北师大版数学七下高频考点突破练习专题01 整式乘法（2份，原卷版+解析版）

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同底数幂的乘法：同底幂相乘，底数不变，指数相加，即：am·an=am+n ，（m，n为正整数）
注： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①底数一定要一样。如：（-a）与a，底数不同，需先化成相同底数，再进行计算； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②是乘法运算，切不可与加法运算混淆
拓展： = 1 \* GB3 ① am·an·ap =am+n+p，（m，n，p为正整数; = 2 \* GB3 ②(a+b)n(a+b)m = a+b)m+n（m，n为正整数）.
同底数幂的乘法技巧
= 1 \* GB3 ①计算同底数幂时，要求底数必须完全一样。当底数不相同时，可以通过化异底为同底，然后计算；
= 2 \* GB3 ②逆用法则： am+n =am×an
例1．（2021·山东曹县·七年级期中）计算的结果是__________．
变式1．（2021·山东日照·）在等式中，括号内的代数式为______．
例2．（2021·湖南新田·七年级期中）长方体的长是cm，宽是cm，高是cm，这个长方体的体积为_______________ （用科学计数法表示）．
变式2.（2022·全国八年级课时练习）若(7×106)(5×105)(2×10)＝a×10n，则a，n的值分别为( )
A．a＝7，n＝11B．a＝5，n＝12C．a＝7，n＝13D．a＝2，n＝13
例3．（2021·江西南城·七年级期中）若，则_______．
变式3．（2021·浙江慈溪·七年级期末）已知，，则的值为______．
例4．（2021·全国）求下列各式中x的值．（1）；（2）．
变式4．（2021·南靖县城关中学）已知，则m的值是_________________．
变式5．（2021·江苏相城区第三实验中学）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
例5．（2021·四川成都实外七年级月考）定义新运算：a☆b＝10a×10b，则12☆3的值为_______．
变式6．（2021·湖南茶陵·八年级期末）一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为，即．如：，则4叫做以3为底81的对数，记为（即＝4）．
（1）计算以下各对数的值： ， ， ．（2）由（1）中三数4、16、64之间满足的等量关系式，直接写出、、满足的等量关系式；（3）由（2）猜想一般性的结论： ．（且），并根据幂的运算法则：以及对数的含义证明你的猜想．
知识点1-2 幂的乘方运算法则
幂的乘方，底数不变，指数相乘，即：(am)n=amn，其中m，n为正整数
拓展：（(am)n）p=amnp，其中m，n，p为正整数; (am)n=amn=(an) m，其中m，n为正整数.
((a+b) m) n=(a+b) mn，其中m，n为正整数.
例1．（2021·山东中区·七年级期中）计算的结果为（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2021·广西富川·七年级期末）计算 ________．
例2．（2021·浙江）已知：，则（ ）
A．2B．C．D．
变式2．（2021·无锡市侨谊实验中学七年级期中）若，则m的值是（ ）
A．6B．5C．4D．3
例3．（2021·浙江嘉兴·七年级期末）若9a∙27b÷81c＝9，则2c﹣a﹣b的值为____．
变式3．（2021·德惠市第三中学八年级月考）若，求m的值.
例4．（2021·杭州市丰潭中学七年级期中）若am＝5，an＝2，则a3m+2n＝_____．
变式4．（2021·四川成都·七年级期末）已知：m+2n﹣2＝0，则3m•9n的值为______．
例5．（2021·重庆一中）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．b＞c＞aD．a＞c＞b
变式5．（2021·广西象州·七年级期中）阅读材料，解决问题．
材料一：比较和的大小．
解：因为，而，所以，即．
小结：在指数相同的情况下，可通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小．
材料二：比较和的大小．
解：因为，而，所以，即．
小结：在底数相同的情况下，可以通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小．
（1）比较，，的大小：（2）比较，，的大小．
知识点1-3积的乘方运算法则
积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即：(ab)m=ambm，其中m为正整数。
拓展：(abc)m=ambmcm ，其中m为正整数。
注：1）乘方的优先级高于乘法的优先级；2）在进行积的乘方运算时，要将积中的每一个因式分别乘方，再将所得结果相乘，不能漏乘某项。在幂的运算中，注意底数为负数时，将底数的常数项因式看作（-1）
例1．（2021·吉林长春外国语学校八年级月考）______________．
变式1．（2021·陕西金台·九年级）计算（﹣x2y2z）2的结果正确的是（ ）
A．﹣x4y4zB．x4y4z2C．﹣x4y4zD．x4y4z2
变式2．（2021·北京市广渠门中学八年级期中）计算：
（1）； （2）．
例2．（2021·清涧县教学研究室七年级期末）若，则的值是___________．
变式3．（2021·河北丰宁·八年级期末）已知，则 _______．
例3．（2021·湖北武汉·八年级期末）若an＝3，bn＝4，则 (ab)2n＝___________．
例4．（2021·仪征市第三中学）（-0.125）2020×（-8）2021的值为_____．
变式5．（2021·镇江实验学校）用简便方法计算下列各题：
（1）（2）
例5．（2021·全国）若代数式，，则________．（用、的代数式表示）
变式6．（2021·天津南开·七年级期末）已知，那么的值为（ ）．
A．5B．1C．10D．2
知识点1-4 同底数幂的除法运算
同底数幂相除，底数不变，指数相减（与幂的乘法为逆运算），即：am÷an=am-n（a≠0，m，n为正整数）。
注：a0=1（a≠0）
例1．（2021·重庆七年级期中）计算a8÷a4的结果是（ ）
A．a2B．a4C．a12D．a32
变式1．（2020·江苏九年级一模）计算的结果是（ ）
A．aB．﹣aC．1D．﹣1
例2．（2021·上海七年级期末）如果，，那么________________．
变式2．（2020·苏州市吴江区盛泽第二中学七年级期末）若，，则_____________．
变式3．（2021·锦江区·七年级期末）若，则=_____．
例3．（2020·江苏连云港市·七年级期末）若x－2y－3＝0，则=________．
变式4．（2021·成都市·七年级期末）已知2x﹣6y+6＝0，则2x÷8y＝_____．
例4．（2020·江苏盐城市·七年级期中）已知32×9m÷27=321，则m=______．
变式5.（2021•江阴市校级月考）求值：（1）已知3×9m÷27m＝316，求m的值．（2）若2x+5y﹣3＝0，求4x•32y的值．（3）若n为正整数，且x2n＝4，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值．
知识点1-5 与的应用
1）零指数幂：=1()； 2）负整数指数幂：=（，p为正整数）。
注意： eq \\ac(○,1)； eq \\ac(○,2)当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数，即“底倒指反”，即==； eq \\ac(○,3)在混合运算中,始终要注意运算的顺序。
3） ()的应用
注：，可能有三种情况： eq \\ac(○,1)=1()； eq \\ac(○,2)=1； eq \\ac(○,3)=1（n为偶数）
例1．（2021·成都市七年级月考）无意义，则x的取值为 ________．
变式1．（2021·江苏南通市·八年级月考）当a______时，(a-2)0=1．
例2．（2021·陕西延安市·八年级期末）计算：．
变式2．（2021·甘肃白银市七年级期末）计算
变式3．（2020·四川郫都·初一期末）计算：（）2019×（）﹣2020＝_____．
例3．（2021·山西期末）英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，荣获了诺贝尔物理学奖．石墨烯是目前世上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000034毫米，将数0.00000034用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
变式4．（2021·江西省宜春实验中学八年级月考）正常情况下，一个成年人的一根头发大约是0.0000012千克，将0.0000012用科学记数法表示应该是______．
变式5．（2021·贵州省八年级期中）某种原子直径为1.3×10－4，把这个数化为小数是________．
例4.（2020.成都市锦江区初一期中）已知,则x=
变式6.（2020.成外初一月考）若，则x的值为
变式7．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）已知，则______．
知识点1-6 整式乘法
1、单项式乘单项式:单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
注： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①单项式乘单项式，结果仍为单项式； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②单项式相乘时，注意不要漏掉无相同之母的项。
2、单项式乘多项式:根据乘法分配律，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。
即：p(a+b+c)=pa+pb+pc
注：单项式乘以多项式的积仍是一个多项式，积的项数与原多项式的项数相同；如果式中含有乘方运算，仍应先算乘方，在算乘法。
3、多项式乘多项式:先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
即：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。
注：运算过程中，需要关注符号的变化（负负得正，正负为负）；乘法运算的结果中，如果有同类项，需要合并同类项，化为最简形式。
例1．（2021·河源市第二中学七年级期中）.
变式1．（2021·哈尔滨市第四十七中学八年级开学考试）计算：______．
例2．（2021·杭州市十三中教育集团七年级期中）若（3x+2）（3x+a）的化简结果中不含x的一次项，则常数a的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．2
变式2．（2021·海口市第十四中学八年级月考）若的展开式中不含的二次项，则的值是（ ）
A．B．C．D．
例3．（2021·四川省成都市七中育才学校）已知（x+2）（x﹣3）＝x2+mx+n，则m与n的值分别是（ ）
A．m＝1，n＝﹣6B．m＝1，n＝6C．m＝﹣1，n＝﹣6D．m＝﹣1，n＝6
变式3．（2021·仪征市第三中学七年级月考）若（x+3）（x+n）=x2+mx-21，则m的值为_______．
例4．（2021·利辛县第四中学七年级期中）先化简，再求值．，其中．
变式4．（2021·东平县实验中学月考） 先化简，再求值． 其中．
例5．（2020·江苏无锡市·七年级期中）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如记=1+2+3+…+（n﹣1）+n，=（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知，则m的值是（ ）
A．﹣62B．﹣38C．﹣40D．﹣20
变式5．（2021·浙江宁波·七年级期末）对，定义一种新运算，规定：，（其中，均为非零常数）．例如：，．当，，则__；当时，，，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是 __．
例6．（2021·湖南荷塘·七年级期末）如图所示，长方形ABCD中放置两个边长都为5的正方形AEFG与正方形CHIJ，若如图阴影部分的面积之和记为，长方形ABCD的面积记为，已知：，则长方形ABCD的周长为______．
变式6．（2020·江苏南京市·七年级期末）根据需要将一块边长为的正方形铁皮按如图的方法截去一部分后，制成的长方形铁皮（阴影部分）的面积是多少？几名同学经过讨论给出了不同的答案，其中正确的是（ ）①；②；③；④
A．①②④B．①②③④C．①D．②④
知识点1 -7平方差公式
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
两个式子的和与两个式子的差的乘积，等于这两个数的平方差。
注： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①字母a、b仅是一个表达式，即可以表示一个数字、一个字母，也可以表示单项式、多项式。
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②在套用平方差公式时，要依据公式的形式，将原式变形成符合公式的形式，在利用公式。特别需要注意“-”的处理。
例1．（2021·四川省成都市七中育才学校）计算（x﹣y）（x+y）的结果是（ ）
A．x2+y2B．﹣x2﹣y2C．x2﹣y2D．y2﹣x2
变式1．（2021·全国八年级课时练习）填空（1）________；（2）________；
（3）________；（4）________．
例2．（2021·西安市铁一中学八年级开学考试）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（4x﹣3y）（﹣3y﹣4x）B．（2x2﹣y2）（2x2＋y2）
C．（a＋b﹣c）（﹣c﹣b＋a）D．（﹣x＋y）（x﹣y）
变式2．（2021·兰州市第五十五中学七年级月考）下列各式中能用平方差公式计算的是（ ）
A．（2a＋b）（a－2b） B．（a－2b）（a－2b） C．（a＋2b）（－2b＋a） D．（2a－b）（－2a＋b）
例3．（2021·浙江杭州市·翠苑中学九年级二模）若，，则（ ）
A．1B．-1C．3D．-3
变式3．（2021·佛山市华英学校七年级期中）若，则表示的式子为______．
例4．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）的值为_______．
变式4．（2021·兰州市第五十五中学七年级月考）如图1所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积： ， ；
（2）请问以上结果可以验证哪个乘法公式？
（3）试利用这个公式计算：．
例5．（2021·陕西八年级期末）探究下面的问题：
（1）如图①，在边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪拼成如图②的一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是______（用式子表示）；（2）运用你所得到的公式计算：①；②．
变式5．（2021·湖南长沙·八年级期末）如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的4幅拼法中，其中能够验证平方差公式的有 _________（填序号，多选）．
知识点1-8 完全平方公式
完全平方和（差）公式：
完全平方和（差）公式：等于两式平方和加（减）2倍的积
注： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①a、b仅是一个符号，可以表示数、字母、单项式或多项式； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②使用公式时，一定要先变形成符合公式的形式
拓展：利用可推导除一些变式
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②
注：变式无需记忆。在完全平方公式中，主要有、、、等模块，都可以通过与相结合推导出来。
例1．（2021·杭州市十三中教育集团七年级期中）先化简，再求值：（m﹣4n）2﹣4n（3n﹣2m）﹣3（﹣2n+3m）（3m+2n），其中13m2﹣8n2﹣6＝0．
变式1．（2021·嵊州市初级中学七年级期中）化简
（1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知，，求的值．
例2．（2021·佛山市华英学校七年级期中）已知，，则的值为（ ）
A．28B．30C．33D．34
变式2．（2021·重庆实验外国语学校七年级期中）已知（x+y）2＝5，（x﹣y）2＝1，则xy＝________．
例3．（2021·锦江区·初二学业考试）已知，则____________．
变式3．（2021·长春市七年级月考）回答下列问题：
（1）填空：（2）若，求的值．
例4．（2021·湖南师大附中博才实验中学八年级期中）如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A．B．C．4D．
变式4．（2021·浮梁县第一中学七年级期中）已知m2＋2km＋16是完全平方式，则k＝_____．
例5．（2021·扬州中学教育集团树人学校七年级期中）阅读材料：
例题：已知a2+4b2﹣2a﹣4b+2＝0，求a，b的值．
解：∵a2+4b2﹣2a﹣4b+2＝0，∴a2﹣2a+1+4b2﹣4b+1＝0，
∴（a﹣1）2+（2b﹣1）2＝0，∴a﹣1＝0，2b﹣1＝0，∴a＝1，b＝．
参照上面材料，解决下列问题：
（1）已知x2+y2+8x﹣12y+52＝0，求x，y的值；（2）已知2x2+4y2+4xy﹣2x+1＝0，求x+y的值．
变式5．（2021·湖北武汉·八年级期末）已知关于x的式子－x2＋4x，当x＝______时，式子有最_____值，这个值是______．
变式6．（2021·江苏.初一期中）已知，，，则代数式的值为______．
例6．（2021·四川省成都市七中育才学校七年级期末）数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图②的大正方形．
（1）观察图②，请你写出代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系是 ；
（2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题；
①已知a+b＝4，a2+b2＝10，求ab的值；②已知（x﹣2020）2+（x﹣2018）2＝52，求x﹣2019的值．
变式7．（2021·安徽临泉·）如图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

（1）观察图2，请你直接写出下列三个代数式（a＋b）2，（a－b）2，ab之间的等量关系为 ；
（2）运用你所得到的公式解答下列问题：
①若m、n为实数，且m＋n＝－2，mn＝－3，求m－n的值．
②如图3，S1、S2分别表示边长为a，b的正方形的面积，且A、B、C三点在一条直线上．若S1＋S2＝20，AB＝a＋b＝6，求图中阴影部分的面积．
知识点1-9 公式的拓展
==+2（a+b）c+=+2ab+2ac+2bc
2）同样，a、b、c可以通过换元。如，令c=－c，得=+2ab-2ac-2bc
3）立方差公式：；立方和与立方差：=
例1．（2021·浙江瑞安·开学考试）如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形．用不同的方法计算这个边长为的正方形面积，就可以得到一个等式，若三个实数，，满足，，利用等式求得的值为（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2021·全国初一课时练习）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图可以得到．请解答下列问题：
（1）写出图中所表示的数学等式；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；（3）小明同学打算用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张相邻两边长为分别为、的长方形纸片拼出了一个面积为 长方形，那么他总共需要多少张纸片？
变式2．（2021·福建省安溪恒兴中学）我们知道:有些代数恒等式可以利用平面图形的面积来表示，如：
就可以用如图所示的面积关系来说明．
(1)请根据如图写出代数恒等式,并根据所写恒等式计算：
(2)若求的值；
(3)现有如图中的彩色卡片:A型、B型、C型，把这些卡片不重叠不留缝隙地贴在棱长为的100个立方体表面进行装饰，A型、B型、C型卡片的单价分别为0.7元/张、0.5元/张、0.4元/张，共需多少费用?
例2．（2020·江苏建湖·初一期中）学习《乘法公式》时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．
（1）如图1，是由边长为a、b的正方形和长为a、宽为b的长方形拼成的大长方形，由图1可得等式： ；
（2）知识迁移：①如图2，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个大正方体，类比（1），用不同的方法表示这个大正方体的体积，可得等式： ；
②已知a＋b＝7，a2b＝48，ab2＝36，利用①中所得等式，求代数式a3＋b3的值．
变式3．（2020·江苏江阴初一期中）（知识生成）我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长均分别为a、b，斜边长为c．（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为 ；
（2）图中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为 、
（3）你能得出的a，b，c之间的数量关系是 （等号两边需化为最简形式）；
（4）一直角三角形的两条直角边长为5和12，则其斜边长为
（知识迁移）通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．
（5）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为__________________
（6）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的规律求a3+b3的值．
变式4．（2020·四川郫都·初一期末）（知识生成）用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为b（a＞b）的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到（a﹣b）2、（a+b）2、ab三者之间的等量关系式： ；
（知识迁移）类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图2，观察大正方体分割，可以得到等式： ；（成果运用）利用上面所得的结论解答：
（1）已知x+y＝6，xy＝，求x﹣y的值；（2）已知|a+b﹣6|+（ab﹣7）2＝0，求a3+b3的值．
1-10 整式除法
1) 单项式除单项式
通常分为三个步骤：（1）将它们的系数相除作为上的系数；（2）对于被除式和除式中都含有的字母，按同底幂的除法分别相除，作为商的因式；（3）被除式中独有的字母，则连同它的指数一起作为商的因式。
2) 多项式除单项式
多项式的每一项分别除以单项式，然后再把所得的商相加。
注：计算时，多项式各项要包含它前面的符号，结果所得商的项数与原多项式的项数相同；当被除式的某一项与除式相同时，商为1，注意不能漏除某一项。
例1．（2022·广东东莞·八年级期末）（9a2﹣6ab）÷3a＝_____．
变式1．（2021·上海虹口·七年级期末）计算：÷＝_______．
例2．（2021·佛山市七年级期中）先化简，再求值：，其中，．
变式2．（2021·重庆实验外国语学校七年级期中）先化简，再求值：[（x+3y）2﹣（x﹣3y）2﹣（3y﹣x）（x+3y）﹣x2]÷（3y），其中x，y满足x2+4x+4+|y+1|＝0．
变式3．（2021·南通市七年级期中）计算：求当时，的值．
例3．（2021·广东南沙·八年级期末）小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，▄×2ab＝4a2b+2ab3，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（ ）
A．（2a+b2）B．（a+2b）C．（3ab+2b2）D．（2ab+b2）
变式4．（2021·河南卫辉·八年级期中）如果，那么____________．
例4．（2021·吉林·四平市铁西区教师进修学校八年级期末）长方形的面积为，其中一边长是，则另一边长是_______．
变式5．（2021·福建·福州三牧中学八年级期中）福州市园林局为美化城区环境，计划在一块长方形地上种植某种草皮，已知长方形空地的面积为（3a²b³-6a²b+27a³b³）平方米，宽为3ab米，则这块空地的长为__米．
例5．（2021·浦江县教育研究和教师培训中心七年级期末）若被除后余2，则的值为_____．
变式6．（2021·全国初二课时练习）已知多项式除以，商是，余式为1，的值为________．
例6.（2020·重庆九龙坡初二月考）我们知道整数除以整数（其中），可以用竖式计算，例如计算可以用整式除法如图：，所以.
类比此方法，多项式除以多项式一般也可以用竖式计算，步骤如下：
①把被除式，除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐；
②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；
③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类对齐），消去相等项；
④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式=除式×商式+余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除.
例如：计算.
可用整式除法如图：
所以除以
商式为，余式为0
根据阅读材料，请回答下列问题：
（1） .
（2），商式为 ，余式为 .
（3）若关于的多项式能被三项式整除，且均为整数，求满足以上条件的的值及商式.
变式7．（2020·重庆初三三模）阅读材料：类比是数学中常用的数学思想.比如，我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法，得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法.
例：
① ②

③ ④

理解应用：（1）请仿照上面的竖式方法计算：；
（2）已知两个多项式的和为，其中一个多项式为，请用竖式的方法求出另一个多项式.
（3）已知一个长为，宽为的矩形，将它的长增加，宽增加得到一个新矩形，且矩形的周长是矩形周长的倍（如图）.同时，矩形的面积和另一个边长为的矩形的面积相等，求的值和矩形的另一边长.