北师大版数学八下期末重难点培优训练专题06 线段的垂直平分线与角平分线(2份，原卷版+解析版)

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc11058" 【典型例题】 PAGEREF _Tc11058 \h 1
\l "_Tc1898" 【考点一 线段垂直平分线的性质】 PAGEREF _Tc1898 \h 1
\l "_Tc25337" 【考点二 线段垂直平分线的判定】 PAGEREF _Tc25337 \h 4
\l "_Tc21785" 【考点三 线段垂直平分线的实际应用】 PAGEREF _Tc21785 \h 5
\l "_Tc12291" 【考点四 用尺规作垂线】 PAGEREF _Tc12291 \h 6
\l "_Tc3155" 【考点五 角平分线的性质定理】 PAGEREF _Tc3155 \h 9
\l "_Tc28011" 【考点六 角平分线的判定定理】 PAGEREF _Tc28011 \h 11
\l "_Tc28797" 【考点七 角平分线性质的实际应用】 PAGEREF _Tc28797 \h 14
\l "_Tc6890" 【考点八 用尺规作角平分线】 PAGEREF _Tc6890 \h 15
\l "_Tc19627" 【过关检测】 PAGEREF _Tc19627 \h 17
【典型例题】
【考点一 线段垂直平分线的性质】
例题：（2023秋·山东临沂·八年级郯城县实验中学校考期末）如图所示，在中，，若和分别垂直平分和，垂足分别为E、F．则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，中，的垂直平分线分别交、于点M、D，的垂直平分线分别交于点N、E，的周长是7．
(1)求的长度；
(2)若，则度数是多少？请说明理由．
2．（2022秋·山西朔州·八年级校考期末）如图，在中，垂直平分，交于点，交于点，，且，连接．
(1)若，求的度数．
(2)若，，求的周长．
【考点二 线段垂直平分线的判定】
例题：（2021秋·广东江门·八年级校考期中）如图，点是平分线上一点，，，垂足分别是，．
求证：
(1)；
(2)是线段的垂直平分线．
【变式训练】
1．（2022秋·北京·八年级校考阶段练习）如图，中，，是上一点，，过点作的垂线交于点，求证：垂直平分．
【考点三 线段垂直平分线的实际应用】
例题：（2022秋·江苏南京·八年级校考阶段练习）甲、乙、丙三家分别位于的三个顶点处，现要建造一个核酸检测点，使得三家到核酸检测点的距离相等，则核酸检测点应建造在 （ ）
A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点D．三条中线的交点
【变式训练】
1．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）如图，为增强人民体质，提高全民健康水平，某市拟修建一个大型体育中心，使得体育中心到三个乡镇中心，，的距离相等，则点应设计在（ ）
A．三条高线的交点处B．三条中线的交点处
C．三条角平分线的交点处D．三边垂直平分线的交点处
【考点四 用尺规作垂线】
例题：（2022秋·河南安阳·八年级统考期中）如图，在直角三角形中，，．
(1)作边的垂直平分线，与，分别交于点，（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接，求证：平分．
【变式训练】
1．（2022秋·浙江杭州·八年级统考期中）如图，直线表示一条公路，A，表示两所大学，要在公路旁修建一个车站，使车站到两所大学的距离相等．请用尺规在图上找出点并说明理由．
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图所示，一辆汽车在笔直的公路上由A向B行驶，M，N分别是位于公路两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M，N的距离相等．
【考点五 角平分线的性质定理】
例题：（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）如图，平分，为上一点，于，若，，则到的距离为___________．
【变式训练】
1．（2021春·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期中）如图，是的平分线，于点，，，，则______cm．
2．（2023秋·山东烟台·七年级统考期末）如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，，，则的面积为 _____．
【考点六 角平分线的判定定理】
例题：（2022秋·广东广州·八年级校考期末）已知，如图，在四边形中，，且平分，点O是的中点．
(1)求证：平分；
(2)求证：．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图所示，是的中线，，，垂足分别为F，E，．求证：平分．
2．（2021秋·福建龙岩·八年级校考期中）已知，如图，是上一点，于，于，、分别是、上的点，且，．
(1)求证：是的平分线．
(2)若，且，，求的长．
【考点七 角平分线性质的实际应用】
例题：（2022秋·北京海淀·八年级期末）如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）
A．在、两边高线的交点处B．在、两内角平分线的交点处
C．在、两边中线的交点处D．在、两边垂直平分线的交点处
【变式训练】
1．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息.若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪 （ ）
A．三条角平分线的交点处B．三条中线的交点处
C．三条高的交点处D．三条边的垂直平分线的交点处
【考点八 用尺规作角平分线】
例题：（2022秋·湖北荆门·八年级校联考期中）如图，某个居民小区附近有三条两两相交的道路、、，拟在上建造一个大型超市，使得它到、的距离相等，请确定该超市的位置．
【变式训练】
1．（2022秋·山东滨州·八年级统考期中）如图，、为两条公路，点和点为内部的两个居民点．现计划在内部区域修建一货站，使货站到两条公路距离相等，到两居民点的距离也分别相等．
(1)请你找出点货站位置．（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)简述你的作图理由．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在中，，边BC的垂直平分线交于D，连结，下列说法不一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·四川绵阳·八年级统考期中）如图，在中，、的垂直平分线分别交于点、，若，则为（ ）
A．38°B．42°C．44°D．48°
3．（2022秋·河南安阳·八年级统考期中）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长分别为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积为（ ）
A．30B．15C．20D．50
4．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，边的中垂线，分别与边和边交于点D和点E，边的中垂线，分别与边和边交于点F和点G，的周长为17，且，则的长为（ ）
A．13B．14C．15D．16
5．（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图，点是的中点，，，平分且，下列结论：；；；．结论中成立的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题
6．（2022秋·河北秦皇岛·八年级统考期末）如图，是的角平分线，于，的面积为，，则______.
7．（2022秋·广东广州·八年级广州市天河中学校考期末）中，的垂直平分线交于点D，垂足为点E，平分，若，则为________度．
8．（2022秋·四川广安·八年级统考期中）如图，中，，，平分交于点D，，则 的面积为_____．
9．（2022秋·河南周口·八年级校考期末）如图，在中，，垂足为D，PQ是BC边的垂直平分线，交BC于点Q，交AC于点P，．若的周长是，，则的长是_______．
10．（2022秋·山东济南·八年级校考期末）如图，在，，，，垂直平分，分别交，于点D、E，平分，与的延长线交于点P，连接，则的长度为___．
三、解答题
11．（2022秋·山西临汾·八年级统考期末）如图：已知和C、D两点，求作一点P，使，且P到两边的距离相等．
12．（2022秋·广东江门·九年级统考阶段练习）已知：如图，为的角平分线，⊥于点，⊥于点，连接交于点，
求证：垂直平分
13．（2022秋·山东济宁·八年级校考期末）如图，在中，的垂直平分线分别交边、于点、，连接
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
14．（2023春·八年级单元测试）如图，在中，边上的垂直平分线为与分别交于点D、E，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
15．（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，于点E，于点F，若．
(1)求证：平分；
(2)已知，，求的长．
16．（2022秋·江苏南京·八年级统考阶段练习）如图，在中，垂直平分，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，与的周长之差为，且的面积为，求的面积．
17．（2022秋·全国·八年级期中）在中，的垂直平分线分别交线段，于点M，P，的垂直平分线分别交线段于点N，Q．
(1)如图，当时，求的度数；
(2)当时，求的度数．
18．（2022秋·广东中山·八年级统考期末）如图，在中，，的平分线交于点，点为上一动点，过点作直线于点，分别交直线、、于点、、．
(1)如图1，当点与点重合时，求证：；
(2)如图2，当点在的延长线上时，、、之间具有怎样的数量关系？并说明理由．