北师大版数学八下期末重难点培优训练专题02 解题技巧专题 构造等腰三角形的技巧(2份，原卷版+解析版)

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc12093" 【典型例题】 PAGEREF _Tc12093 \h 1
\l "_Tc12021" 【技巧一 结合平行线构造新等腰三角形】 PAGEREF _Tc12021 \h 1
\l "_Tc13729" 【技巧1.1 利用平行线+角平分线构造等腰三角形】 PAGEREF _Tc13729 \h 1
\l "_Tc5204" 【技巧1.2 过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】 PAGEREF _Tc5204 \h 9
\l "_Tc21384" 【技巧二 利用倍角关系构造新等腰三角形】 PAGEREF _Tc21384 \h 20
【典型例题】
【技巧一 结合平行线构造新等腰三角形】
【技巧1.1 利用平行线+角平分线构造等腰三角形】
例题：（2021春·辽宁盘锦·八年级校考期中）(1)如图，在中，，的平分线交于点，过点作分别交于点．直接写出线段与，之间的数量关系：___________．
(2)如图，若中的平分线与三角形外角平分线交于点，过点作交于点，交于点．则与，之间的数量关系又如何？说明你的理由．
【答案】(1)；(2)，见解析
【分析】(1)利用角平分线与平行线证明和是等腰三角形即可；
(2)利用角平分线与平行线证明和是等腰三角形即可．
【详解】解：(1)∵平分平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
(2)，
理由是：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，结合图形找到角与边的关系是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·重庆合川·八年级期末）如图，在中，，是的角平分线，交AB于点F．的一个外角的平分线与的延长线交于点G．
(1)求证：；
(2)若，求的大小．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的概念得到，根据平行线的性质得到，进而得到，最后根据等角对等边即可证明出；
（2）首先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，然后根据角平分线的概念得到，，最后根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】（1）∵是的角平分线，
∴
∵
∴
∴
∴；
（2）∵，
∴
∴
∵是的角平分线，是的角平分线，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了角平分线的概念，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识解题的关键是熟练掌握以上知识点．
2．（2022春·吉林长春·八年级长春市解放大路学校期末）如图，在中，．是角平分线，E是边上一点，过点C作交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)若，则______．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】（1）根据等边对等角及平行线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得到，再由等腰三角形“三线合一”性质得出，最后由勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵是角平分线，，
∴，
∵，
∴；
∴；
（2）由（1）得，
∵，
∴，
∵，是角平分线，
∴,
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，勾股定理解三角形等，解题关键是熟练运用相关知识进行推理证明和计算．
3．（2022春·浙江宁波·八年级校联考期中）（1）如图1，中，作、的角平分线相交于点O，过点O作分别交、于E、F．
（1）①求证：；
②若的周长是25，，试求出的周长；
（2）如图2，若的平分线与外角的平分线相交于点O，过点O作分别交、于E、F，则，，之间有何数量关系，直接写出结论．
【答案】（1）①见解析；②16；（2），理由见解析
【分析】（1）①根据角平分线的定义和平行线的性质，求出，即可得出；
②根据，，可以得出；
（2）根据平行线的性质和角平分线的性质，证明，，根据等角对等边，得出，，即可得出结论．
【详解】解：（1）①∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②同理可得：，
∴，
∵，
∴．
（2）；理由如下：
∵，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握两直线平行内错角相等．
4．（2022春·黑龙江牡丹江·八年级统考期中）在中，点，点在直线上，，过点作，交射线于点，过点作，交直线于点．
(1)当是的角平分线，点在边延长线上时，如图①，求证：；（提示：延长，相交于点．）
(2)当是的角平分线，点在边上时，如图②；当是外角的角平分线，点在边延长线上时，如图③，请直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明；
(3)在（1）、（2）的条件下，若，则_____________．
【答案】(1)见解析
(2)图②，；图③，；
(3)2或14
【分析】（1）延长、相交与点G，先证明，再证明，得到，即可得到结论；
（2）如图②，设与相交于于点P，先证，再证，得到，即可得到结论；如图③，延长交于点H，先证明，再证，，即可得到结论；
（3）根据（1）（2）中的结论，结合图形，分三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）证明：如图①，延长、相交与点G，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）如图②，设与相交于于点P，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
如图③，延长交于点H，
∵是外角的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
（3）如图①，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴,
∴，
∴；
如图2，
∵不成立，
此种情况不存在；
如图③，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2或14
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【技巧1.2 过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】
例题：（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知：等边中．
(1)如图1，点M是BC的中点，点N在AB边上，满足，求的值；
(2)如图2，点M在AB边上（M为非中点，不与A，B重合），点N在CB的延长线上且，求证：．
(3)如图3，点P为AC边的中点，点E在AB的延长线上，点F在BC的延长线上，满足，求的值．
【答案】(1)3
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由等边三角形的性质及直角三角形的性质可得出，设,则,可求出答案；
（2）如图2，过点M作交AC于点G，根据可证明，得出，则结论得证；
（3）如图3，过点P作交于点M，根据可证明，得出，得出，则答案可求出．
【详解】（1）∵为等边三角形，
∴，，
∵点M是BC的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
设，则，，
∴，
∴．
（2）如图2，
过点M作交AC于点G，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴．
（3）如图3，
过点P作交AB于点M，
∴为等边三角形，
∴，，
∵P为AC的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵P为AC的中点，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质与判定、含30度角直角三角形的性质、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形．
【变式训练】
1．（2022春·吉林长春·八年级统考期末）在等边中，是的中点，，的两边分别交直线、于、．
(1)问题：如图1，当、分别在边、上，，时，直接写出线段与的数量关系；
(2)探究：如图2，当落在边上，落在射线上时，（1）中的结论是否仍然成立？写出理由；
(3)应用：如图3，当落在射线上， F落在射线上时，，，则___________．
【答案】(1)；理由见解析
(2)；理由见解析
(3)
【分析】（1）根据证明，可得结论；
（2）如图1，分别过点作于点，于点，由（1）同理得出．证明，则可得出结论；
（3）如图2，过点作，由等边三角形的性质和判定证明，从而得的长．
【详解】（1）解：，理由如下：
是等边三角形，
，
是的中点，
，
，，
，
，
；
故答案为：；
（2）解：结论成立．．
理由：如图1，过点分别作于点，于点，
由（1）可得：，
，
，
，
，
．
在和中，
，
，
；
（3）解：如图2中，过作交于点，
，
同理可证，
，．
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
故答案为：6
【点睛】本题是三角形综合题，考查了垂直的定义，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确作辅助线，熟练掌握全等三角形的判定与性质．
2．（2022春·辽宁大连·八年级期末）是等边三角形，点是上一点，点在的延长线上，且．
(1)如图1，当点是的中点时，求证：；
(2)如图2，当点是上任意一点时，取的中点，连接．求的度数
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，再由“三线合一”的性质及角平分线得出，再由等角对等边即可证明；
（2）延长至，使，连，根据全等三角形的判定得出，，再由其性质结合图形找出各角之间的关系即可得出结果．
【详解】（1）证明：在等边中，，
∴，
∵是的中点，
∴，平分，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
（2）如图所示，延长至，使，连，
∵为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
∴， ，，
∴
又∵，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】题目主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质及全等三角形的判定和性质，理解题意，结合图形，找准各角之间的关系是解题关键．
3．（2022春·湖北黄冈·八年级校联考阶段练习）已知：在等边中，点是边所在直线上的一个动点（与、两点均不重合），点在的延长线上，且．
(1)如图①，当是边的中点时，求证：；
(2)如图②，当是线段边上任意一点时，（1）中的结论是否一定成立？请说明理由；
(3)若点是线段的延长线上任一点，，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)成立，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质证出，则，即可得出结论；
（2）过E作交于F，证是等边三角形，得，再证，得，即可得出结论；
（3）过E作交的延长线于F，则为等边三角形，得，再证，得，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，点E为的中点，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：当点E为线段上任意一点时，（1）中的结论成立，理由如下：
如图②，过E作交AC于F，
∵是等边三角形，
∴，
∴，，
即，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图③，过E作交的延长线于F，
则为等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查的是等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
4．（2022春·山东德州·八年级统考期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到的理由是 ．
A． B． C． D．
(2)求得的取值范围是 ．
A． B． C． D．
(3)如图2，是的中线，交于E，交于F，且．求证：．
【答案】(1)B
(2)C
(3)见解析
【分析】(1)根据，，推出和全等即可，据此即可判定；
(2)根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可；
(3)延长到M，使，连接，根据证得，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质即可证得．
【详解】（1）解：是中线，
，
在与中，
，
故选：B；
（2）解：由知：，
，，
由三角形三边之间的关系可得：，
即，
解得，
故选：C；
（3）证明：如图：延长到M，使，连接，，
是中线，
，
在与中，
，
，，
，
，
，
，
，
即．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
【技巧二 利用倍角关系构造新等腰三角形】
例题：（2022春·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）如图，在中，，
(1)若，，求的度数；
(2)若，求证：平分．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质求解即可；
（2）延长使，连接，，根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定与性质证得，，然后证明得到即可证得结论．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵
∴，
∴；
（2）证明：如图，延长使，连接，， 则，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴平分．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键．
【变式训练】
1．（2021春·福建福州·八年级校考期末）在中，，点在边上，，点在线段上，．
(1)如图，若点与点重合，则______；
(2)如图，若点与点不重合，试说明与的数量关系；
(3)在（1）的情况下，试判断，与的数量关系，并说明你的理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，根据题意求出，根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（2）根据直角三角形的两锐角互余得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到，进而证明结论；
（3）在上截取，连接，证明≌，根据求等三角形的性质得到，根据三角形的外角性质得到，得到，进而得出结论．
【详解】（1）解：在中，，，
则，
，，
，
，
故答案为：；
（2）解：，
理由如下：，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，
理由如下：如图，在上截取，连接，
则，
，
在和中，
，
≌，
，
，
是的外角，
，
，
．
【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质、直角三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定定理是解题的关键．
2．（2022春·浙江·八年级专题练习）在中，，
(1)如图①，当，为的角平分线时，在上截取，连接，易证．请证明；
(2)①如图②，当，为的角平分线时，线段又有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不要求证明；
②如图③，当，为的外角平分线时，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)①；②，证明见解析
【分析】（1）先证明，然后证明，进而推导可得结论；
（2）①首先在上截取，连接，易证，则可得，又由，，所以，即，易证，则可求得；②首先在的延长线上截取，连接，易证，可得，又由，易证，则可求得．
【详解】（1）∵为的角平分线，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）①猜想：．
证明：如图，在上截取，连接，
∵为的角平分线时，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
②猜想：．
证明：在的延长线上截取，连接．
∵平分，
∴．
在与中，，，，
∴．
∴，．
∴．
又，，．
∴．
∴．
∴．
【点睛】此题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
3．（2022春·江苏扬州·八年级统考期中）【问题背景】
小明遇到这样一个问题：如图1，在中，，平分，试判断和之间的数量关系．
【初步探索】
小明发现，将沿翻折，使点A落在边上的E处，展开后连接，则得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2）
（1）写出图2中全等的三角形____________________；
（2）直接写出和之间的数量关系__________________；
【类比运用】
（3）如图3，在中，，平分，求的周长．
小明的思路：借鉴上述方法，将沿翻折，使点C落在边上的E处，展开后连接，这样可以将问题解决（如图4）；
请帮小明写出解答过程：
【实践拓展】
（4）如图5，在一块形状为四边形ABCD的空地上，养殖场丁师傅想把这块地用栅栏围成两个小型的养殖场，即图5中的和，若平分．请你帮丁师傅算一下需要买多长的栅栏．
【答案】（1）；（2）；（3）的周长为5；（4）需要买长的栅栏
【分析】（1）将沿翻折得到，则，即可得答案；
（2）由，得，由翻折得，，得，所以，于是；
（3）将沿翻折，使点C落在边上的点E处，展开后连接，则，，于是得，则，得，所以，即可得答案；
（4）将沿翻折，使点C落在边上的点E处，连接，作于F，设，则，可得方程，解得：，即可求得，，则，可得答案．
【详解】解：（1）如图2，
沿翻折得到
；
（2），
理由：，
，
由翻折得，，
，
，
，
，
；
（3）如图4，将沿翻折，使点C落在边上的点E处，展开后连接，
由翻折得，，
，
，
，
，
，
，
，
的周长为5；
（4）如下图5，将沿翻折，使点C落在边上的点E处，连接，作于F，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得：，
，
，
，
需要买长的栅栏．
【点睛】此题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的角平分线及三角形的周长，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．