北师大版数学七下期末重难点培优训练专题06 解题技巧专题：乘法公式的灵活运用（2份，原卷版+解析版）

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc30050" 【典型例题】 PAGEREF _Tc30050 \h 1
\l "_Tc22411" 【类型一 变形应用】 PAGEREF _Tc22411 \h 1
\l "_Tc20552" 【考点一 位置变换】 PAGEREF _Tc20552 \h 1
\l "_Tc14039" 【考点二 项数变换】 PAGEREF _Tc14039 \h 3
\l "_Tc17801" 【考点三 简便变换】 PAGEREF _Tc17801 \h 4
\l "_Tc29764" 【类型一 连续应用】 PAGEREF _Tc29764 \h 6
\l "_Tc12753" 【类型三 整体应用】 PAGEREF _Tc12753 \h 7
【典型例题】
【类型一 变形应用】
【考点一 位置变换】
例题：（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）计算：___________；
【答案】##
【分析】利用平方差公式计算即可．
【详解】解：，
故答案为：
【点睛】此题考查了乘法公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·广东东莞·八年级东莞市长安实验中学校考期中）计算：______．
【答案】
【分析】根据平方差公式进行运算，即可求得其结果．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键．
2．（2022秋·上海黄浦·七年级统考期中）计算：=______________．
【答案】
【分析】根据多项式乘法法则进行计算即可．
【详解】
．
故答案是．
【点睛】本题考查了多项式的乘法，解答关键是平方差公式的应用．
3．（2022春·安徽宿州·七年级校考期末）______．
【答案】
【分析】利用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：

，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的特点“一组项相同、另一组项互为相反数”是解答本题的关键．
4．（2022秋·四川乐山·八年级统考期末）化简：
【答案】
【分析】根据平方差公式求解即可．
【详解】解：
【点睛】此题考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式的运用．
5．（2022秋·全国·八年级专题练习）先化简，再求值：，其中．
【答案】，－4
【分析】先将所给代数式依据整式的混合运算法则与平方差公式进行变形，化简，再代入求值即可．
【详解】原式
＝
，
当时，
原式
＝－3－1
＝－4．
【点睛】本题考查整式的混合运算与化简求值，掌握整式的运算法则与平方差公式的熟练运用是关键．
【考点二 项数变换】
例题：（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）计算____________．
【答案】
【分析】利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可得．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟记乘法公式是解题关键．
【变式训练】
1．（2022秋·上海闵行·七年级校联考期中）计算：．
【答案】
【分析】先利用括号里面各项的关系进行重新组合，再根据平方差与完全平方公式进行计算便可．
【详解】解：
=
=
．
【点睛】本题考查多项式乘多项式、平方差公式和完全平方公式，关键是熟记平方差公式，完全平方公式．
2．（2022秋·甘肃定西·八年级校考阶段练习）综合运用乘法公式计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平方差公式进行化简即可；
（2）根据平方差公式将当做整体进行计算，再利用完全平方公式化简．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键．
【考点三 简便变换】
例题：（2022秋·天津河北·八年级校考期末）计算______．
【答案】1
【分析】利用平方差公式进行简便计算即可．
【详解】原式
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了平方差公式，能够将原式进行变形是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·八年级课时练习）用整式的乘法公式计算：______．
【答案】1
【分析】根据平方差公式计算即可．
【详解】解：
故答案为：1．
【点睛】本题考查了平方差公式．熟练运用平方差公式计算是解题的关键．
2．（2022春·四川成都·七年级统考期末）计算：12342﹣1235×1233＝________．
【答案】1
【分析】将1235×1233转化成（1234＋1）（1234−1），再利用平方差公式计算即可．
【详解】解：12342−1235×1233
＝12342−（1234＋1）（1234−1）
＝12342−（12342−1）
＝12342−12342＋1
＝1
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式并灵活运用，是解本题的关键．
3．（2022春·安徽合肥·七年级统考期末）计算：______．
【答案】3400
【分析】逆用乘法分配律和平方差公式进行计算即可．
【详解】解：
【点睛】本题主要考查了乘法的分配律和平方差公式，熟练掌握平方差公式，是解题的关键．
4．（2022秋·全国·八年级专题练习）简便计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)150
(2)
【分析】（1）根据平方差公式进行计算即可；
（2）根据平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了利用平方差公式进行计算，解题的关键是熟练掌握平方差公式．
【类型一 连续应用】
例题：（2022秋·八年级课时练习）的个位数字是______．
【答案】5
【分析】将原式乘以凑出平方差公式的形式，按照平方差公式进行计算即可得出答案．
【详解】解：
，
∵，，，，，
∴指数4个数一个循环，
∵
∴尾数为6，
∴个位数字是5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是平方差公式，能够将原式乘以凑出平方差公式的形式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·七年级单元测试）计算 =________．
【答案】##
【分析】在原式前乘以(2-1)，再根据平方差公式进行求解即可．
【详解】原式×(2-1)，得：
故答案为：
【点睛】此题主要考查了平方差公式的应用，解题的关键是将原式变形为平方差的形式．
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）若，则S的值为___________．
【答案】
【分析】先根据平方差公式进行分解，再计算能约分的直接约分即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查平方差公式的应用，有理数的混合运算，解题关键是巧用平方差公式达到简化计算的目的．
【类型三 整体应用】
例题：（2022秋·八年级课时练习）已知，，则______．
【答案】6
【分析】将变形为，把，代入即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，代数式求值，将变形为，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·上海黄浦·七年级统考期中）计算：______________．
【答案】
【分析】先将作为一个整体，利用完全平方公式进行展开，再利用完全平方公式和单项式乘多项式将去括号，即可得出．
【详解】解：原式
故答案为：
【点睛】本题考查了完全平方公式，能熟练理解和灵活运用完全平方公式是解题的关键．
2．（2022秋·上海普陀·七年级统考期中）计算：______．
【答案】
【分析】先将（a-b）作为一个整体，利用完全平方公式进行展开，再利用完全平方公式和单项式乘多项式将（a-b）去括号，即可得出．
【详解】
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式，能熟练理解和灵活运用完全平方公式是解题的关键．
3．（2022秋·山东临沂·八年级校考阶段练习）已知，则的值为______
【答案】10
【分析】由结合完全平方公式即可求解．
【详解】解：∵
∴，
即，
∴
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练对完全平方公式进行变形是关键．
4．（2022秋·天津和平·八年级天津一中校考期末）（1）已知，，则的值为______．
（2）已知，，则的值为______．
（3）已知x满足，则的值为______．
【答案】 39 5 5
【分析】（1）将变形为，再代入已知条件计算即可；
（2）将变形为，再代入已知条件，即可求出值，将变形为，代入即可求解．
（3）将变形为，则，将看做成一个整体，化简即可求得的值．
【详解】解：（1）∵，，
∴
，
故答案为：39；
（2）∵
∴
∵，
∴，
∴
，
故答案为：5；
（3）∵，
∴，
，
，
，
，
故答案为：5．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握利用完全平方公式变形求代数式值是解题的关键．
5．（2022秋·江西赣州·八年级校考阶段练习）阅读：已知，，求的值．
解：，，
．
请你根据上述解题思路解答下面问题：
(1)已知，，求的值．
(2)已知，求的值．
【答案】(1)5
(2)4095
【分析】（1）利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算；
（2）利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】（1）解：，，
；
（2）解：
，
，
原式
．
【点睛】本题考查了完全平方公式：记住完全平方公式：．也考查了整式的运算．
6．（2022秋·山西朔州·八年级校考期末）在学习完全平方公式后，我们对公式的运用作进一步探讨．请你阅读下列解题思路：
例1：已知，，求的值．
解：∵，，
∴．
例2：若y满足，求的值．
解：设，
则，
．
这样就可以利用例1中的方法进行求值了！
请结合以上两个例题解答下列问题
(1)若，，求的值．
(2)若x满足，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将两边平方，由完全平方公式结合即可得到答案；
（2）设，，代入求解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
即
将，代入得
∴；
（2）解：设，，
则，
∵，
∴
．
【点睛】本题考查完全平方和与平方和的关系，解第2题的关键是设，．
7．（2022春·安徽合肥·七年级校考阶段练习）乘法公式的探究及应用．
数学活动课上，老师准备了若干个如图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成了如图所示的大正方形．
(1)请用两种不同的方法求图大正方形的面积用含，的式子表示：
方法：______；方法：______．
(2)观察图，请你写出代数式，，之间的等量关系式______．
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知，，求的值；
②已知，求的值．
【答案】(1) ，
(2)
(3)①5；②23
【分析】（1）方法1可根据正方形面积等于边长的平方求出，方法2可根据各个部分面积相加之和求出；
（2）由（1）得两种方法表示的都是大正方形的面积，即可得到；
（3）①根据得到，根据（2）结论得到，即可求解；
令，从而得到，，代入计算即可求解．
【详解】（1）解：解：方法：大正方形的边长为，
；
方法：大正方形各个部分相加之和，
．
故答案为：，；
（2）解：由（1）得两种方法表示的都是大正方形的面积，
所以；
故答案为：；
（3）解：①，
，
，
，
；
令，



，



，
，
，
解得．
．
【点睛】本题考查了利用完全平方公式的几何背景及其应用，能用两种方法表示出正方形的面积从而得到完全平方公式，并根据题意灵活应用是解题关键．