北师大版数学七下期末重难点培优训练专题10 解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法（2份，原卷版+解析版）

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc7904" 【典型例题】 PAGEREF _Tc7904 \h 1
\l "_Tc32678" 【考点一 含一个拐点的平行线问题】 PAGEREF _Tc32678 \h 1
\l "_Tc18963" 【考点二 含两个拐点的平行线问题】 PAGEREF _Tc18963 \h 2
\l "_Tc21374" 【考点三 含多个拐点的平行线问题】 PAGEREF _Tc21374 \h 4
\l "_Tc12374" 【考点四 含拐点的平行线在生活上的问题】 PAGEREF _Tc12374 \h 6
\l "_Tc21753" 【过关检测】 PAGEREF _Tc21753 \h 8
【典型例题】
【考点一 含一个拐点的平行线问题】
例题：（2022·四川南充·九年级期中）如图，，若，，则∠E=______．
【变式训练】
1．（2023秋·重庆大渡口·八年级重庆市第九十五初级中学校校考期末）如图， ，，，则（ ）
A．B．C．D．
【考点二 含两个拐点的平行线问题】
例题：（2022·云南·弥勒市朋普中学七年级阶段练习）如图所示，、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____．
【变式训练】
1．（2022·浙江·兰溪市实验中学七年级期中）如图，直线 l1∥l2，若∠1=40°，∠2 比∠3 大 10°，则∠4=____．
【考点三 含多个拐点的平行线问题】
例题：（2022春·山西临汾·七年级统考期中）如图，直线，则的度数为___________°．
【变式训练】
1．（2022春·山东济南·八年级校考阶段练习）探究：
(1)如图①，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3之间有什么关系？
(2)如图②，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3，∠4之间有什么关系？
(3)如图③，已知ABCD，请直接写出图中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系；
【考点四 含拐点的平行线在生活上的问题】
例题：（2022春·安徽宣城·七年级校考期中）如图是一汽车探照灯纵剖面，从位于点的灯泡发出的两束光线，经过灯碗反射以后平行射出，如果，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·广东·深圳市龙岗区宏扬学校七年级期中）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则的度数是 （ ）
A．B．C．D．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022·全国·七年级专题练习）如图，，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·吉林长春·七年级长春市第四十五中学校考期末）如图，直线，一块含角的直角三角板如图放置，若，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图：按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·河南新乡·七年级校考期末）如图，C岛在A岛的北偏东54°的方向上，C岛在B岛的北偏西 36°的方向上，则从C岛看A，B两岛的视角的度数是（ ）
A．72°B．82°C．90°D．100°
二、填空题
5．（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）如图，，则∠1、∠2、∠3的关系为______________．
6．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考阶段练习）如图所示，ABCD，若，，则＝________．
7．（2023春·广东江门·七年级统考期末）如图，已知，点，分别在直线、上，，，则与的数量关系________．
8．（2022春·辽宁葫芦岛·七年级校考阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____．
三、解答题
9．（2022春·河北廊坊·七年级统考期中）如图，已知，试判断，和之间的关系，并说明理由．
10．（2022春·江苏连云港·七年级校考阶段练习）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的∠A是76°，第二次拐弯处的角是∠B．第三次拐弯处的∠C是153°，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，求∠B的度数．
11．（2022秋·河南南阳·七年级南阳市第十三中学校校考期末）如图：
(1)若，猜想图①中，、与之间的数量关系并加以证明；
(2)若，如图②，直接写出、与之间的数量关系： ．
(3)学以致用：一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于，平行于地面，若，则 ．
12．（2023秋·山西太原·八年级山西大附中校考期末）（1）问题背景：如图1，已知，点P的位置如图所示，连结PA，PC，试探究与、之间的数量关系，以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（依据或数学式）：
解：过点P作，
∵（已知），
∴（______________________________），
∴，（______________________________），
∴______+______（等式的性质）．
即，，之间的数量关系是______．
（2）应用：如图2，已知，线段AD与BC相交于点E，点B在点A右侧．若，，则______．
13．（2022春·浙江宁波·七年级校联考期中）
(1)如图1， ， 若， 计算并直接写出的大小．
(2)如图2， 在图1的基础上， 将直线变成折线， 证明：
(3)如图3， 在图2的基础上， 继续将且线变成折现．请你写出一条关于 、的数量关系（无需证明直接写出）
14．（2022春·河南安阳·七年级统考期末）猜想说理：
（1）如图，，分别就图1、图2、图3写出，，的关系，并任选其中一个图形说明理由：
拓展应用：
（2）如图4，若，则 度；
（3）在图5中，若，请你用含n的代数式表示的度数．
15．（2022春·河北石家庄·七年级统考期中）【问题情景】（1）如图，，，，求的度数；
【问题迁移】（2）如图，已知，ADBC，点在射线上运动，当点在，两点之间运动时，连接，，，，求与，之间的数量关系，并说明理由；
【知识拓展】（3）在（2）的条件下，若将“点在，两点之间运动”改为“点在，两点外侧运动点与点，，三点不重合”其他条件不变，请直接写出与，之间的数量关系．
16．（2022春·重庆铜梁·七年级校考阶段练习）课题学习：平行线的“等角转化”功能．
(1)阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作，
， ，
，
．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)方法运用：如图2，已知，求的度数；
(3)深化拓展：已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在直线与之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数．
②如图4，点B在点A的右侧，且，．若，求度数．（用含n的代数式表示）