北师大版数学七下高频考点突破练习专题01 生活中的轴对称（2份，原卷版+解析版）

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1、轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
注意：轴对称图形的对称轴可能只有一条，也可能有多条甚至无数条．
2、两个图形成轴对称：如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴．
3、轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等．
注意：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，沿对称轴折叠后，重合的点是对应点，叫做对称点．
类似地，重合的线段是对应线段，重合的角是对应角．
例1．（2021·黑龙江哈尔滨市·八年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．如果两个三角形全等，则它们是关于某条直线成轴对称的图形
B．如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形
C．等边三角形是关于一条边上的中线成轴对称的图形
D．一条线段是关于经过该线段中点的中线成轴对称的图形
变式1．（2021·无锡市八年级月考）下列说法正确的是（ ）
A．关于某条直线对称的两个三角形是全等三角形
B．全等三角形一定关于某条直线对称
C．两图形关于某条直线对称，则这两个图形一定分别位于对称轴的两侧
D．有一条公共边的两个全等三角形关于公共边的所在的直线对称
例2．（2021·沙坪坝区·重庆南开中学九年级月考）下列平面图形是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2021·黑龙江哈尔滨市·八年级期末）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2021·江苏九年级二模）如图的四个图案中，具有一个共有的性质，那么在下列各数中也满足上述性质的是（ ）
A．212B．444C．535D．808
例3．（2021北京市 八年级期中）下列说法中正确的是（ ）
①对称轴上没有对称点；②如果与△关于直线对称，那么；③如果线段，直线垂直平分，则和关于直线对称；④射线不是轴对称图形．
A．②B．①④C．②④D．②③
变式4．（2021·四川石室初中八年级期中）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点（A、P、A′不共线），下列结论中错误的是（ ）
A．△AA′P是等腰三角形B．MN垂直平分AA′、CC′
C．△ABC与△A′B′C′面积相等D．直线AB，A′B′的交点不一定在直线MN上
例4．（2021·四川广安市·八年级期末）如图，已知与关于直线l对称，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
变式5．（2021·江苏八年级专题练习）如图，若平行四边形ABCD与平行四边形EBCF关于BC所在直线对称，，则的度数为（ ）
A．30°B．45°C．50°D．60°
变式6．（2021·江苏南通市·九年级一模）如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，△ABD与△ADB’关于直线AD对称，点B的对称点是点B’，若∠B’AC＝14°，则∠B的度数为 （ ）
A．38°B．48°C．50°D．52°
知识点1-2 利用轴对称作图
1、已知轴对称图形求作对称轴方法：先确定图形的两个对应点，再作以这两个对应点为端点的线段的垂直平分线，这条直线就是它的对称轴．
2、已知对称轴，求作与已知图形成轴对称的图形的步骤
方法：（1）先观察已知图形，并确定能代表已知图形的关键点；（2）分别作出这些关键点关于对称轴的对应点；（3）根据已知图形连接这些对应点，即可得到与已知图形成轴对称的图形．
例1．（2021·吴江市八年级月考）如图是一个经过改造的规则为的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（ ）
A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋
变式1．（2021·河北八年级期末）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（ ）
A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋
变式2．（2021·湖南九年级其他模拟）图1中的图案可以由图2的图案通过翻折后得到的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
例2．（2021·福建厦门市·八年级期中）如图，已知△ABC和直线m，画出与△ABC关于直线m对称的图形（不要求写出画法，但应保留作图痕迹）
变式3．（2021·浙江九年级一模）如图，己知图形X和直线l．以直线l为对称轴，图形X的轴对称图形是（ ）
A．B．
C．D．
例3．（2021·河北秦皇岛市·九年级一模）图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是轴对称图形，并且只有一条对称轴，这个位置是（ ）
A．①B．②C．③D．④
变式4．（2021·广东九年级其他模拟）小明将一正方形纸片画分成16个全等的小正方形，且如图所示为他将其中四个小正方形涂成灰色的情形．若小明想再将一小正方形涂成灰色，使此纸片上的灰色区域成为线对称图形，则此小正方形的位置为何？（ ）.
A．第一列第四行B．第二列第一行C．第三列第三行D．第四列第一行
变式5．（2021·石家庄市第四十四中学九年级一模）如图，在的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在图中与成轴对称的格点三角形可以画出（ ）
A．1个B．2个C．3个D．3个以上
例4．（2021·河北廊坊市·八年级期末）在正方形网格中建立如图所示的直角坐标系，格点（网格线的交点），的坐标分别为，．利用线段分别在图1、图2、图3中按要求画出，并写出点的坐标．（1）的对称轴是轴；（2）的对称轴是过点且平行于坐标轴的直线，并写出点的坐标；（3）的对称轴是过点但不平行于坐标轴的直线，且点落在轴右侧的格点上．
变式6．（2021·云南大理白族自治州·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（-1，4），C（-3，1）．（1）在图中作，使和关于轴对称；（2）写出点的坐标；（3）求的面积．
变式7．（2020·佛山市顺德区北滘镇碧江中学八年级月考）如图，直角坐标系中，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，点，的坐标分别是，

（1）请在图中画出关于轴的对称，点的坐标为 ，点的坐标为
（2）请写出点关轴的对称点坐标为 ．
知识点1-3 轴对称的应用（最短路径）
基本问题：在直线上找一点，使得其到直线异侧两点、的距离之和最小．
变式1：在直线上找一点，使得其到直线同侧两点、的距离之和最小．
变式2：直线、交于，是两直线间的一点，在直线、上分别找一点、，使得的周长最短．
例1．（2021·山东德州市·八年级期末）如图，在中，，，，直线是中边的垂直平分线，是直线上的一动点，则的周长的最小值为_________．
变式1．（2021·山东滨州市·八年级期末）如图，在中，，，，P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，则周长的最小值为________．
例2．（2020•绵阳期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝70°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．70°
变式2（2020•长白县期末）如图，∠AOB＝α，点P是∠AOB内的一定点，点M、N分别在OA、OB上移动，当△PMN的周长最小时，∠MPN的值为（ ）
A．90°+αB．90°C．180°﹣αD．180°﹣2α
例3．（2021·湖北八年级期末）如图，的顶点，，都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．（1）画，使它与关于直线成轴对称；
（2）在直线上找一点，使点到点，点的距离之和最短；
（3）在直线上找一点，使点到边，的距离相等．
变式3．（2021·河南驻马店市·八年级期末）在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）的顶点、的坐标分别是，．
（1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；（2）请画出关于轴对称的；
（3）请在轴上求作一点，使的周长最小（保留作图痕迹，不写作法）．
例4．（2021·广西贵港市·八年级期末）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法及证明过程）：如图，已知点在内，分别在、边上求作点和点，使的周长最小．
变式4．（2022•颍泉区期中）如图，点P是∠AOB内部一点，现有一只蚂蚁要从P的出发，先到OA，再到OB，最后返回到点P．请作出蚂蚁爬行的最短路径（要求：保留作图痕迹，不写作法．）
知识点1-4 等腰三角形性质及判定
1、等腰三角形：有两条边相等的三角形称为等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另外一边叫做底，腰和底的夹角叫做底角，两腰的夹角叫做顶角．特别地，三边相等的三角形叫做等边三角形．

2、等腰三角形性质
（1）等腰三角形的两个底角相等，可简写成“等边对等角”．
（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”）．
注意：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线所在直线都是等腰三角形的对称轴．
3、等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.
4、等边三角形定义：三边都相等的三角形叫作等边三角形或正三角形，它是特殊的等腰三角形；
性质：等边三角形除了具有等腰三角形的一切性质外，还具有更特殊的性质：（1）有三条对称轴；（2）每个内角都等于60°，三条边都相等．
判定：（1）三个角相等的三角形是等边三角形；（2）有两个角等于60°的三角形是等边三角形；
（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
例1.（2021•香坊区八年级期末）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm．则该等腰三角形的底长为（ ）
A．3 cm或5 cmB．3 cm或7 cmC．3 cmD．5 cm
变式1．（2021•桦甸市八年级期末）等腰三角形的两边长分别是4cm和9cm，则它的周长是（ ）
A．17cmB．22cmC．17cm或22cmD．无法确定
例2．（2021·宁波市海曙区初二期末）若中刚好有 ，则称此三角形为“可爱三角形”，并且 称作“可爱角”．现有 一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（ ）．
A．或 B．或 C．或D．或或
变式2．（2021·哈尔滨初二月考）在中，是的平分线，且，若，则的大小为______．
例3．（2021·成都市·初二期末）如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是 ．
变式3．（2020·湖南永定·八年级期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任何一个角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=78°，则∠AOB等于__度．
例4．（2021 •曹县八年级期中）如图，正方形的网格中，点A，B是小正方形的顶点，如果C点是小正方形的顶点，且使△ABC是等腰三角形，则点C的个数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
变式4.（2020·海口市第十四中学初二月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，∠ABC的平分线BE交AD于点F，则图中共有等腰三角形( )
A．2个B．3个C．4个D．5个
例5．（2020·广东揭阳·初二期末）如图，中，，是中点，下列结论中不正确的是（ ）．
A．B．C．平分D．
变式5．（2021·广东高州·初二月考）等腰三角形底边长为6，周长为16，则三角形的面积为（ ）
A．30B．25C．24D．12
例6．（2021•渝水区八年级期中）如图，点D，E在△ABC的边BC上，BD＝AD＝DE＝AE＝CE．
（1）求∠DAE的度数；（2）求证：△ABC是等腰三角形．
变式6．（2021•南海区八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
例7．（2021•福山区初二期末）在下列结论中：
（1）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；
（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；
（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；
（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
变式7．（2021·辽宁铁岭·八年级期末）如图，是等边中边上的点，，，则是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．无法确定
变式8．（2021·无锡市八年级期中）如图，等边△ABC的边长为8cm，点P从点C出发，以1cm/秒的速度由C向B匀速运动，点Q从点C出发，以2cm/秒的速度由C向A匀速运动，AP、BQ交于点M，当点Q到达A点时，P、Q两点停止运动，设P、Q两点运动的时间为t秒，若∠AMQ＝60°时，则t的值是（ ）
A．B．2C．D．3
例8．（2021•香洲区八年级期中）如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（ ）
A．30°B．20°C．25°D．15°
变式9.（2021•长沙八年级期中）如图，直线l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为18°，则∠α的度数为（ ）
A．60°B．42°C．36°D．30°
例9．（2021•南宁八年级期末）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（ ）
A．0.5B．0.9C．1D．1.25
变式10.（2021 •西乡县八年级期末）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（ ）
A．3B．4.5C．6D．7.5
例10.（2021•赫章县八年级期末）如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1．（1）求证：AD＝BE；（2）求AD的长．
变式11.（2021•海珠区八年级期中）如图，在△ABC中，BA＝BC，BD⊥AC，延长BC至E，恰好使得CE＝CD，BD＝DE．（1）求：∠E的度数；（2）求证：△ABC为等边三角形．
知识点1-5 线段垂直平分线
1、线段的轴对称性：线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴．
2、定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
注：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
3、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
注：对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来．
4、作图 已知：线段．求作：的垂直平分线．作法：（1）分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和．（2）作直线． 直线就是线段的垂直平分线．
例1．（2021·河北保定市·八年级期末）内一点到三边距离相等，则点一定是（ ）
A．三条角平分线的交点B．三边垂直平分线的交点
C．三条高的交点D．三条中线的交点
变式1．（2021·河南省实验中学八年级月考）元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点D．三边垂直平分线的交点
例2．（2021·河北保定市·八年级期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若的周长为，，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2021·全国九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝11，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G，则△AEG的周长为__．
例3．（2021·辽宁九年级二模）如图，在中，垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；作射线AF，射线AF与直线PQ相交于点G，则的度数为__________度．
变式3．（2021·四川成都铁路中学八年级期中）已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是___．
例4．（2021·山东济南市·七年级期末）如图，在中，，分别作，两边的垂直平分线、，垂足分别是点、．以下说法正确的是______（填序号）．
①；②；③；④点到点和点的距离相等．
变式4．（2021·内蒙古中考真题）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）

A． B． C． D．
例5．（2021·北京房山区·八年级期末）已知等边三角形．如图，
（1）分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；
（2）作直线交于点D；
（3）分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于H，L两点；
（4）作直线交于点E；（5）直线与直线相交于点O；
（6）连接，，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论：
①；②；③；④，正确的是____________．
变式5．（2021·广西八年级月考）如图，为了丰富群众的娱乐活动，某镇准备新建一个文化娱乐站，要求娱乐站到三个村、、的距离相等，请你用尺规作图的方法确定娱乐站的位置（不写作法，保留作图痕迹）
知识点1-6 角平分线
1、角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．
2、性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
如图，已知平分，，，则．
3、利用尺规，作的平分线．
求作：射线，使．
作法：（1）在和上分别截取，，使．
（2）分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点．
（3）作射线．就是的平分线．
例1．（2021•泰兴市八年级期末）如图，是的角平分线，，垂足为，的面积为60，，，则的长等于 ．
变式1．（2021·黑龙江省八年级期末）如图， AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是( )
A．6B．5C．4D．3
例2．（2021·吉林龙潭·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角的平分线交于E点，连接AE，则∠AEC的度数是（ ）
A．45°B．40°C．35°D．30°
变式2．（上海市浦东新区多校联考2021-2022学年八年级上学期期末质量检测数学试题）如图，在中，，三角形的两个外角和的平分线交于点E．则______．
例3．（2021•余杭区八年级月考）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的是 ．（填序号）
①平分；②；③；④．
变式3．（2021•保定八年级期末）如图，在中，和的角平分线相交于点，过点做交于点，交于点，过点作于点，下列四个结论：
①；②点到各边的距离相等；③；④设，，则．其中结论正确的是
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
例4．（2021•广东省八年级期末）如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：5
变式4．（2020·江西南昌市·八年级期中）如图，在中，已知：是它的角平分线，且．（1）求的面积；（2）在解完（1）问后，小智经过反思后发现，小慧发现，请判断小智和小慧的发现是否正确?若正确，请写出证明过程，若错误，请说明理由．
例5．（2021•寿阳县八年级期末）如图，点在的平分线上，，于，点在上，且，若是上的动点，则的最小值是 ．
变式5．（201•岐山县九年级二模）如图，在中，，的平分线交于点，，为上一动点，则的最小值为
A．2B．C．D．
例6．（2022·辽宁抚顺·八年级期末）如图，在中，，点在的延长线上．
（1）尺规作图，作的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）补全图形，取的中点，连接并延长交的平分线于点；
（3）判断线段与的位置关系是 ，数量关系是 ．
变式6．（2022·甘肃·金昌市龙门学校八年级期末）如图所示，校园里有两条路，在交叉口附近有两块宣传牌，学校准备在这里（内部）安装一盏路灯，要求灯柱离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置．（不写过程，保留作图痕迹）
例7．（2021秋•奉贤区八年级期中）已知：如图，，平分，平分．过点作直线，分别交、于、．（1）求证：是直角三角形．（2）求证：．
变式7．（2021秋•鹿邑县月考）如图，在中，的平分线与的外角的平分线交于点，于点，，交的延长线于点．（1）若点到直线的距离为，求点到直线的距离；（2）求证：点在的平分线上．