北师大版数学七下高频考点突破练习专题03 平行线四大模型与动态角度问题（2份，原卷版+解析版）

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模型1：猪蹄模型（M型）
【解题技巧】如图，①已知：AB∥CD，结论：∠APC=∠A+∠C；
②已知：∠APC=∠A+∠C，结论：AB∥CD.

图①、图② 图③
③已知：AB∥CD，结论：∠A+∠P2+∠C=∠P1+∠P3.
例1、（2022.广东省初一月考）如图所示，已知：AB∥CD，求证：∠APC=∠A+∠C；
变式1.（2021·山东青岛期末）如图，，点在上，，，则下列结论正确的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1个B．2个C．3个D．4个
变式2.（2021.湖北七年级期中）如图，，，则，，之间的关系是（ ）
A．B． C． D．
变式3.（2021·渝中区期末）如图，，，，则（ ）
A．B．C．D．
例2．（2021·浙江杭州七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．（1）如图（2）所示，已知，请问，，有何关系并说明理由；
（2）如图（3）所示，已知，请问，，又有何关系并说明理由；
（3）如图（4）所示，已知，请问与有何关系并说明理由．
变式4.（2021·山西八年级期末）综合与探究
问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．
（1）如图1，，点分别为直线上的一点，点为平行线间一点且，求度数；
问题迁移：（2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交于点，直线分别交于点，点在射线上运动．①当点在（不与重合）两点之间运动时，设．则之间有何数量关系？②若点不在线段上运动时（点与点三点都不重合），请你直接写出间的数量关系．
变式5.（2021·河南七年级期末）把一块含60°角的直角三角尺放在两条平行线之间．（1）如图1，若三角形的60°角的顶点放在上，且，求的度数；
（2）如图2，若把三角尺的两个锐角的顶点分别放在和上，请你探索并说明与间的数量关系；（3）如图3，若把三角尺的直角顶点放在上，30°角的顶点落在上，请直接写出与的数量关系．
模型2：铅笔头模型
【解题技巧】如图，①已知：AB∥CD，结论：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°；
②已知：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°，结论：AB∥CD.

图①、图② 图③
③已知：AB∥CD，结论：∠1+∠2+…+∠n=180（n－1）.
例1、（2021.河北七年级月考）如图，已知：AB∥CD，求证：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°；
变式1．（2021·陕西咸阳市期末）如图，，直线分别交AB、DE于点F、G．若，则___________．
变式2．（2021·黑龙江·七年级期中）如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2021·福建泉州七年级期末）问题情境：我市某中学班级数学活动小组遇到问题：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．
经过讨论形成的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．
（1）按该数学活动小组的思路，请你帮忙求出∠APC的度数；（2）问题迁移：如图3，∥，点在、两点之间运动时， ，．请你判断 、、 之间有何数量关系？并说明理由；（3）拓展应用：如图4，已知两条直线∥，点在两平行线之间，且的平分线与 ∠DFP的平分线相交于点Q，求的度数．
变式3．（2021·佛山顺德区月考）问题情境1：如图1，AB∥CD，P是ABCD内部一点，P在BD的右侧，探究∠B，∠P，∠D之间的关系？
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠B，∠P，∠D之间满足 关系．（直接写出结论）
问题情境2：如图3，AB∥CD，P是AB，CD内部一点，P在BD的左侧，可得∠B，∠P，∠D之间满足 关系．（直接写出结论）
问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F（1）如图4，若∠E＝80°，求∠BFD的度数；
（2）如图5中，∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论．
（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，设∠E＝m°，用含有n，m°的代数式直接写出∠M＝ ．
变式4．（2021·湖北七年级月考）如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°．
（1）请判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，在（1）的结论下，当∠E=90°保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD．当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系？并说明理由；
（3）如图3，在（1）的结论下，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，当点Q在射线CD上运动时（点C除外），∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？直接写出结论，其数量关系为 ．
例3．（2021·西安七年级月考）下列各图中的MA1与NAn平行．
（1）图①中的∠A1+∠A2= 度，图②中的∠A1+∠A2+∠A3= 度，
图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4= 度，图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5= 度，…，
第⑩个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A10= 度（2）第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An= ．
变式5．（2021·山东七年级月考）如图，两直线、平行，则（ ）．
A．630°B．720°C．800°D．900°
变式6．（2021·贵州遵义市·七年级期末）[问题解决]（1）如图1，AB∥CD，点E、F分别是AB、CD上的点，连接OE、OF，探求∠1、∠2、∠3之间的关系，并说明理由．
[拓展延伸]（2）如图2，上述结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请写出它们的关系．
[拓展应用]（3）如图3，已知AB∥CD，∠AE1E2的角平分线与∠CEnEn﹣1的角平分线交于点O．若∠E1OEn＝m°，直接写出∠2+∠3+∠4+…+∠（n﹣2）+∠（n﹣1）的度数．（用含m、n的代数式表示）
模型3：拐弯模型
【解题技巧】类型1（鸟嘴形）：如图，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3.
类型2（骨折形）：如图，AB∥CD，结论：∠2=∠1+∠3.

例1．（2021.广东省七年级期中）如图，已知AB∥CD，求证：∠1=∠2+∠3.
变式1.（2021·余干县期末）如图1，ADBC，的平分线交BC于点G，．
（1）求证：；（2）如图2，若，的平分线交于点E，交射线GA于点F，的度数．
变式2．（2021·保定市期中）（1）已知：如图1，，易知______．
（2）如图2，，，是直线上的两点，猜想，，，，这四个角之间的关系，写出以下三种情况中这四个角之间的关系，并选择其中之一进行说明．

图2
①图中四个角的关系：______②图中四个角的关系：______③图中四个角的关系：______
例2. （2021·忠县七年级月考）如图，已知直线l1//l2，l3、和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．
（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；
（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；
（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明；
（4）若点P在线段DC延长线上运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系．
变式3．（2021·余干县期末）已知直线AB∥CD，（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为 ；（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F，则 = ．
变式4．（2021·湖南株洲市期末）已知直线a∥b，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．
（1）如图1，当点P在线段EF上运动时，试说明∠1+∠3=∠2；（提示：过点P作PM∥a）
（2）当点P在线段EF外运动时有两种情况，①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明．
②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．
模型4：“5”字模型
基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°.
例1.（2021.浙江七年级期中）如图，AB∥CD，求证：∠1+∠3－∠2=180°.
变式1．（2021.北京七年级期中）如图，已知AB∥CD, EF∥CD，则下列结论中一定正确的是( )
A．∠BCD= ∠DCE;B．∠ABC+∠BCE+∠CEF=360;
C．∠BCE+∠DCE=∠ABC+∠BCD;D．∠ABC+∠BCE -∠CEF=180.
变式2．（2021·江苏七年级期末）如图，AB∥CD，则∠1+∠3－∠2的度数等于 __________．

变式3.（2021·河北七年级月考）珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC=120°，∠BCD=80°，则∠CDE=__________度．
例2．（2021·湖北洪山·七年级期中）如图，已知AB∥CD，P为直线AB，CD外一点，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延长线交DE于点E，若∠FED＝a，试用a表示∠P为______．
变式4．（2021·黑龙江·七年级月考）如图，，E是上的点，过点E作，若，平分，，，则_______．

变式5.（2021·江苏七年级期中）如图所示，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E．则∠C等于（ ）
A．20°B．25°C．30°D．40°
例3．（2021·河南驻马店七年级期中）如图1，已知AB∥CD，∠B＝20°，∠D＝110°．
（1）若∠E＝50°，请直接写出∠F的度数；（2）探索∠E与∠F之间满足的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，FG的反向延长线交EP于点P，求∠P的度数．
变式6．（2021·湖北咸宁市期末）（感知）如图①，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连结AE、BE，试说明∠BAE+∠DCE=∠AEC；
（探究）当点E在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠AEC+∠BAE+∠DCE=360°；
（应用）点E、F、G在直线AB与CD之间，连结AE、EF、FG和CG，其他条件不变，如图③，若∠EFG=36°，则∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=______°.
动态角度1 ：折叠问题
例1．（2021·江苏镇江七年级期中）如图，将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果∠1＝55°，那么∠2＝_____°．
变式1．（2021·宜兴市北郊中学初二期中）如图a是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）
A．102°B．108°C．124°D．128°
变式2．（2021·广东佛山市七年级期中）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AED′=30°，则∠BFC′的度数为_________．
例2．（2021·全国·八年级单元测试）在△ABC中，将∠B、∠C按如图方式折叠，点B、C均落于边BC上一点G处，线段MN、EF为折痕．若∠A＝80°，则∠MGE＝_____°．
变式3．（2021·浙江杭州·七年级期中）在“妙折生平——折纸与平行”的拓展课上，小潘老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片ABC，，，点D是AB边上的固定点（），请在BC上找一点E，将纸片沿DE折叠（DE为折痕），点B落在点F处，使EF与三角形ABC的一边平行，则为________度．

变式4．（2021·重庆南开中学八年级开学考试）如图，在中，，在边上取点，使得，连接．点、分别为、边上的点，且，将沿直线翻折，使点落在边上的点处，若，则的度数为_______．
例3．（2021·河南襄城·七年级月考）（1）学习了平行线以后，香橙同学想出了过一点画一条直线的平行线的新方法，她是通过折纸做的，过程如（图1）．
①请你仿照以上过程，在图2中画出一条直线b，使直线b经过点P，且，要求保留折纸痕迹，画出所用到的直线，指明结果．无需写画法：
②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的 线．
（2）已知，如图3，，BE平分，CF平分．求证：（写出每步的依据）．
变式5.（2021·广东深圳市七年级期末）如图①，在长方形中，点在上，并且，分别以、为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中，则的度数为______度.
变式6. （2021·上海市七年级月考）已知，如图1，四边形，，点在边上，为边上一动点，过点作，交直线于点．（1）当时，求；
（2）当时，求；（3）如图3，将沿翻折使点的对应点落在边上，当时，请直接写出的度数，答：______．
动态角度2: 旋转问题
例1．（2021·湖南岳阳·七年级期末）如图，将一副三角板按如图所示放置，，，，且，则下列结论中：①；②若平分，则有；③将三角形绕点旋转，使得点落在线段上，则此时；④若，则．其中结论正确的选项有______．（写出所有正确结论的序号）
变式1．（2021·辽宁建昌·七年级期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），下列条件①∠BAD＝30°；②∠BAD＝60°；③∠BAD＝120°；④∠BAD＝150°中，能得到的CD∥AB的有__________．（填序号）

变式2．（2021·重庆·西南大学附中七年级期中）如图，△OAB为等腰直角三角形（∠A＝∠B＝45°，∠AOB＝90°），△OCD为等边三角形（∠C＝∠D＝∠COD＝60°），满足OC＞OA，△OCD绕点O从射线OC与射线OA重合的位置开始，逆时针旋转，旋转的角度为α（0°＜α＜360°），下列说法正确的是（ ）
A．当α＝15°时，DC∥AB
B．当OC⊥AB时，α＝45°
C．当边OB与边OD在同一直线上时，直线DC与直线AB相交形成的锐角为15°
D．整个旋转过程，共有10个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行
例2. （2021·浙江七年级期中）已知直线AB∥CD，点P、Q分别在AB、CD上，如图所示，射线PB按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按顺时针方向每秒1°旋转至QD停止，此时射线PB也停止旋转．（1）若射线PB、QC同时开始旋转，当旋转时间30秒时，PB'与QC'的位置关系为_____；（2）若射线QC先转45秒，射线PB才开始转动，当射线PB旋转的时间为_____秒时，PB′∥QC′．

变式3.（2021·江苏泰兴市月考）某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，主道路是平行，即PQ∥MN． 如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度． 若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动_______秒，两灯的光束互相平行．
变式4（2021.江苏镇江七年级期中）镇江市旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转；B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动12°，B灯每秒转动4°．B灯先转动12秒，A灯才开始转动．当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是 ．
例3.（2021.绵阳市七年级期中）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN=2：1．
（1）填空：∠BAN=______°；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD=120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
变式5.（2021·山东德州市七年级期中）如图，PQ∥MN，A、B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣5|+（b﹣1）2＝0．（友情提醒：钟表指针走动的方向为顺时针方向）
（1）a＝ ，b＝ ；（2）若射线AM、射线BQ同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线AM、射线BQ互相垂直．（3）若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动多少秒时，射线AM、射线BQ互相平行？
动态角度3：动点问题
例1.（2021·山西七年级期中）如图，射线AB∥CD，P为一动点，∠BAP与∠DCP的平分线AE与CE交于点E.(1)当P在线段AC上运动时（如图1）,即∠APC=180,则∠AEC＝______；
(2)当P运动到图2的位置时，猜想∠AEC与∠APC 的关系，并说明理由；
(3)当P运动到图3的位置时,（2）中的结论还成立吗?(不要求说明理由)
变式1.（2021.安徽合肥七年级期末）已知，直线，、分别是和上的动点，点为直线、之间任一点，且，则与之间的数量关系为______．
变式2.（2021·浙江湖州市月考）如图1，已知直线EF分别与直线相交于点平平分(本题可能用到的结论：三角形三个角之和为)
（1）求证：；（2）如图2，若平分交的延长线于点，且与的比为，求的度数．（3）如图3，若点是射线之间一动点，平分过点作于点，请猜想与的关系，并证明你的结论．

例2.（2021·达州市七年级期中）已知：如图所示，直线MN∥GH，另一直线交GH于A，交MN于B，且∠MBA＝80°，点C为直线GH上一动点，点D为直线MN上一动点，且∠GCD＝50°．
（1）如图1，当点C在点A右边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC的度数；（2）如图2，当点C在点A右边且点D在点B右边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC的度数；（3）当点C在点A左边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线所在直线交于点P，请直接写出∠BPC的度数，不说明理由．
变式3.（2021·重庆沙坪坝区期末）如图1，AB∥CD，直线AE分别交AB、CD于点A、E．点F是直线AE上一点，连结BF，BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，BP与EP交于点P．
（1）若点F是线段AE上一点，且BF⊥AE，求∠P的度数；
（2）若点F是直线AE上一动点（点F与点A不重合），请直接写出∠P与∠AFB之间的数量关系．
变式4.（2021·湖南益阳市期末）如图，，点为直线上一定点，为直线上的动点，在直线与之间且在线段的右方作点，使得．设为锐角)．
(1)求与的和； (2)当点在直线上运动时，试说明；
(3)当点在直线上运动的过程中，若平分，也恰好平分，请求出此时的值