北师大版数学七下高频考点突破练习专题02 生活中的轴对称（2份，原卷版+解析版）

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【解题技巧】掌握轴对称图形的概念：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。
注意：理解轴对称图形的定义应注意两点：
（1）轴对称图形是一个图形，反映的是这个图形自身的性质。
（2）符合要求的“某条直线”可能不止一条，但至少要有一条。
1．（2021·江苏扬州市·八年级期末）下面是四家医院标志的图案部分，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】A、是轴对称图形，故此选项符合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（2021·福建三明市·九年级一模）2021年1月1日起，三明市全面铺开市区生活垃圾分类工作，分门别类打造适合三明实际的生活垃圾分类处置体系．将垃圾分为可回收物、厨余垃圾（含餐厨垃圾）、有害垃圾、其他垃圾．以下图标是几类垃圾的标志，其中轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、是轴对称图形说法正确，符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：A．
【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（2021·沙坪坝区·重庆一中九年级开学考试）剪纸是中国民间传统艺术，下列剪纸图形中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B． C．D．
【答案】A
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】A、是轴对称图形，此项符题意；B、不是轴对称图形，此项不符题意；C、不是轴对称图形，此项不符题意；D、不是轴对称图形，此项不符合题意；故选择：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4．（2021·吉林延边朝鲜族自治州·八年级期末）京剧是我国的国粹，是介绍、传播中国传统艺术文化的重要媒介． 在下面的四个京剧脸谱中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项符合题意；B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5．（2021·富顺第二中学校八年级开学考试）下列各图中，轴对称图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，据此对各项进行判断即可．
【详解】根据轴对称图形的定义可知，B、C、D中的图都不是轴对称图形，只有A中的图是轴对称图形，故选：A．
【点睛】本题考查轴对称图形，解题的关键是熟知轴对称的概念．
6．（2021·山东临沂市·八年级期末）下面的图形是用数学家名字命名的，其中轴对称图形的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此解题．
【详解】解：不是轴对称图形；是轴对称图形；
是轴对称图形；不是轴对称图形，
故轴对称图形的个数是：2，故选：B．
【点睛】本题考查轴对称图形，是基础题型，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
题型2 轴对称的性质
【解题技巧】掌握轴对称的性质：
1).成轴对称的两个图形全等。
2).成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。
3).成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称。
1．（2021·广东佛山市·九年级其他模拟）如图，在矩形中，，一发光电子开始置于边的点处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是_________．
【答案】674
【分析】根据题意易得发光电子经过六次回到点P，进而根据此规律可进行求解．
【详解】解：根据题意可得如图所示：
由图可知发光电子经过六次回到点P，则发光电子与AB边碰撞的次数为2次，∴，
∴发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是（次）；
故答案为674．
【点睛】本题主要考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
2．（2021·内蒙古赤峰市·八年级期末）如图，点P关于OA、OB的对称点分别是P1、P2，P1、P2分别交OA、OB于点C、D，，则△PCD的周长是_______．
【答案】20cm
【分析】根据轴对称的性质可得PC=P1C，PD=P2D，从而求出△PCD的周长等于P1P2，从而得解．
【详解】解：∵点P关于OA、OB的对称点P1、P2，∴OA垂直平分PP1, OB垂直平分PP2
∴PC=P1C，PD=P2D，
∴△PCD的周长=PC+PD+CD=P1P2=20cm．故答案为：20cm．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，熟记性质得到相等的边是解题的关键．
3．（2020·全国九年级课时练习）有一种电脑软件叫做“画图”，它有个功能，可以复制已经出现在窗口的所有图形或部分图形，粘贴的图形又可以进行任意的平移．如图，在画图窗口中已有一个正方形．从窗口中已有图形开始，复制、粘贴已有图形或部分图形一次，且通过平移后与原图形拼接，叫做一次操作．则要出现一个4×6的网格，至少需要操作_____次．
【答案】5
【分析】根据题意可先画横格成6格，然后再画竖格即可求解．
【详解】解：如图，方法如下：
答：要出现一个4×6的网格，至少需要操作5次．故答案为：5．
【点睛】本题主要考察图形的轴对称性，解题的关键是准确理解题意要求．
4．（2021·广西钦州市·八年级期末）如图，点P是内的一点，分别作点P关于、的对称点，，连接交于M，交于N，若，则的周长为（ ）
A．15B．20C．25D．30
【答案】A
【分析】根据轴对称的性质可得P1M＝PM，P2N＝PN，然后根据三角形的周长定义求出△PMN的周长为P1P2，从而得解．
【详解】解：∵P点关于OA、OB的对称点P1，P2，∴P1M＝PM，P2N＝PN，
△PMN的周长=MN+PM+PN=MN+P1M+P2N=P1P2，∵P1P2=15，∴△PMN的周长为15．故选：A．
【点睛】本题考查轴对称的性质，关键在于巧妙的将周长转换成一条线段．
5.（2021•贵阳期末）如图，点P是△ACB外的一点，点D，E分别是△ACB两边上的点，点P关于CA的对称点P1恰好落在线段ED上，P点关于CB的对称点P2落在ED的延长线上，若PE＝2.5，PD＝3，ED＝4，则线段P1P2的长为 ．
【分析】利用轴对称图形的性质得出PE＝EP1，PD＝DP2，进而利用DE＝4cm，得出P1D的长，即可得出P1P2的长．
【答案】解：∵点P关于CA的对称点P1恰好落在线段ED上，P点关于CB的对称点P2落在ED的延长线上，∴PE＝EP1，PD＝DP2，
∵PE＝2.5cm，PD＝3cm，DE＝4cm，∴P2D＝3cm，EP1＝2.5cm，
即DP1＝DE﹣EP1＝4﹣2.5＝1.5（cm），则线段P1P2的长为：P1D+DP2＝1.5+3＝4.5（cm）．故答案为4.5．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形的性质，得出PE＝EP1，PD＝DP2是解题关键．
6．（2020·山东滨州市·八年级期中）作图与计算：如图，已知∠AOB及∠AOB内的一点P．
（1）求作：点P1、点P2，与点P分别关于射线OA、OB对称；
（2）连接P1P2，交OA，OB分别于点E，若P1P2＝12cm，求△PEF的周长．
【答案】（1）见详解；（2）△PEF的周长＝12cm．
【分析】（1）根据轴对称对应点连线被对称轴垂直平分，作垂线截取等线段即可；
（2）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等，可求得△PEF的周长．
【详解】（1）如图，过点P分别作OA，OB的垂线，分别交AO，AB于点G，H，截取GP1＝GP，HP2＝HP．
（2）∵点E，点F分别是P1P，P2P的中垂线上的点，∴EP1＝EP，FP＝FP2，
∴△PEF的周长＝EP+FP+EF＝EP1+FP2+EF＝P1P2＝12cm．
【点睛】本题考查了作图，线段的垂直平分线的性质．作图题一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．作某点关于某直线的对称点的一般步骤：（1）过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足，并延长；（2）在延长线上从垂足出发截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点．线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
题型3 利用轴对称设计图案
【解题技巧】设计轴对称图案往往以正方形、菱形、等边三角形和网格纸（或格点纸）为基础，因为这些图形本身就是轴对称图形，利用轴对称的有关性质容易设计出它们的对称点或对称部分。设计轴对称图案时，要先确定出有几条对称轴，然后根据对称轴的不同，合理地设计出整体的轴对称图案。具体设计时，我们通常先以一条对称轴为基线，根据构思或需要，再添加其他的对称轴，进一步设计美观、完善的图案。
注意：（1）要设计的图案是由哪些基本图形组成的；
（2）是不是轴对称图形，如果是轴对称图形，要先确定它的对称轴；
（3）设计轴对称的美术图案时，除图形对称外，有时颜色也要“对称”。
1．（2020·江苏扬州市·八年级月考）在下列各图中分别补一个小正方形，使其成为不同的轴对称图形．
【答案】见解析
【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案．
【详解】解：如图所示：
【点睛】本题考查轴对称的应用，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键 ．
2．（2021·石家庄市第四十四中学九年级一模）如图，在的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在图中与成轴对称的格点三角形可以画出（ ）
A．1个B．2个C．3个D．3个以上
【答案】D
【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案．
【详解】解：符合题意的三角形如图所示：
满足要求的图形有4个故选：D
【点睛】本题主要考查利用轴对称来设计轴对称图形，关键是要掌握轴对称的性质和轴对称图形的含义．
3．（2021·浙江九年级专题练习）请在如图四个3×3的正方形网格中，画出与格点三角形（阴影部分）成轴对称且以格点为顶点的三角形，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的四个图不能重复）
【答案】见解析
【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的图形．
【详解】解：如图所示：
．
【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
4．（2021·内蒙古赤峰市·八年级期末）认真观察如图的四个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：
（1）请写出这四个图案都具有的两个特征
特征1： _____________；特征2： _______________．
（2）请在图中设计出你心中最美的图案，使它也具备你所写出的上述特征．
【答案】（1）特征1：都是轴对称图形；特征2：阴影部分的面积都相等；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）应从对称方面，阴影部分的面积等方面入手思考；
（2）应画出既是中心对称图形，又是轴对称图形，且面积为4的图形；
【详解】解：（1）特征1：都是轴对称图形；
特征2：阴影部分的面积都相等（其他特征只要正确即可）
（2）如：以下几种均符合题意（答案不唯一）
【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，解答本题需要我们熟练掌握轴对称的定义，难度一般．
5．（2020·吉林吉林市·八年级期末）图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．按下列要求画图：在图①、图②、图③中各画一个以格点为顶点的三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，并将所画三角形涂上阴影．(注：所画三角形不能重复)
【答案】见解析
【分析】可分别选折不同的直线当对称轴，得到相关图形即可．
【详解】图①以正方形左上到右下对角线所在直线为对称轴；②以正方形左右两边中间格点所在直线为对称轴；③以正方形左下到右上对角线所在直线为对称轴；④以正方形左右两边中间格点与下边两格点组成线段中点所在直线为对称轴；⑤以正方形上下两边中间格点所在直线为对称轴；
【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，掌握轴对称图形的性质，选择不同的直线当对称轴是解题的关键．
6．（2021·北京九年级专题练习）如图，在的正方形网格中，选取13个格点，以其中的三个格点，，为顶点画，请你在图中以选取的格点为顶点再画出一个，使与成轴对称．这样的点有___个．（填点的个数）
【答案】2
【分析】根据轴对称图形的性质画出图形即可．
【详解】解：如图，满足条件的有2个，
故答案为2．
【点睛】本题考查轴对称的性质，解题的关键是理解题意，画出图形解决问题．
题型4 利用轴对称性质求最值
1.（2021•邗江区校级期末）如图，∠AOB＝30°，OC为∠AOB内部一条射线，点P为射线OC上一点，OP＝6，点M、N分别为OA、OB边上动点，则△MNP周长的最小值为（ ）
A．3B．6C．3D．6
【分析】作点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，连结P1P2，与OA的交点即为点M，与OB的交点即为点N，则此时M、N符合题意，求出线段P1P2的长即可．
【答案】解：作点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，连结P1P2
与OA的交点即为点M，与OB的交点即为点N，
△PMN的最小周长为PM+MN+PN＝P1M+MN+P2N＝P1P2，即为线段P1P2的长，
连结OP1、OP2，则OP1＝OP2＝OP＝6，
又∵∠P1OP2＝2∠AOB＝60°，∴△OP1P2是等边三角形，
∴P1P2＝OP1＝6，即△PMN的周长的最小值是6．故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称﹣最短路线问题的应用，关键是确定M、N的位置．
2.（2021•芜湖期末）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值．
【答案】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M作MN′⊥BC于N′，
∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于点E，M′N′⊥BC于N
∴M′N′＝M′E，∴CE＝CM′+M′E
∴当点M与M′重合，点N与N′重合时，CM+MN的最小值．
∵三角形ABC的面积为8，AB＝4，∴×4•CE＝8，∴CE＝4．
即CM+MN的最小值为4．故选：B．
【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．
3．（2021·河南安阳市·八年级期末）如图，在中，，，的面积为12，于点D，直线EF垂直平分BC交AB于点E，交BC于点F，P是线段EF上的一个动点，则的周长的最小值是（ ）
A．6B．7C．10D．12
【答案】B
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可知为底边上的高线，根据面积关系即可求得的长，根据垂直平分线的性质可知点和点关于直线EF对称，所以当与重合时，的值最小，根据和的长度即可求得周长的最小值．
【详解】如图
∵的面积为12，∴，，解得，，
∵直线EF垂直平分BC交AB于点E，∴点和点关于直线EF对称，
∴当与重合时，的值最小，最小值等于的长，
∴周长的最小值是，故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、轴对称最短路线问题的应用、三角形的面积等，解题的关键是准确找出点的位置．
4．（2021·全国八年级单元测试）如图所示，在四边形ABCD中，，AC=1，，直线MN为线段AD的垂直平分线，P为MN上的一个动点，则PC+PD的最小值为（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】A
【分析】要求PC+PD的值最小，当PC、PD在一条这线上值最小，根据垂直平分线定理可以把PD转化为PA，可得知A、P、C在一条直线上值最小，即最小值为AC的长．
【详解】连接PA，∵直线MN为线段AD的垂直平分线，∴，∴，
当P在AC上时，最小，即，∴最小值为1，故选：A．
【点睛】本题主要考查的是垂直平分线定理的运用，以及动点问题，熟练掌握垂直平分线的性质以及四边形动点问题的转化是解决本题的关键．
5．（2021·南阳市第三中学八年级月考）如图，等腰中，，，是等边三角形，点是的角平分线上一动点，连接、，则的最小值为（ ）
A．8B．10C．12D．16
【答案】B
【分析】连接BP，根据AP垂直平分BC，即可得到CP=BP，再根据当B，P，D在在同一直线上时，BP+PD的最小值为线段BD长，即可得出PD+PC的最小值为10．
【详解】解：如图，连接BP，
∵点P是∠BAC的角平分线上一动点，AB=AC，∴AP垂直平分BC，
∴CP=BP，∴PD+PC=PD+PB，∴当B，P，D在在同一直线上时，BP+PD的最小值为线段BD长，
又∵△ABD是等边三角形，AB=BD=10，∴PD+PC的最小值为10，故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
6．（2021·云南昆明市·八年级期末）如图，在直角坐标系中，，，．
（1）在图中作出关于轴对称的图形，并写出点的坐标．
（2）在轴上找一点，使最小（不要求写做法，请保留作图痕迹）．
【答案】（1）图形见解析，；（3）见解析
【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）找到B点关于y轴的对称点B1，再连接AB1，与y轴交点即为所求．
【详解】解：（1）A(-1,5),B(-3,0),C(-4,3)，
关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变,横坐标互为相反数，
点A1、B1、C1的坐标为A1(1,5),B1(3,0),C1(4,3)，
描出A1,B1,C1,顺次连结A1B1，B1C1，C1A1，
由题意可知即为所求，；
（2）由题意作图如下，连结BA1交y轴于点P，
A、A1关于y轴对称，AP=A1P，由两点距离知BA1≤BP+A1P=BP+AP，
点即为所求使得最小．
【点睛】本题考查了作图−对称性变换：在画一个图形的轴对称图形时，先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形，也考查了对称性的应用．
题型5 角平分线的相关计算
【解题技巧】掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等
（1）角平分线的性质是证明线段相等的一个比较简单的方法；
（2）当遇到有关角平分线的问题时，通常过角平分线上的点向角的两边作垂线，构造相等的线段。
1．（2021·云南红河哈尼族彝族自治州·八年级期末）如图，是的平分线上一点，于点，是射线上一个动点，若，则的最小值为______．
【答案】8
【分析】根据角平分线的性质定理解答．
【详解】解：当PQ⊥OM时，PQ最小，
∵P是∠MON角平分线上的一点，PA⊥ON，PQ⊥OM，∴PQ=PA=8，故答案为：8．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
2．（2021·全国八年级单元测试）如图，射线是的平分线，是射线上一点，于点，若是射线上一点，则的面积是_______________________．
【答案】12
【分析】作PH⊥OB于点H，根据角平分线的性质得到PH=DP=6，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：作PH⊥OB于点H，
∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，PH⊥OB，∴PH=DP=6，
∴△OPE的面积=×OE×PH=×4×6=12，故答案为：12．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
3．（2021·宁夏石嘴山市·）如图，平分交于点，于点，若，，，则的长为______．
【答案】5
【分析】作DF⊥AB于F，根据角平分线的性质得到DE=DF，根据三角形的面积公式计算即可；
【详解】如图：作DF⊥AB于F，
∵ BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE=DF，
∴×AB×DF+×BC×DE= ，即×AB×2+×7×2=12，解得：AB=5．故答案为：5．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键；
4．（2021·全国）如图，△ABC的外角∠MBC和∠NCB的平分线BP、CP相交于点P，PE⊥BC于E且PE＝3cm，若△ABC的周长为14cm，S△BPC＝7.5，则△ABC的面积为______cm2．
【答案】6
【分析】过点P作PH⊥AM，PQ⊥AN,连接AP，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PH=PE=PQ，再根据三角形的面积求出BC，然后求出AC+AB，再根据S△ABC= S△ACP+ S△ABP-S△BPC即可得解.
【详解】解：如图，过点P作PH⊥AM，PQ⊥AN，连接AP
∵BP和CP为∠MBC和∠NCB角平分线∴PH=PE，PE=PQ∴PH=PE=PQ=3
∵S△BPC=×BC×PE=7.5∴BC=5
∵S△ABC= S△ACP+ S△ABP-S△BPC=×AC×PQ+×AB×PH-7.5=×3（AC+AB）-7.5
∵AC+AB+BC=14，BC=5∴AC+AB=9∴S△ABC=×3×9-7.5=6 cm2
【点睛】本题考查了角平分线上点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键，难点在于S△ABC的面积的表示．
5．（2021·成都天府四中七年级期中）如图，在中，平分交于点为上一点，且.若，则________________．
【答案】
【分析】过D作DF⊥BC于F，依据角平分线的性质，即可得到AD＝FD，再根据S△BCD＝26，即可得出DF的长，进而得到AD的长．
【详解】如图，过D作DF⊥BC于F，
∵∠A＝90°，CD平分∠ACB，∴AD＝FD，
∵S△BCD＝26，BC＝13，∴×13×DF＝26，∴DF＝4，AD＝4．故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质以及平行线的判定，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
6．（2021·罗山县实验中学八年级月考）如图所示，己知的周长是分别平分和,且，则的面积是__________．
【答案】
【分析】连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等（即OE＝OD＝OF），从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可．
【详解】解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D∴OE＝OF＝OD＝3，
∵△ABC的周长是22，∴S△ABC＝×AB×OE＋×BC×OD＋×AC×OF
＝×（AB＋BC＋AC）×3＝×22×3＝33．故答案为：33．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积求法，熟知角平分线的性质，并根据题意合理添加辅助线是解题关键．
7．（2021·山东潍坊市·八年级期末）如图，在ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列结论不正确的是（ ）
A．AD平分∠BAC B．∠ADC=60° C．点D在AB的垂直平分线上 D．＝1：2
【答案】D
【分析】由作图可得：平分 可判断，再求解 可得 可判断，再证明 可判断，过作于 再证明 再利用 ，可判断 从而可得答案．
【详解】解：
由作图可得：平分 故不符合题意；
故不符合题意；
在的垂直平分线上，故不符合题意；
过作于 平分

故符合题意；故选：
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．
题型6 与线段垂直平分线相关的计算
【解题技巧】掌握线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
注意：（1）这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。
（2）在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于这条线段，二是平分这条线段。
1.（2021•普宁市期中）如图：在△ABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，且点D在点E的左侧，BC＝6cm，则△ADE的周长是（ ）
A．3cmB．12cmC．9cmD．6cm
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据三角形的周长公式计算即可．
【答案】解：∵AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，∴DA＝DB，EA＝EC，
∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝BD+DE+EC＝BC＝6cm，故选：D．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
2.（2021•南华县期中）如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AD＝BD，进而得出答案．
【答案】解：∵AB的垂直平分线交BC于点D，∴AD＝BD，
∵BC＝4，AC＝3，∴CD+AD＝CD+BD＝BC＝4，∴△ACD的周长为：4+3＝7．故选：A．
【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，正确得出AD＝BD是解题关键．
3．（2021·山西长治市·八年级期末）如图所示的是学校行知苑中亭子的顶部，将其顶部抽象成一个三角形，在中，DE是AC的垂直平分线，厘米，的周长等于13厘米，则的周长是_________．
【答案】18厘米．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC，根据△ABD的周长得出AB+BC=13厘米，再根据三角形周长公式计算即可．
【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，
∵△ABD的周长等于13厘米，∴AD+BD+AB=CD+BD+AB=13厘米，即AB+BC=13厘米，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+5=18（厘米），故答案为：18厘米．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
4．（2021·江西赣州市·八年级期末）如图，在中，，，AB的垂直平分线MN交AC于D点，连接BD，则的度数是________．
【答案】15°
【分析】根据等腰三角形两底角相等，求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AD=BD，根据等边对等角的性质，可得∠ABD=∠A，然后求∠DBC的度数即可．
【详解】∵AB=AC，∠A=50∘， ∴ ∠ABC=(180∘−∠A)=(180∘−50∘)=65∘，
∵MN垂直平分线AB，∴AD=BD，∴ ∠ABD=∠A=50∘， ∴ ∠DBC=∠ABC−∠ABD=65∘−50∘=15∘.
故答案为:15∘.
【点睛】考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键.
5．（2021·河南安阳市·八年级期末）如图，在中，，，DE垂直平分AC，交BC于点E，，则_______．
【答案】4
【分析】根据垂直平分线性质，知AE=CE=8，从而求得∠AEB＝30°，利用直角三角形中，30°角对边等于斜边的一半求解即可.
【详解】解：∵DE垂直平分AC，∴AE=CE=8，∴∠C＝∠CAE＝15°，
∵∠AEB＝∠C+∠CAE，∴∠AEB＝30°，∵∠ABC＝90°，AE=8，∴AB=，
故答案为：4.
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角和定理，直角三角形中，30°角对边等于斜边的一半，灵活运用上述知识是解题的关键.
6．（2021·江苏镇江市·八年级期末）如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点这两条垂直平分线分别交于点．（1）若，求的度数；（2）已知的周长，分别连接，若的周长为，求的长．
【答案】（1）40°；（2）8cm
【分析】（1）求出∠BAC＝110°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，可求出答案；
（2）根据的周长，求出BC，根据三角形的周长公式求出OB+OC，根据线段垂直平分线的性质得到OB＝OC，计算即可．
【详解】解：
是线段的垂直平分线，，同理，
连接，
的周长，；
的周长为
垂直平分同理，
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
题型7 等腰三角形的性质
【解题技巧】掌握等腰三角形的性质：
1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
2.等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。
3.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。
1．（2021·安徽芜湖市·八年级期末）等腰三角形的两边，满足，则它的周长是（ ）
A．17B．13或17C．13D．19
【答案】A
【分析】根据绝对值和二次根式的性质求出a，b，再根据等腰三角形的性质判断即可；
【详解】∵，∴，解得，
∵a，b是等腰三角形的两边，
∴当为腰时，三边分别为7，7，3，符合三角形三边关系，此时三角形的周长；
当为腰时，三边为3，3，7，由于＜7，故不符合三角形的三边关系；
∴三角形的周长为17．故答案选A．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、绝对值性质和二次根式的性质，准确计算是解题的关键．
2.（2021•金水区期中）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角是（ ）
A．50°B．130°C．50°或 140°D．50°或 130°
【分析】由题意知其为锐角等腰三角形或钝角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以应分开来讨论．
【答案】解：当为锐角时，如图：
∵∠ADE＝40°，∠AED＝90°，∴∠A＝50°，
当为钝角时，如图：∠ADE＝40°，∠DAE＝50°，∴顶角∠BAC＝180°﹣50°＝130°．故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分类讨论是正确解答本题的关键．
3.（2021•洪山区期中）如图，已知AB＝AC＝BD，则∠1与∠2的关系是（ ）
A．3∠1﹣∠2＝180° B．2∠1+∠2＝180° C．∠1+3∠2＝180° D．∠1＝2∠2
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠1和∠C之间的关系，再根据三角形外角的性质可得∠1和∠2之间的关系．
【答案】解：∵AB＝AC＝BD，∴∠B＝∠C＝180°﹣2∠1，
∴∠1﹣∠2＝180°﹣2∠1，∴3∠1﹣∠2＝180°．故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和定理以及三角形外角的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，弄清角之间的数量关系是解决问题的关键，本题难度适中．
4．（2021·广东八年级期末）如图，∠ABE＝∠ACD，∠EBC＝∠DCB，则下列结论正确的有（ ）
①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE；④CD＝BE．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】由∠ABE＝∠ACD，∠EBC＝∠DCB，可得出∠ABC＝∠ACB，再利用等角对等边可得出AB＝AC，可判断①；由∠A＝∠A，AB＝AC及∠ABE＝∠ACD，可证出△ABE≌△ACD（ASA），再利用全等三角形的性质可得出AD＝AE，CD＝BE，可判断②④；由AB＝AC，AD＝AE，可得出BD＝CE可判断③即可．
【详解】解：∵∠ABE＝∠ACD，∠EBC＝∠DCB，∴∠ABE+∠EBC＝∠ACD+∠DCB，
∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，结论①正确；
在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴AD＝AE，CD＝BE，结论②④正确；∵AB＝AC，AD＝AE，∴AB﹣AD＝AC﹣AE，
∴BD＝CE，结论③正确．∴正确的结论有4个．故选择：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．
5．（2021·浙江湖州市·八年级期末）如图，在等腰三角形中，，，是的中点，于点，延长至点，使，连接，则的度数为________°.
【答案】70
【分析】由，，是的中点，求解证明 再求解 证明 从而可得答案．
【详解】解： ，，是的中点，

,
，， 故答案为：
【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的定义与性质，掌握以上知识是解题的关键．
6．（2021·福建九年级二模）如图，正五边形中，F为边中点，连接，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接AC，AD，正五边形ABCDE中，得到AB=AE=BC=DE，∠B=∠E，证得△ABC≌△AED，根据全等三角形的性质得到∠BAC=∠EAD，AC=AD，根据等腰三角形的性质得到∠CAF=∠DAF，即可得到结论．
【详解】解：连接AC，AD，
五边形ABCDE是正五边形，，，
在△ABC和△AED中△ABC≌△AED，
．故选B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正五边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
题型8. 等腰三角形的判定
【解题技巧】掌握等腰三角形的判定：
等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。简称“等角对等边”
牢记：（1）等腰三角形的性质“等边对等角”与等腰三角形的判定“等角对等边”的条件和结论正好相反，要注意区分；（2）判定定理可以用来判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据。
1．（2021·内蒙古松山·期中）如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°图中的等腰三角形个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】先计算出∠BDC，再计算出∠ABC，然后等腰三角形的判定方法对图形中的三角形进行判断．
【解析】∵∠A=36°，∠DBC=36°，∴△ABD为等腰三角形，
∵∠BDC=∠A+∠DBC=26°+36°=72°，而∠C=72°，
∴∠BDC=∠C，∴△BDC为等腰三角形，
∵∠ABC=180°-∠A-∠C=72°，∴∠ABC=∠C，∴△ABC为等腰三角形．故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
2．（2021·江苏中考真题）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．
【详解】解：如图：分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．故共有3个点，故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
3．（2020·辽宁顺城·初二期末）已知：如图，下列三角形中，，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【分析】顶角为：36°，90°，108°的等腰三角形都可以用一条直线把等腰三角形分割成两个小的等腰三角形，再用一条直线分其中一个等腰三角形变成两个更小的等腰三角形．
【解析】由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，
①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°，72°，能；②不能；
③显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；
④中的为36°，72，72°和36°，36°，108°，能．故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；在等腰三角形中，从一个顶点向对边引一条线段，分原三角形为两个新的等腰三角形，必须存在新出现的一个小等腰三角形与原等腰三角形相似才有可能．
4．（2020·无锡市羊尖中学初二月考）下列能判定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A．∠A＝50°，∠B＝40°B．∠A＝70°，∠B＝40°
C．AB＝AC＝4，BC＝8D．AB＝3，BC＝8，周长为16
【答案】B
【分析】据等腰三角形的判定定理、三角形的内角和定理以及三角形的三边关系对每个选项一一判断即可．
【解析】A＝50°，B＝40°，所以C=180°－50°－40°=90°，ABC是直角三角形，不是等腰三角形，故A选项错误；
A＝70°，B＝40°，所以C=180°－70°－40°=70°，A＝C ，所以AB=BC，ABC是等腰三角形，故B选项正确；
AB+AC=BC，这三条边不能构成三角形，故C选项错误；
AB＝3，BC＝8，AC=16－3－8=5，AB+AC=BC，这三条边不能构成三角形，故D选项错误．故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、三角形的三边关系以及等腰三角形的判定定理，熟练掌握这些概念是解题关键．
5．（2021·淮安市浦东实验中学八年级期中）如图，，是延长线上一点，若，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点沿以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当______时，是等腰三角形？
【答案】6或18
【分析】分点P在线段OC上和点P在线段OB上两种情况，分别根据等腰三角形的定义列出等式，求解即可得．
【详解】解：由题意，分以下两种情况：
（1）点P在线段OC上时，若ΔPOQ是等腰三角形，则只有OP=OQ才满足
因此有18−2t=t解得t=6(s)
（2）点P在线段OB上时，若ΔPOQ是等腰三角形，
∵∴ΔPOQ也是等边三角形 因此有2t−18=t解得t=18(s)
综上，当t等于6s或18s时，ΔPOQ是等腰三角形。故答案为：6或18．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
6．（2020·南京师范大学附属中学树人学校初二月考）如图，点D是内部的一点，，过点D作，，垂足分别为E、F，且
求证：为等腰三角形．
【答案】见解析.
【分析】欲证明AB＝AC，只要证明∠ABC＝∠ACB即可；
【解析】证明：，，．
在和中，≌，，
，，，
即，．
欲证明，只要证明即可；
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
题型9.等边三角形的性质与判定
【解题技巧】等边三角形的性质：（1）等边三角形是轴对称图形，并且具有3条对称轴；（2）等边三角形的每个角都等于60°。
等边三角形的判定：（1）三边相等的三角形是等边三角形。（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（3）有两个角是60°的三角形是等边三角形。（4）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
1．（2021·山东九年级一模）如图，等边三角形纸片ABC的周长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据边三角形纸片ABC的周长为6可求BC=2，根据三等分点的定义可求EF的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解．
【详解】解：∵等边三角形纸片ABC的周长为6，∴
∵E，F是边BC上的三等分点，∴EF=，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，
又∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠DEF=∠B=60°，∠DFE=∠C=60°，
∴△DEF是等边三角形，∴剪下的△DEF的周长是×3=2．故选：B．
【点睛】考查了等边三角形的性质，平行线的性质，关键是证明△DEF是等边三角形．
2．（2021·广西钦州市·八年级期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】因为△ABC是等边三角形，又BD是AC上的中线，所以有∠ADB＝∠CDB＝90°，且∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ACB＝∠CDE＋∠DEC＝60°，又CD＝CE，可得∠CDE＝∠CED＝30°，所以就有∠CBD＝∠DEC，即DE＝BD，∠BDE＝∠CDB＋∠CDE＝120°.由此得出答案解决问题．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB＝60°，
∵BD是AC上的中线，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∠ABD＝∠CBD＝30°，
∵∠ACB＝∠CDE＋∠DEC＝60°，又CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED＝30°，
∴∠CBD＝∠DEC，∴DE=BD，∠BDE＝∠CDB＋∠CDE＝120°，故ABC均正确．故选：D．
【点睛】此题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，注意三线合一这一性质的理解与运用．
3．（2021·辽宁九年级一模）如图，是等边三角形，是边上的中线，点在上，且，则（ ）
A．100°B．105°C．110°D．115°
【答案】B
【分析】由是等边三角形，可得∠B=60°，由是边上的中线，可得BD=CD=，AD⊥BC，由，ED=CD，可求∠ECD=45°，由三角形外角性质可求∠AFC=105°．
【详解】解：∵是等边三角形，∴∠B=60°，AB=AC，
∵是边上的中线，∴BD=CD=，AD⊥BC，
∵，∴ED=CD，∠EDC=90°，∴∠ECD=∠DEC=45°，
∵∠AFC是△FBC的外角，∴∠AFC=∠B+∠FCD=60°+45°=105°．故选择：B．
【点睛】本题考查等边三角形性质，等式性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质，掌握等边三角形性质，等式性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质是解题关键．
4．（2021·四川省宜宾市第二中学校九年级一模）如图，，，三点在同一直线上，，都是等边三角形，连接，，：下列结论中正确的是（ ）
①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等边三角形；③平分；④△BPO≌△EDO．
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【答案】B
【分析】利用等边三角形的性质，三角形的全等，逐一判断即可．
【详解】∵△ABC，△CDE都是等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠PCQ =∠ECD+∠PCQ，∠PCD=60°，∴∠ACD =∠BCE，
∴△ACD≌△BCE， ∴①的说法是正确的；
∵△ACD≌△BCE，∴∠PDC =∠QEC，
∵∠PCD=∠QCE=60°，CD=CE，∴△PCD≌△QCE，
∴PC=QC，∴△CPQ是等边三角形；∴②的说法是正确的；
∵△PCD≌△QCE，∴PD=QE，，
过点C作CG⊥PD，垂足为G，CH⊥QE，垂足为H，
∴，∴CG=CH，∴平分，∴③的说法是正确的；
无法证明△BPO≌△EDO．∴④的说法是错误的；故答案为①②③，故选B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，三角形的全等与性质，角平分线的性质定理，熟练掌握等边三角形的性质，灵活进行三角形全等的判定，活用角的平分线性质定理的逆定理是解题的关键．
5．（2020·卓尼县第一中学初二期中）已知，点在的内部，点与点关于对称，点与点关于对称，则以点，，为顶点的三角形是（ ）
A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
【答案】D
【分析】根据轴对称的性质，可得、，再利用等边三角形的判定即可得解．
【解析】解：根据已知条件画出图形，如图：
∵点和点关于对称，点和点关于对称
∴，，，
∵∴，
∴是等边三角形，即以点，，为顶点的三角形是等边三角形．故选：D
【点睛】本题考查了轴对称的性质和等边三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
6．（2021·湖南长沙一中岳麓中学初二月考）下列条件不能得到等边三角形的是( )
A．有两个内角是的三角形B．有一个角是的等腰三角形
C．腰和底相等的等腰三角形D．有两个角相等的等腰三角形
【答案】D
【分析】根据等边三角形的定义可知：满足三边相等、有一个角为60°且两边相等、有两个内角为60°这三个条件中的任意一个条件即为等边三角形，根据这个定义进行逐项分析即可得到答案.
【解析】A、有两个内角是60°，因为三角形内角和是180°，可知另一个角也是60°，故该三角形为等边三角形，故本选项不合题意；
B、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项不合题意；
C、腰和底相等的等腰三角形，即三边都相等的三角形是等边三角形，故本选项不合题意；
D、等腰三角形中两个底角是相等的，故不能判定该三角形是等边三角形，故本选项符合题意；
故答案为D.
【点睛】本题考查了等边三角形的判定：
（1）由定义判定：三边都相等的三角形是等边三角形.
（2）判定定理1：三个角都想等的三角形是等边三角形.
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
7.（2020·山东昌乐二中月考）如图，点O是等边三角形ABC内一点，连接OA、OB、OC，并以OC为一边向外作等边三角形OCD，连接AD．若∠AOB=110°， ∠BOC=150°，则∠OAD的度数为（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
【答案】B
【分析】根据已知易证△ACD≌BCO，得出∠ADC=∠BOC=150°，又因△OCD是等边三角形， 易证∠ADO=90°，又由∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，求出∠AOC=100°，从而得∠AOD=40°，再根据直角三角形的两个内角互余即可求出∠OAD的度数．
【解析】解：∵△ABC和△OCD是等边三角形，∴AC=BC，OC=CD， ∠ODC=∠DCO=∠COD=∠ACB=60°，
∴∠DCO-∠ACO=∠ACB-∠ACO即∠ACD=∠BCO．
在△ACD和△BCO中 ∴△ACD≌△BCO．∴∠ADC=∠BOC=150°．∴∠ADO=90°，
∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠AOC=100°，∴∠AOD=40°，∴∠OAD=90°-40°=50°．故选B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质，掌握相关知识是解题的关键．
题型10 解决生活中的实际问题
1．（2020·湖南长沙市·八年级月考）在元旦联欢会上，三个小朋友分别站在三角形的三个顶点的位置上，他们玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先做到凳子上谁就获胜，为使游戏公平，则凳子应放在三角形的（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
【答案】D
【分析】根据三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等可得答案．
【详解】解：∵三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，
∴为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的三边的垂直平分线的交点，故选：D．
【点睛】本题主要考查游戏公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平，并熟练掌握三角形内心、外心、垂心和重心的性质．
2．（2021·上海奉教院附中八年级期末）随着人们生活水平的不断提高,汽车逐步进入到千家万户,小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路(如图所示),建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,这样可供选择的地址有_______处.
【答案】4
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等作出图形即可得解．
【详解】如图所示，
加油站站的地址有四处．故选D．
【点睛】考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并是解题的关键，作出图形更形象直观．
3．（2021·辽宁大连市·八年级期末）如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建（ ）
A．A处B．B处C．C处D．D处
【答案】C
【分析】利用垂直平分线的性质即可判断．
【详解】如图，可知两个圆弧交点所连直线为线段MN的垂直平分线，
根据垂直平分线的性质，可得发射塔应该在C处，故选：C．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的实际应用，理解中垂线的性质是解题关键．
4．（2021·四川省自贡市贡井区成佳中学校八年级月考）近年来，国家实施“村村通”工程和农村医疗卫生改革，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村座落在两相交公路内(如图所示)．医疗站必须满足下列条件：①使其到两公路距离相等，②到张、李两村的距离也相等，请你通过作图确定P点的位置（不写作法，但要保留痕迹）
【答案】见解析
【分析】画出两条公路夹角的平分线和张、李两村之间线段的垂直平分线，交点即是所求．
【详解】解：如图所示：
【点睛】此题主要考查角平分线、垂直平分线的作法在实际中的应用，熟练掌握垂直平分线以及角平分线的性质得出是解题关键．
5．（2020•花垣县期末）茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
【分析】本题意思是在OA上找一点D，在OB上找一点E，使△CDE的周长最小．如果设点C关于OA的对称点是M，关于OB的对称点是N，当点D、E在MN上时，△CDE的周长为CD+DE+EC＝MN，此时周长最小．
【答案】解：①分别作点C关于OA、OB的对称点是M、N，②连接MN，分别交OA于D，OB于E．
则C→D→E→C为所求的行走路线．
【点睛】灵活运用对称性解决生活中的最短距离问题．
6.（2020•东西湖区期末）如图，为了做好元旦期间的交通安全工作，自贡市交警执勤小队从A处出发，先到公路m上设卡检査，再到公路n上设卡检査，最后再到达B地执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？画出图形并说明做法．
【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作A关于公路m的对称点A′，作B关于公路n的对称点B′，连接A′B′与公路m，n分别相交于点M、N，然后沿A→M→N→B走才能使总路程最短．
【答案】解：如图所示，分别作A、B关于公路m、n的对称点A′、B′，连接A′B′交m、n于M、N两点，连AM、BN，则A→M→N→B即为最短路线．
【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，应用与设计作图，此类问题的求解方法比较单一，需熟记．
7.（2021•西湖区校级月考）如图直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥．桥建在何处才能使从村庄A经过河到村庄B的路线最短？画出示意图，并说明理由．
【分析】先确定AA′与河等宽，且AA′⊥河岸，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，即可得出答案．
【答案】解：如图，先确定AA′与河等宽，且AA′⊥河岸，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置．
理由：由作图过程可知，四边形ACDA′为平行四边形，AD平移至A′C即可得到线段A′B，两点之间，线段最短，由于河宽不变，CD即为桥．
【点睛】本题考查的是作图﹣平移变换以及利用轴对称解决最短路径问题，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
题型11 等腰三角形相关的综合问题
【解题技巧】等腰三角形的性质与其他知识的综合
（1）等腰三角形与线段垂直平分线相结合
线段垂直平分线的性质常用来说明线段相等，比较常见的就是与等腰三角形的性质结合考虑，一般要结合具体图形及条件，理解该性质满足的条件，得出相应的结论．
（2）等腰三角形与角平分线相结合
利用角平分线可以得到两个角相等，若这两个角可转化到一个等腰三角形中，则可运用等腰三角形的“三线合一”得到其他的结论．
1．（2021·河北石家庄市·九年级一模）如图，已知，，点为的外心，若，则____．
【答案】140
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠AED，根据点为的外心得到F点在AE的垂直平分线上，再由AB=EB得到BH是AE的垂直平分线，得到BH⊥AE，求出∠FBE，同理求出∠FCD，故可求出．
【详解】∵，∴∠AED==70°
如图，延长BF，交AE于H点 ∵点为的外心∴F点在AE的垂直平分线上
又∴BH是AE的垂直平分线，∴BH⊥AE，∴∠FBE=90°-∠AED=20°，
同理可得∠FCD=90°-70=20°∴180°-∠FBE-∠FCD=140°故答案为：140．
【点睛】此题主要考查三角形内角度求解，解题的关键是熟知等腰三角形的性质及外心的定义．
2．（2021·江苏苏州市·八年级月考）如图，在中，，垂直平分．若，，垂足分别为点，，连接，则__________．
【答案】45°
【分析】根据题意可证是等腰直角三角形，，根据等腰三角形三线合一可得，根据同角的余角相等可得，根据直角三角形斜边中线性质可证是等腰三角形，进而求出其外角的度数．
【详解】解：∵垂直平分，，∴，是等腰直角三角形；
∵，，∴（等腰三角形底边上的高也是顶角的角平分线），
∵在直角和直角中，和都和互余，∴，
∵（三线合一），∴点F是BC中点，EF是直角的中线，
∴，∴，∴（等边对等角），
∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质与判定，根据三线合一证明，直角三角形斜边中线性质，运用等腰三角形三线合一证明是解题关键．
3．（2020·安徽庐江·月考）如图，在△ABC中，AB=AC=18cm，BC=10cm，AD=2BD．
（1）如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
【答案】（1）①△BPD与△CQP全等，理由见解析；②当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等；（2）经过90s点P与点Q第一次相遇在线段AB上相遇．
【解析】
【分析】（1）①由“SAS”可证△BPD≌△CQP；②由全等三角形的性质可得BP=PC=BC=5cm，BD=CQ=6cm，可求解；（2）设经过x秒，点P与点Q第一次相遇，列出方程可求解．
【详解】解：（1）①△BPD与△CQP全等，理由如下：
∵AB=AC=18cm，AD=2BD，∴AD=12cm，BD=6cm，∠B=∠C，
∵经过2s后，BP=4cm，CQ=4cm，∴BP=CQ，CP=6cm=BD，
在△BPD和△CQP中，，∴△BPD≌△CQP（SAS），
②∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，∴BP≠CQ，
∵△BPD与△CQP全等，∠B=∠C，∴BP=PC=BC=5cm，BD=CQ=6cm，
∴t=，∴点Q的运动速度=cm/s，
∴当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等；
（2）设经过x秒，点P与点Q第一次相遇，由题意可得：x﹣2x=36，解得：x=90，
点P沿△ABC跑一圈需要（s）∴90﹣23×3=21（s），
∴经过90s点P与点Q第一次相遇在线段AB上相遇．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，掌握全等三角形的判定是本题的关键．
4.（2020·江苏灌云·初二月考）如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=12，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从过点B向点C运动，点E同时从点C出发，以每秒2个单位的速度在线段AC上从点A运动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为秒.(1)运动_____秒时，CD=3AE.(2)运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由；(3)若△ABD≌△DCE，∠BAC=则∠ADE=_______(用含的式子表示)．
【答案】（1）3秒；（2）当t=2时，△ABD与△DCE全等；理由见解析；（3）90°-0.5ɑ.
【分析】（1）依据BD=CE=2t，可得CD=12-2t，AE=8-2t，再根据当DC=3AE时，12-2t =3（8-2t），可得t的值；（2）当△ABD≌△DCE成立时，AB=CD=8，根据12-2t=8，可得t的值；
（3）依据∠CDE=∠BAD，∠ADE=180°-∠CDE-∠ADB，∠B=∠180°-∠BAD-∠ADB，即可得到∠ADE=∠B，再根据∠BAC=α，AB=AC，即可得出∠ADE．
【解析】（1）由题可得，BD=CE=2t，∴CD=12-2t，AE=8-2t，
∴当DC=3AE时，12-2t =3（8-2t），解得t=3，故答案为3；
（2）当△ABD≌△DCE成立时，AB=CD=8，∴12-2t=8，解得t=2，
∴运动2秒时，△ABD≌△DCE能成立；
（3）当△ABD≌△DCE时，∠CDE=∠BAD，
又∵∠ADE=180°-∠CDE-∠ADB，∠B=∠180°-∠BAD-∠ADB，∴∠ADE=∠B，
又∵∠BAC=α，AB=AC，∴∠ADE=∠B=（180°-α）=90°-α．故答案为90°-α．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．利用全等三角形的对应边相等得出方程是解题关键．
5.（2020•东至县期末）在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α．
（1）如图1，将AD、EB延长，延长线相交于点O：①求证：BE＝AD；②用含α的式子表示∠AOB的度数（直接写出结果）；（2）如图2，当α＝45°时，连接BD、AE，作CM⊥AE于M点，延长MC与BD交于点N，求证：N是BD的中点．
【分析】（1）①根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠ACB＝∠DCE，根据全等三角形的性质即可得到结论；②根据全等三角形的性质得到∠CAD＝∠CBE＝α+∠BAO，根据三角形的内角和即可得到结论；（2）如图2，作BP⊥MN交MN的延长线于P，作DQ⊥MN于Q，根据全等三角形的性质得到MC＝BP，同理，CM＝DQ，等量代换得到DQ＝BP，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【答案】解：（1）①∵CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α，
∴∠ACB＝180°﹣2α，∠DCE＝180°﹣2α，∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD；
②∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE＝α+∠BAO，
∵∠ABE＝∠BOA+∠BAO，∴∠CBE+α＝∠BOA+∠BAO，
∴∠BAO+α+α＝∠BOA+∠BAO，∴∠BOA＝2α；
（2）如图2，作BP⊥MN交MN的延长线于P，作DQ⊥MN于Q，
∵∠BCP+∠BCA＝∠CAM+∠AMC，∵∠BCA＝∠AMC，∴∠BCP＝∠CAM，
在△CBP与△ACM中，，∴△CBP≌△ACM（AAS），
∴MC＝BP，同理，CM＝DQ，∴DQ＝BP，
在△BPN与△DQN中，，∴△BPN≌△DQN（AAS），∴BN＝ND，∴N是BD的中点．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
6.（2020•大连期末）如图，等腰△ABC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且∠BAC＝∠ADE＝∠ADF＝60°．（1）在图中找出与∠DAC相等的角，并加以证明；（2）若AB＝6，BE＝m，求：AF（用含m的式子表示）．
【分析】（1）首先证明△ABC是等边三角形，再利用三角形的外角的性质解决问题即可．（2）在DE上截取DG＝DF，连接AG，先判定△ADG≌△ADF，得到AG＝AF，再根据∠AEG＝∠AGE，得出AE＝AG，进而得到AE＝AF即可解决问题．
【答案】解：（1）结论：∠BDE＝∠DAC．
理由：∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，
∵∠ADB＝∠3+∠ADE＝∠1+∠C，∠ADE＝∠C＝60°，∴∠3＝∠1．
（2）如图，在DE上截取DG＝DF，连接AG，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠ADE＝∠ADF＝60°，AD＝AD，∴△ADG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠1＝∠2，
∵∠3＝∠1，∴∠3＝∠2∵∠AEG＝60°+∠3，∠AGE＝60°+∠2，
∴∠AEG＝∠AGE，∴AE＝AG，∴AE＝AF＝6﹣m．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判断，全等三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的对应边相等，对应角相等得出结论．