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北师大版数学八下期末重难点培优训练专题03 解题技巧专题 利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线(解析版)
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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc30189" 【典型例题】 PAGEREF _Tc30189 \h 1
\l "_Tc8182" 【题型一 底边有中点时,连中线】 PAGEREF _Tc8182 \h 1
\l "_Tc20030" 【题型二 底边无中点时,作高】 PAGEREF _Tc20030 \h 7
\l "_Tc5936" 【题型三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 PAGEREF _Tc5936 \h 14
【典型例题】
【题型一 底边有中点时,连中线】
例题:(2022春·浙江宁波·八年级校联考期中)如图,在中,,.D为边的中点,E,F分别在上,于点D.
(1)求证:是等腰三角形.
(2)求的最小值.
【变式训练】
1.(2022春·北京海淀·八年级北京二十中校考阶段练习)如图:在中,,D为边的中点,过点D作于点E,于点F.
(1)求证:;
(2)若,求的周长.
2.(2022春·北京大兴·八年级统考期末)已知,在中,,,点是的中点,作,使得射线与射线分别交射线,于点,.
(1)如图1,当点在线段上时,线段与线段的数量关系是___________;
(2)如图2,当点在线段的延长线上时,用等式表示线段,和之间的数量关系并加以证明.
3.(2022春·湖北孝感·八年级统考期末)在中,,,点O为的中点.
(1)若,两边分别交于E,F两点.
①如图1,当点E,F分别在边和上时,求证:;
②如图2,当点E,F分别在和的延长线上时,连接,若,则 .
(2)如图3,若,两边分别交边于E,交的延长线于F,连接,若,试求的长.
【题型二 底边无中点时,作高】
例题:(2022春·江苏·八年级期末)如图,点D、E在的边上,,,求证:.
【变式训练】
1.(2022春·北京门头沟·八年级统考期末)已知:如图,在中,,.求边上的高的长.
2.(2022春·辽宁大连·八年级统考期末)如图,与均为等腰三角形,,且,为延长线上一点,.
(1)若,求的度数;
(2)求证:;
(3)若,,,求的面积(用含,,的式子表示).
3.(2022春·北京海淀·八年级统考期末)已知在中,,且=.作,使得.
(1)如图1,若与互余,则=__________(用含的代数式表示);
(2)如图2,若与互补,过点作于点,求证:;
(3)若由与的面积相等,则与满足什么关系?请直接写出你的结论数.
【题型三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】
例题:(2022春·上海普陀·八年级校考期中)如图,在中,平分,是的中点,过点作交的延长线于,交于,交的延长线于.
求证:
(1);
(2).
【变式训练】
1.(2022春·河北石家庄·八年级校考期中)
(1)【问题情境】
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法,如图1,平分.点A为上一点,过点A作,垂足为C,延长交于点B,可根据 证明,则,(即点C为的中点).
(2)【类比解答】
如图2,在中,平分 ,于E,若,,通过上述构造全等的办法,可求得 .
(3)【拓展延伸】
如图3,中,,,平分,,垂足E在的延长线上,试探究和的数量关系,并证明你的结论.
(4)【实际应用】
如图4是一块肥沃的三角形土地,其中边与灌渠相邻,李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验,故进行如下操作:①用量角器取的角平分线;②过点A作于D.已知,,面积为20,则划出的的面积是多少?请直接写出答案.
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