北师大版数学七下高频考点突破练习第一章 整式的乘除 章末检测卷（2份，原卷版+解析版）

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本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·山东济宁学院附属中学）下列运算正确的是（ ）
A．（a3）4＝a12B．a3•a4＝a12C．a2+a2＝a4D．（ab）2＝ab2
【答案】A
【分析】利用幂的乘方的性质、同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、积的乘方的性质分别进行计算即可．
【详解】解：A、（a3）4=a12，故原题计算正确；B、a3•a4=a7，故原题计算错误；
C、a2+a2=2a2，故原题计算错误；D、（ab）2=a2b2，故原题计算错误；故选：A．
【点睛】本题主要考查幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方，关键是熟练掌握各计算法则．
2．（2021·河南嵩县·）电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB=210MB，1MB=210KB，1KB=210B．某视频文件的大小约为1GB，1GB等于（ ）
A．KB B．KB C．KB D．B
【答案】B
【分析】根据同底数幂的运算计算即可；
【详解】由题可得：1GB；故答案选B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法应用，准确计算是解题的关键．
3．（2021·江苏镇江市·八年级月考）若，则等于（ ）
A．2020B．2019C．2018D．－2020
【答案】C
【分析】将变形为，，代入即可求解．
【详解】解：∵，∴，，
∴
=2018．故选：C
【点睛】本题考查了根据已知代数式的值求新代数式的值，将已知条件适当变形，代入所求代数式求解是解题关键．
4．（2020·江苏无锡市·八年级期中）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如记=1+2+3+…+（n﹣1）+n，=（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知，则m的值是（ ）
A．﹣62B．﹣38C．﹣40D．﹣20
【答案】B
【分析】利用题中的新定义计算即可得到m的值．
【详解】根据题意得，
∵
∴n=5,即= x2＋x−6＋x2＋x−12＋x2＋x−20== 则m＝−38．故选：B．
【点睛】此题考查了整式的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（2021·重庆一中）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．b＞c＞aD．a＞c＞b
【答案】A
【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．
【详解】
∴ ∴a>b>c故选A
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，幂的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方的运算法则．
6．（2021·天津南开·八年级期末）已知，那么的值为（ ）．
A．5B．1C．10D．2
【答案】B
【分析】由题意易得，进而可得，然后问题可求解．
【详解】解：∵，∴，即，
∴，即，∴，∴；故答案为B．
【点睛】本题主要考查幂的乘方及积的乘方的逆用，熟练掌握幂的乘方及积的乘方是解题的关键．
7．（2021·湖北武汉·八年级期末）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD比AB大3时，S2﹣S1的值为（ ）
A．3aB．3bC．3a﹣bD．3b﹣a
【答案】B
【分析】利用割补法表示出和，然后作差，利用整式的混合运算法则进行化简即可得出结果．
【详解】解：∵，
，
∴
∵AD比AB大3，∴，∴．故选：B．
【点睛】本题考查列代数式和整式的混合运算，解题的关键是掌握利用割补法表示阴影部分面积以及整式的运算法则．
8．（2020·深圳市罗湖外语学校初中部期中）已知，则（ ）
A．1B．－1C．2D．0
【答案】B
【分析】将代入，计算即可得到结果．
【解析】将代入得：
，
∴．故选：B．
【点睛】本题考查代数式求值，应用特殊值代入求解是解题的关键．
9．（2021·郑州枫杨外国语学校八年级月考）已知（m﹣53）（m﹣47）＝25，则（m﹣53）2+（m﹣47）2的值为（ ）
A．136B．86C．36D．50
【答案】B
【分析】根据完全平方公式进行变形，可得出答案．
【详解】解：设a=m-53，b=m-47，则ab=25，a-b=-6，
∴a2+b2=（a-b）2+2ab=（-6）2+50=86，∴（m-53）2+（m-47）2=86，故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
10．（2020·重庆月考）已知实数m，n，p，q满足，，则（ ）
A．48B．36C．96D．无法计算
【答案】A
【分析】先利用单项式乘以多项式法则将要求值的多项式进行整理，将题目所给的有确定值的式子进行变形，得出所需要的式子的值，运用整体代入法既可求解．
【解析】解：，，
，，
，，
，
，
，故选：A．
【点睛】本题考查单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的综合运用，解题的关键是对条件所给的式子变形要有方向性和目的性，同时要掌握分组分解法对式子进行因式分解．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2021·湖南常德·七年级期末）若方程4x2+（m+1）x+1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则m的值为__．
【答案】-5或3
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【详解】解：∵4x2+（m+1）x+1可以写成一个完全平方式，
∴4x2+（m+1）x+1＝（2x±1）2＝4x2±4x+1，
∴m+1＝±4，解得：m＝-5或3，故答案为：-5或3．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键．
12．（2021·浙江）若，，且，则________．
【答案】±2
【分析】把27看成33，64看成43，看成，然后根据积的乘方（ab）n=anbn的逆用进行化简，底数都是12，根据指数相等求出m；把底数统一化成2，根据同底数幂的乘法法则可以求得n=3，然后把m，n的值代入得（x3）6=86，偶数次方相等，所以底数相等或互为相反数，从而求得x的值．
【详解】解：∵27m×64m=，∴33m•43m=，∴（3×4）3m=123，∴123m=123，∴3m=3，∴m=1；
∵128×512×64=2n+19，∴27×29×26=2n+19，∴27+9+6=2n+19，∴222=2n+19，∴n+19=22，∴n=3；
把m=1，n=3代入（3n-m）6=（x3）6得：（x3）6=86，∴x3=±8，∴x=±2．故答案为：±2．
【点睛】本题主要考查了幂的运算，考查学生的计算能力，解题时注意偶数次方相等，那么底数相等或互为相反数，不要漏解．
13．（2021·福建初二月考）若，则数的末位数字是_______．
【答案】6
【分析】将原式转化成，再结合平方差公式解题即可．
【解析】
的个位数是6
的个位数是6．故答案为：6．
【点睛】本题考查平方差公式、尾数特征等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
14．（2021·广东东莞市·湖景中学八年级月考）已知，则______．
【答案】3
【分析】根据完全平方公式求得的值，然后再来求的值．
【详解】解：，又，．故答案为：．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，解题的关键是熟记公式的几个变形公式．
15．（2021·绵阳市初三模拟）已知：，且则 ．
【答案】14
【解析】因为，所以，所以，所以a-b=0，a-c=0，b-c=0，所以a=b=c，又，所以6a=12，所以a=2，所以b=c=2，所以2+4+8=14．
16．（2021·浙江东阳·八年级期末）将16y2+1再加上一个整式，使它成为一个完全平方式，则加上的整式为______．
【答案】8y，-8y，64y4
【分析】因为a2±2ab+b2=（a±b）2，由16y2+1=（4y）2+1，①当a2=（4y）2，b2=1，则a=4y，b=1，即可得出±2ab的值，即可得出答案；②当2ab=16y2，b2=1，即可得出a的值，即可得出a2的值即可得出答案．
【详解】解：∵16y2+1=（4y）2+1，∴（4y）2+8y+1=（4y+1）2，
∴（4y）2-8y+1=（4y-1）2，∴（8y2）2+16y2+1=64y4+16y2+1=（8y2+1）2，故答案为：8y，-8y，64y4．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练应用完全平方公式进行求解是解决本题的关键．
17．（2021·浙江）我们知道，若（且），则．设．现给出三者之间的三个关系式：①；②；③；④．其中正确的是__________．
【答案】②③④
【分析】根据同底数幂的乘法公式即可求出m、n、p的关系为n=1+m，m=n-1，p=n+1，再分别判断各项．
【详解】解：∵5m=3，∴5n=15=5×3=5×5m=51+m，∴n=1+m，m=n-1，
∵5p=75=52×3=52+m，∴p=2+m，∴p=n+1，
n2-mp=（1+m）2-m（2+m）=1+m2+2m-2m-m2=1，故①错误，④正确；
m+p=n-1+n+1=2n，故②正确；m+2p=n-1+2（n+1）=3n+1，故③正确，故答案为：②③④．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法公式.
18．（2021·河南郑州·）有若干个大小形状完全相同的小长方形现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为35；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为102（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为
【答案】8
【分析】设出长方形的长和宽，根据两种拼图得出两个含有长、宽的等式，变形后得出答案．
【详解】解：设长方形的长为a，宽为b，由图1可得，（a+b）2-4ab=35，即a2+b2=2ab+35①，
由图2可得，（2a+b）（a+2b）-5ab=102，即a2+b2=51②，
由①②得，2ab+35=51，所以ab=8，即长方形的面积为8，故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，用代数式表示各个图形的面积，利用面积之间的关系得到答案是常用的方法．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021·陕西·七年级期末）计算：（1）（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）多项式除以单项式的法则：把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加即可；
（2）把看作是整体字母，再利用多项式除以单项式的法则进行除法运算，再利用完全平方公式进行整式的乘法运算即可.
【详解】解：（1）
（2）

【点睛】本题考查的是多项式除以单项式，完全平方公式的应用，掌握“多项式除以单项式的法则及整体法的运用”是解本题的关键.
20．（2021·江苏南京钟英中学）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题：（1）如果，求x的值；（2）如果，求x的值；
（3）若，，用含x的代数式表示y．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先,将底数都化为2，再利用同底数幂的乘除法法则计算；（2）利用积的乘方逆运算解答；
（3）利用等式的性质及幂的乘方逆运算将式子变形为，，即可得到x与y的关系式，由此得到答案．
【详解】解：（1）∵，∴，
∴，解得；
（2）∵，∴，
，，；
（3）∵，，∴，，
∴，∴．
【点睛】此题考查整式的乘法公式：同底数幂相乘、同底数幂相除、积的乘方以及幂的乘方的计算法则，熟记法则及其逆运算是解题的关键．
21．（2021·四川成都实外）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题：
（1）图2所表示的数学等式为_____________________；
（2）利用（1）得到的结论，解决问题: 若，求的值；
（3）如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，三点在同一直线上，连接,若两正方形的边长满足求阴影部分面积．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，另一种是大正方形的面积，可得等式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）利用（1）中的乘法公式，进行变形得出答案即可；（3）利用S阴影=正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积-三角形EGF的面积-三角形AED的面积求解．
【解析】（1）由图可得，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；故答案为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）由（1）可得：ab+bc+ac＝[(a+b+c)2−(a2+b2+c2)]= [122−60]=42；
（3）S阴影＝a2+b2− (a−b)a−b2
=a2+b2−a2+ab−b2= (a2+b2+ab)= [(a+b)2−ab]= [152−35]=95．
【点睛】此题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积．
22．（2021·镇江市外国语学校七年级月考）一般地，n个相同的因数a相乘；记为；如，此时；3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．（1）计算下列各对数的值：______；_______；_______；
（2）你能得到、、之间满足怎样的关系式：_______；
（3）由（2）的结果，请你归纳出、、之间满足的关系式：_________，
（4）根据幂的运算以及对数的含义验证（3）的结论．
【答案】（1）2，4，6；（2）lg24+lg216=lg264；（3）lgaM+lgaN=lga（MN）；（4）见解析
【分析】（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，不难找到规律：根据4×16=64，可判断lg24+lg216=lg264；
（3）由特殊到一般，得出结论：lgaM+lgaN=lga（MN）；
（4）首先可设lgaM=b1，lgaN=b2，再根据幂的运算法则：an•am=an+m以及对数的含义证明结论．
【详解】解：（1）∵22=4，∴lg24=2，∵24=16，∴lg216=4，∵26=64，∴lg264=6；
（2）∵4×16=64，∴lg24+lg216=lg264；
（3）由题意可得：lgaM+lgaN=lga（MN）；
（4）证明：设lgaM=x，lgaN=y，则ax=M，ay=N，
∴MN=ax•ay=ax+y，∴x+y=lga（MN）即lgaM+lgaN=lga（MN）．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法应用，本题是开放性的题目，难度较大．借考查对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．
23．（2021·青岛经济技术开发区第四中学七年级月考）观察：已知．
…
（1）猜想： ；
（2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：
① ；② ；
（3）拓广：① ；
②判断的值的个位数是几？并说明你的理由．
【答案】（1）；（2）① ；② ；（3）① ；② 个位上数字是7，理由见解析．
【分析】（1）根据一系列等式总结出规律即可；（2）① 令，代入上面规律计算即可；
（2）② 将式子变形为：，计算即可；
（3）① 提取，将原式变形为：，按照规律计算即可；
（3）② 由，…结果是以2、4、8、6，，的个位数字为8，进一步得到结果．
【详解】解：（1）
（2）①==
② ==
（3）①===
② ==
∵…结果是以2、4、8、6循环
∴ ∴的个位数字为8，∴的个位数字为7
【点睛】本题考查整式混合运算的应用，找出本题的规律是解题关键．
24．（2021·江苏丹阳·八年级期中）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”
恒等变形是代数式求值的一个很重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式例如：当时，求的值．
为解答这题，若直接把代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．
方法一：将条件变形，因，得．再把所求的代数式变形为关于的表达式，
可得原式．
方法二：先将条件化成整式，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．
由，可得，即，．
原式．
请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：
（1）当时，求的值；（2）当时，求的值．
【答案】（1）0；（2）1
【分析】（1）根据题意，利用题目中的方法，把化为，然后进行计算，即可得到答案；
（2）根据题意，把化为，然后进行计算，即可得到答案．
【详解】解：（1）∵，∴
∴；
（2）∵，∴
∴；
【点睛】本题考查了整式的加减乘除运算，整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行化简．
25．（2021·海口市第十四中学八年级月考）数学课上，我们知道可以用图形的面积来解释一些代数恒等式，如图1可以解释完全平方公式：．
（1）如图2（图中各小长方形大小均相等），请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积（不化简）：
方法1：_________________；方法2∶_________________．
（2）由（1）中两种不同的方法，你能得到怎样的等式?
（3）①已知，，请利用（2）中的等式，求的值．
②已知，，请利用（2）中的等式，求的值．
【答案】（1），；（2）；（3）①；②1
【分析】（1）根据阴影部分的面积=4个小长方形的面积=大正方形的面积-小正方形的面积即可解答；
（2）根据（1）求得的结果，利用两种方法求得的阴影面积相等即可解答；
（3）①根据即可得到，由此求解即可；
②根据可得，由此求解即可．
【详解】解：（）方法1：阴影部分面积为4个相同的小长方形的面积之和，∴阴影部分面积=；
方法2：阴影部分面积=大正方形的面积-小正方形面积
∴阴影部分面积=．故答案为：，；
（）∵（1）中两种方法求得的阴影部分面积相等，∴；
（）①∵，，，
∴，∴；
②，，，
∴，∴．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据阴影部分的面积与大正方形的面积-小正方形的面积相等列式计算是解题的关键．
26．（2021·浙江东阳·七年级期末）阅读理解：我们一起来探究代数式x2+2x+5的值，
探究一：当x＝1时，x2+2x+5的值为 ；当x＝2时，x2+2x+5的值为 ，可见，代数式的值因x的取值不同而变化．
探究二：把代数式x2+2x+5进行变形，如：x2+2x+5＝x2+2x+l+4＝（x+1）2+4，可以看出代数式x2+2x+的最小值为 ，这时相应的x＝ ．
根据上述探究，请解答：（1）求代数式﹣x2﹣8x+17的最大值，并写出相应x的值．
（2）把（1）中代数式记为A，代数式9y2+12y+37记为B，是否存在，x，y的值，使得A与B的值相等？若能，请求出此时x•y的值，若不能，请说明理由．
【答案】探究一：8，13；探究二：4，-1；（1）当x=-4时，代数式-x2-8x+17有最大值是33；（2）
【分析】探究一：把x=1和x=2分别代入代数式x2+2x+5中，再进行计算即可得出答案；
探究二：先将代数式x2+2x+5运用完全平方公式变形后得：（x+1）2+4，可得结论；
（1）将代数式-x2-8x+17运用完全平方公式变形后可得结论；
（2）存在A=B，列式可得x和y值，相乘可得x•y的值．
【详解】解：探究一：当x=1时，x2+2x+5=12+2+5=8；若x=2，x2+2x+5=22+2×2+5=13；故答案为：8，13；
探究二：x2+2x+5=（x2+2x+1）+4=（x+1）2+4，
∵（x+1）2是非负数，∴这个代数式x2+2x+5的最小值是4，此时x=-1．故答案为：4，-1；
（1）∵-x2-8x+17=-（x+4）2+33，∴当x=-4时，代数式-x2-8x+17有最大值是33；
（2）∵A=-x2-8x+17，B=9y2+12y+37，
当A=B时，则B-A=0，∴（9y2+12y+37）-（-x2-8x+17）=0，
9y2+12y+4+x2+8x+16=0，（3y+2）2+（x+4）2=0，∴3y+2=0，x+4=0，
∴x=-4，y=，∴x•y=-4×（）=．
【点睛】此题考查了完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的形式进行解答．