标，用含k的式子表示出其他各点的坐标，注意掌握相似三角形的对应边成比例的性质．
20．（2022·河南·上蔡县第一初级中学八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点D的坐标为．
(1)求反比例函数的关系式；
(2)若将菱形边OD沿x轴正方向平移，当点D落在函数的图象上时，求线段OD扫过图形的面积．
(3)在x轴上是否存在一点P使PA+PB有最小值，若存在，请直接写出点P坐标.
【答案】(1)反比例函数y=(x>0)；
(2)线段OD扫过的面积为；
(3)P点作标（，0）
【分析】（1）作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F，求出A点坐标，求出表达式即可．
（2）将OD向右平移，使点D落在反比例函数y=(x>0)的图象上，求出D′点的纵坐标为3，表示出DF、OO′再求出线段OD扫过图形的面积．
（3）作B点关于x轴的对称点 ，连接交x轴于点P，此时PA+PB有最小值，求出直线的关系式，再求出P点坐标．
（1）
作DF⊥x轴于点F，
∵点D的坐标为(4，3)，
∴FO=4，DF=3，
∴DO=5，
∴AD=5，
∴A点坐标为：(4，8)，
∴xy=4×8=32，
∴k=32；
反比例函数y=(x>0)
（2）
∵将OD向右平移，使点D落在反比例函数y=(x>0)的图象上，
∴DF=3， =3，
∴点的纵坐标为3，
∴3=，x=，
∴=，
∴=−4=，
∴平行四边形 平移的面积S=×3=；
（3）
作B点关于x轴的对称点 ，连接交x轴于点P，此时PA+PB有最小值，
∵OB＝OD＝5
∴点B的坐标是(0，5)，
∴点的坐标是(0，-5)，
设直线的关系式
把A (4，8)，(0，-5)代入解析式得∶
解得：
当y=0时，，
∴PA+PB有最小值，P点作标（，0 ）
【点睛】本题考查了菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的面积、待定系数法求一次函数，解题的关键是利用菱形性质找出点A、B的坐标，利用坐标求出一次函数．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2022·上海·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点M为x正半轴上一点，过点M的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图像交于两点，
(1)求k的值；
(2)当时，求直线OQ的解析式；
(3)在（2）的条件下，若x轴上有一点N，使得为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的N点的坐标．
【答案】(1)-20
(2)y=﹣x
(3)点N的坐标为（，0）或（，0）或（﹣，0）或（，0）
【分析】(1）由 S△POQ= S△POM + S△MOQ =14结合反比例函数k的几何意义可得+4=14，进一步即可求出结果；
(2）由题意可得 MO=MQ ，于是可设点 Q ( a ,- a )，再利用待定系数法解答即可；
(3）先求出点Q的坐标和OQ的长，然后分三种情况：①若OQ=ON，可直接写出点N的坐标；②若QO=QN，根据等腰三角形的性质解答；③若 NO =NQ ，根据两点间的距离解答．
（1）
解：∵，S△POM=，S△QOM=，
∴+4=14，解得，
∵k＜0，
∴k=﹣20；
（2）
∵，轴，
∴，
∴MO=MQ，
设点Q（a，﹣a），直线OQ的解析式为y=mx，
把点Q的坐标代入得：﹣a=ma，解得：m=﹣1，
∴直线OQ的解析式为y=﹣x；
（3）
∵点Q（a，﹣a）在上，
∴，解得（负值舍去），
∴点Q的坐标为，则，
若为等腰三角形，可分三种情况：
①若OQ=ON=，则点N的坐标是（，0）或（﹣，0）；
②若QO=QN，则NO=2OM=，
∴点N的坐标是（，0）；
③若NO=NQ，设点N坐标为（n，0），则，解得，
∴点N的坐标是（，0）；
综上，满足条件的点N的坐标为（，0）或（，0）或（﹣，0）或（，0）．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质、勾股定理以及两点间的距离等知识，具有一定的综合性，熟练掌握相关知识是解题的关键．
22．（2021·浙江·九年级期末）参照学习函数的过程与方法，探究函数的图象与性质．因为所以我们对比函数来探究．经过列表、描点、连线．
（1）观察图象可知，的图象由的图象向______平移______个单位得到．
（2）当时，y随x的增大而_______（填“增大”或“减小”）:对于任意的实数x，y的取值范围是________．
（3）探究：设是函数图象上的两点，且，求的值．
【答案】（1）上，1；（2）增大，y≠1；（3）5
【分析】（1）画出两个函数的图像，观察图象即可解决问题；
（2）观察图象即可解决问题；
（3）根据图象上点的坐标特征得到，，代入中，利用分式的运算法则变形，即可求出值．
【详解】解：（1）如图，分别画出和的图像，
由图可知：的图象由的图象向上平移1个单位得到；
（2）由图可知：
当时，y随x的增大而增大，
对于任意的实数x，y的取值范围是y≠1；
（3），
∵是函数图象上的两点，
∴，，
∵，
∴
=
=
=
=5．
【点睛】本题考查反比例函数的性质、反比例函数的图象与几何变换，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
六、（本大题共12分）
23．（2022·四川·仁寿县鳌峰初级中学八年级期中）已知，矩形OABC在平面直角坐标系内的位置如图所示，点O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点B的坐标为（10，8）．
(1)直接写出点C的坐标为：C（ ， ）；
(2)已知直线AC与双曲线在第一象限内有一交点Q为（5，n）；
①求m及n的值；
②若动点P从A点出发，沿折线AO→OC的路径以每秒2个单位长度的速度运动，到达C处停止．求△OPQ的面积S与点P的运动时间t（秒）的函数关系式，并求当t取何值时S=10．
【答案】(1)0；8
(2)①；；②；t＝2.5或t＝7时，
【分析】（1）根据点B的坐标为（10，8），得出AB=8，根据矩形性质得出OC=AB=8，即可得出点C的坐标；
（2）①设直线AC的解析式为y＝kx＋b（k≠0）．将A（10，0）、C（0，8）两点代入其中，即利用待定系数法求一次函数解析式；然后利用一次函数图象上点的坐标特征，将点Q代入函数关系式求得n值；最后将Q点代入双曲线的解析式，求得m值即可；
②分类讨论：当0≤t≤5时，OP＝10−2t，利用三角形面积公式求出S与t的函数关系式；当5＜t≤9时，OP＝2t−10，再利用三角形面积公式求出S与t的函数关系式；分别将S=10代入函数解析式，求出t的值即可．
（1）
解：∵点B的坐标为（10，8），
∴，
∵四边形OABC为矩形，
∴，
∴点C的坐标为（0，8）．
故答案为：0；8．
（2）
解：①解：设直线AC的解析式为y＝kx＋b（k≠0），将A（10，0）、C（0，8）代入得：
，
解得：，
∴直线AC的解析式为：，
又∵Q（5，n）在直线AC上，
∴，
又∵双曲线过Q（5，4），
∴m＝5×4＝20；
②当0≤t≤5时，OP＝10−2t，
过Q作QD⊥OA，垂足为D，如图所示：
∵Q（5，4），
∴QD＝4，
∴，
当S＝10时，20−4t＝10，
解得：t＝2.5；
当5＜t≤9时，OP＝2t−10，
过Q作QE⊥OC，垂足为E，如图所示：
∵Q（5，4），
∴QE＝5，
∴，
当S＝10时，5t−25＝10，
解得：t＝7；
当时，点P与O重合，△OPQ不存在；
综上所述，，
t＝2.5或t＝7时，．
【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，解题的关键是，求出一次函数解析式，并注意进行分类讨论．