初中数学北师大版（2024）八年级下册5 一元一次不等式与一次函数巩固练习

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【题型1 由图象确定一元一次不等式的解集】
【例1】（2021秋•靖江市期末）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点（﹣1，0），则不等式k（x﹣2）+b＞0的解集是（ ）
A．x＞﹣2B．x＞﹣1C．x＞0D．x＞1
【分析】先把（﹣1，0）代入y＝kx+b得b＝k，则k（x﹣2）+b＞0化为k（x﹣2）+k＞0，然后解关于x的不等式即可．
【解答】解：把（﹣1，0）代入y＝kx+b得，﹣k+b＝0，
解得b＝k，
则k（x﹣2）+b＞0化为k（x﹣2）+k＞0，
即k（x﹣2+1）＞0，
而k＞0，
所以x﹣2+1＞0，
解得x＞1．
故选：D．
方法二：
一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象向右平移2个单位得y＝k（x﹣2）+b，
∵一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点（﹣1，0），
∴一次函数y＝k（x﹣2）+b（k＞0）的图象过点（1，0），
由图象可知，当x＞1时，函数y＝k（x﹣2）+b＞0，
∴不等式k（x﹣2）+b＞0的解集是x＞1，
故选：D．
【变式1-1】（2021秋•无锡期末）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式2kx﹣b＞0的解集为（ ）
A．xB．xC．x＜3D．x＞﹣3
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征得到b＝﹣3k，k＜0，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，一次函数y＝kx+b的图象经过（3，0），k＜0，
∴3k+b＝0，
∴b＝﹣3k，
∴不等式可化为：2kx+3k＞0，
解得x，
故选：A．
【变式1-2】（2021秋•常州期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（1，0），则关于x的不等式x（kx+b）＞0的解集是（ ）
A．x＞0B．x＜0C．x＞1或x＜0D．x＞1或x＜1
【分析】由题意不等式x（kx+b）＞0，则或，根据函数的图象与x轴的交点为（1，0）进行解答即可．
【解答】解：∵不等式x（kx+b）＞0，
∴或，
∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（1，0），
由图象可知，当x＞1时，y＞0；当x＜1时，y＜0，
∴关于x的不等式x（kx+b）＞0的解集是x＞1或x＜0．
故选：C．
【变式1-3】（2021•陕西模拟）如图，已知一次函数y＝mx+n的图象经过点P（﹣2，3），则关于x的不等式mx+m+n＜3的解集为（ ）
A．x＞﹣3B．x＜﹣3C．x＞﹣2D．x＜﹣2
【分析】由一次函数y＝mx+n的图象经过点P（﹣2，3）可知，一次函数的图象向左平移一个单位经过点（﹣3，3），然后根据图象即可得到不等式mx+m+n＜3的解集．
【解答】解：∵一次函数y＝mx+n的图象经过点P（﹣2，3），
∴一次函数y＝m（x+1）+n的图象经过点（﹣3，3），
由图象可知，关于x的不等式mx+m+n＜3的解集为x＞﹣3．
故选：A．
【题型2 一次函数的与一元一次不等式（多结论问题）】
【例2】（2021秋•滨湖区期末）如图，已知直线y＝ax+2与直线y＝mx+b的交点的横坐标是﹣2．根据图象有下列四个结论：①a＞0；②b＜0；③方程ax+2＝mx+b的解是x＝﹣2；④不等式ax﹣b＞mx﹣2的解集是x＞﹣2．其中正确的结论个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据一次函数的图象和性质可得a＞0；b＜0；直线y＝ax+2与直线y＝mx+b的交点的横坐标是﹣2，即方程ax+2＝mx+b的解为x＝﹣2；当x＞﹣2时，直线y＝ax+2在直线y＝mx+b的上方，即不等式ax﹣b＞mx﹣2的解集是x＞﹣2．
【解答】解：由图象可知，a＞0，b＜0，故①②正确；
直线y＝ax+2与直线y＝mx+b的交点的横坐标是﹣2，即方程ax+2＝mx+b的解为x＝﹣2，故③正确；
当x＞﹣2时，直线y＝ax+2在直线y＝mx+b的上方，即不等式ax﹣b＞mx﹣2的解集是x＞﹣2，故④正确；
故选：D．
【变式2-1】（2021春•沂水县期末）一次函数y1＝kx+b与y2＝mx+n的图象如图所示，则以下结论：①y1随x的增大而增大；②m＞0；③n＞0；④不等式mx+n≥kx+b的解集是x≤2．正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据一次函数的性质可对①②③直接进行判断；结合函数图象，根据直线y2＝mx+n不在直线y1＝kx+b的下方所对应的自变量的范围对④进行判断．
【解答】解：一次函数y1＝kx+b的图象经过第一、三、四象限，y1随x的增大而增大，所以①正确；
一次函数y2＝mx+n的图象经过第一、二、四象限，则m＜0，n＞0，所以②错误；③正确；
不等式mx+n≥kx+b的解集是x≤2，所以④正确．
故选：C．
【变式2-2】（2021春•高明区期末）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而增大；②函数y＝ax+d不经过第二象限；③不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4；④a﹣c（d﹣b），其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④
【解题思路】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答过程】解：由图象可得，
对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而增大，故①正确；
a＞0，d＞0，则函数y＝ax+d经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故②不正确；
由ax﹣d≥cx﹣b可得ax+b≥cx+d，故不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4，故③正确；
4a+b＝4c+d可以得到a﹣c（d﹣b），故④正确；
故选：B．
【变式2-3】（2021春•中山市期末）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：
①对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而减小；
②函数y＝ax+d的图象不经过第一象限；
③不等式ax+b＞cx+d的解集是x＞3；
④d﹣b＝3（a﹣c）．
其中正确的有（ ）
A．①③B．②③④C．①②④D．②③
【解题思路】仔细观察图象：①根据函数图象直接得到结论；
②观察函数图象可以直接得到答案；
③以两条直线的交点为分界，哪个函数图象在上面，则哪个函数值大；
④根据两直线交点可以得到答案．
【解答过程】解：由图象可得：对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而减小，故①说法正确；
由于a＜0，d＜0，所以函数y2＝ax+d的图象经过第二，三，四象限，即不经过第一象限，故②说法正确，
由图象可得当x＜3时，一次函数y1＝ax+b图象在y2＝cx+d的图象上方，
∴ax+b＞cx+d的解集是x＜3，故③说法不正确；
∵一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象的交点的横坐标为3，
∴3a+b＝3c+d
∴3a﹣3c＝d﹣b，
∴d﹣b＝3（a﹣c）．故④说法正确，
故选：C．
【题型3 一次函数的与一元一次不等式（取值范围）】
【例3】（2021春•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y1＝x+1与直线l2：y2＝2x﹣2交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围；
（3）已知直线l3：y3＝kx+1，当x＜3时，对于x的每一个值，都有y3＞y2，直接写出k的取值范围．
【解题思路】（1）由直线l：y1＝x+1与直线l2：y2＝2x﹣2交于点A，故可联立方程组：得，故A（3，4）．
（2）根据函数图象，可知：当y1＞y2时，x＜3．
（3）当x＜3时，对于x的每一个值，都有y3＞y2，故当x＜3，y3﹣y2＞0恒成立，得1≤k≤2．
【解答过程】解：（1）由题意得：
解得：
∴A（3，4）．
（2）如图，当y1＞y2时，x＜3．
（3）当x＜3，y3＞y2恒成立，则x＜3，y3﹣y2＞0恒成立．
∵y3＝kx+1，y2＝2x﹣2，
∴y3﹣y2＝（kx+1）﹣（2x﹣2）＝（k﹣2）x+3．
∴若x＜3，y3﹣y2＞0恒成立，则[（k﹣2）x+3]min＞0．
当k﹣2＝0，即k＝2，[（k﹣2）x+3]min＝3＞0．
当k﹣2＞0，即k＞2，[（k﹣2）x+3]min不存在．
当k﹣2＜0，即k＜2，[（k﹣2）x+3]min＝3（k﹣2）+3≥0，故k≥1．
综上：1≤k≤2．
【变式3-1】（2021春•茌平区期末）已知：如图一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）若一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积．
（3）结合图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围．
【解题思路】（1）将两个函数的解析式联立得到方程组，解此方程组即可求出点A的坐标；
（2）先根据函数解析式求得B、C两点的坐标，可得BC的长，再利用三角形的面积公式可得结果；
（3）根据函数图象以及点A坐标即可求解．
【解答过程】解：（1）解方程组，得，
所以点A坐标为（1，﹣3）；
（2）当y1＝0时，﹣x﹣2＝0，x＝﹣2，则B点坐标为（﹣2，0）；
当y2＝0时，x﹣4＝0，x＝4，则C点坐标为（4，0）；
∴BC＝4﹣（﹣2）＝6，
∴△ABC的面积6×3＝9；
【变式3-2】（2021春•海珠区期末）已知一次函数y1＝ax+b的图象交x轴和y轴于点B和D；另一个一次函数y2＝bx+a的图象交x轴和y轴于点C和E，且两个函数的图象交于点A（1，4）
（1）当a，b为何值时，y1和y2的图象重合；
（2）当0＜a＜4，且在x＜1时，则y1＞y2成立．求b的取值范围；
【解题思路】（1）把A（1，4）代入y1＝ax+b求得a+b＝4，得到b＝4﹣a，于是得到结论；
（2）根据题意列不等式即可得到结论；
【解答过程】解：（1）∵y1＝ax+b的图象过点A（1，4），
∴a+b＝4，
∴b＝4﹣a，
∴y1＝ax+（4﹣a），y2＝（4﹣a）x+a，
∵y1和y2的图象重合，
∴a＝4﹣a，
∴a＝2，b＝2；
即当a＝2，b＝2时，y1和y2的图象重合；
（2）∵a+b＝4，如图1，
∴a＝4﹣b，
∴y1＝（4﹣b）x+b，
y2＝bx+（4﹣b），
∵0＜a＜4，0＜4﹣b＜4且x＜1时，y1＞y2成立，
∴由图象得4﹣b＜b，
∴2＜b＜4；
【变式3-3】（2020春•赣县区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，4），且与正比例函数yx的图象交于点B（a，2）．
（1）求a的值及一次函数y＝kx+b的解析式；
（2）若一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点C，且正比例函数yx的图象向下平移m（m＞0）个单位长度后经过点C，求m的值；
（3）直接写出关于x的不等式0x＜kx+b的解集．
【解题思路】（1）先确定B的坐标，然后根据待定系数法求解析式；
（2）先求得C的坐标，然后根据题意求得平移后的直线的解析式，把C的坐标代入平移后的直线的解析式，即可求得M的值；
（3）找出直线yx落在y＝kx+b的下方且在x轴上方的部分对应的x的取值范围即可．
【解答过程】解：（1）∵正比例函数yx的图象经过点B（a，2），
∴2a，解得，a＝﹣3，
∴B（﹣3，2），
∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，4），B（﹣3，2），
∴，解得，
∴一次函数y＝kx+b的解析式为y＝2x+8；
（2）∵一次函数y＝2x+8的图象与x轴交于点C，
∴C（﹣4，0），
∵正比例函数yx的图象向下平移m（m＞0）个单位长度后经过点C，
∴平移后的函数的解析式为yx﹣m，
∴0（﹣4）﹣m，解得m；
（3）∵一次函y＝kx+b与正比例函数yx的图象交于点B（﹣3，2），
且一次函数y＝2x+8的图象与x轴交于点C（﹣4，0），
∴关于x的不等式0x＜kx+b的解集是﹣3＜x＜0．
【题型4 一次函数与一元一次不等式（面积问题）】
【例4】（2021春•诸城市期末）如图，直线y＝kx+b分别与x轴、y轴交于点A（﹣2，0），B（0，3）；直线y＝1﹣mx分别与x轴交于点C，与直线AB交于点D，已知关于x的不等式kx+b＞1﹣mx的解集是x．
（1）分别求出k，b，m的值；
（2）求S△ACD．
【解题思路】（1）首先利用待定系数法确定直线的解析式，然后根据关于x的不等式kx+b＞1﹣mx的解集是x得到点D的横坐标为，再将x代入yx+3，得：y，将x，y代入y＝1﹣mx求得m＝1即可；
（2）先确定直线与x轴的交点坐标，然后利用三角形的面积公式计算即可．
【解答过程】解：（1）∵直线y＝kx+b分别与x轴、y轴交于点A（﹣2，0），B（0，3），
，
解得：k，b＝3，
∵关于x的不等式kx+b＞1﹣mx的解集是x，
∴点D的横坐标为，
将x代入yx+3，得：y，
∴D（，），
将x，y代入y＝1﹣mx，
解得：m＝1；
（2）如图，过点D作DH⊥AC于H，则DH
对于y＝1﹣x，令y＝0，得：x＝1，
∴点C的坐标为（1，0），
∴S△ACD•AC•DH[1﹣（﹣2）]．
【变式4-1】（2021春•东辽县期末）已知直线y＝kx+5交x轴于A，交y轴于B且A坐标为（5，0），直线y＝2x﹣4与x轴于D，与直线AB相交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+5的解集；
（3）求△ADC的面积．
【解题思路】（1）根据点A的坐标利用待定系数法可求出直线AB的解析式，联立直线AB、CD的解析式成方程组，通过解方程组即可求出点C的坐标；
（2）根据直线AB、CD的上下位置关系结合点C的坐标，即可得出不等式2x﹣4＞kx+5的解集；
（3）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△ADC的面积．
【解答过程】解：（1）∵直线y＝kx+5经过点A（5，0），
∴5k+5＝0，
解得：k＝﹣1，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5．
联立直线AB、CD的解析式成方程组，
，解得：，
∴点C的坐标为（3，2）．
（2）观察函数图象可知：当x＞3时，直线y＝2x﹣4在直线y＝﹣x+5的上方，
∴不等式2x﹣4＞kx+5的解集为x＞3．
（3）当y＝2x﹣4＝0时，x＝2，
∴点D的坐标为（2，0），
∴S△ACD（xA﹣xD）•yC（5﹣2）×2＝3．
【变式4-2】（2020春•宁化县校级月考）如图，直线l1：y＝2x与直线l2：y＝kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P（a，2）．
（1）求出不等式2x≤kx+3的解集；
（2）求出△OAP的面积．
【解题思路】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征先求出a的值，然后观察函数图象，写出直线y＝kx+3在直线y＝2x上方所对应的自变量的取值范围即可；
（2）先求出直线l2的解析式，再求出A点坐标，然后利用三角形面积公式求解．
【解答过程】解：（1）把P（a，2）代入y＝2x得2a＝2，解得a＝1，则P（1，2），
当x≤1时，2x≤kx+3，
所以不等式2x≤kx+3的解集为x≤1；
（2）把P（1，2）代入y＝kx+3得k+3＝2，解得k＝﹣1，
所以直线l2的解析式为y＝﹣x+3，当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝3，则A（3，0），
所以△OAP的面积2×3＝3．
【变式4-3】已知一次函数y1＝﹣2x﹣3与y2x+2．
（1）在同一平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
（2）根据图象，不等式﹣2x﹣3x+2的解集为 x＜﹣2 ；
（3）求两图象和y轴围成的三角形的面积．
【解题思路】（1）先求出直线y1＝﹣2x﹣3，y2x+2与x轴和y轴的交点，再画出两函数图象即可；
（2）直线y1＝﹣2x﹣3的图象落在直线y2x+2上方的部分对应的x的取值范围就是不等式﹣2x﹣3x+2的解集；
（3）根据三角形的面积公式求解即可．
【解答过程】解：（1）函数y1＝﹣2x﹣3与x轴和y轴的交点分别是（﹣1.5，0）和（0，﹣3），
y2x+2与x轴和y轴的交点分别是（﹣4，0）和（0，2），
其图象如图：
（2）观察图象可知，函数y1＝﹣2x﹣3与y2x+2交于点（﹣2，1），
当x＜﹣2时，直线y1＝﹣2x﹣3的图象落在直线y2x+2的上方，即﹣2x﹣3x+2，
所以不等式﹣2x﹣3x+2的解集为x＜﹣2；
故答案为x＜﹣2；
（3）∵y1＝﹣2x﹣3与y2x+2与y轴分别交于点A（0，﹣3），B（0，2），
∴AB＝5，
∵y1＝﹣2x﹣3与y2x+2交于点C（﹣2，1），
∴△ABC的边AB上的高为2，
∴S△ABC5×2＝5．
【题型5 一次函数的与一元一次不等式（求点的坐标）】
【例5】如图，直线y＝kx+b与坐标轴相交于点M（3，0），N（0，4），且MN=5.
（1）求直线MN的解析式；
（2）根据图象，写出不等式kx+b≥0的解集；
（3）若点P在x轴上，且点P到直线y＝kx+b的距离为，直接写出符合条件的点P的坐标．
【解题思路】（1）把点M、N的坐标分别代入一次函数解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组求得它们的值；
（2）直线y＝kx+b在x轴及其上方的部分对应的x的取值范围即为所求；
（3）作△OMN的高OA．根据三角形的面积公式求出OA，则点P的坐标是（0，0）；在x轴上作O关于M的对称点为（6，0），易得（6，0）到直线y＝kx+b的距离也为．
【解答过程】解：（1）∵直线y＝kx+b与坐标轴相交于点M（3，0），N（0，4），
所以，
解得：，
∴直线MN的解析式为：yx+4；
（2）根据图形可知，当x≤3时，y＝kx+b在x轴及其上方，即kx+b≥0，
则不等式kx+b≥0的解集为x≤3；
（3）如图，作△OMN的高OA．
∵S△OMNMN•OAOM•ON，
∴OA，
∴点P的坐标是（0，0）；
在x轴上作O关于M的对称点为（6，0），易得（6，0）到直线y＝kx+b的距离也为，
所以点P的坐标是（0，0）或（6，0）．
【变式5-1】（2021春•顺德区期末）一次函数y1＝kx+b和y2＝﹣4x+a的图象如图所示，且A（0，4），C（﹣2，0）．
（1）由图可知，不等式kx+b＞0的解集是 x＞﹣2 ；
（2）若不等式kx+b＞﹣4x+a的解集是x＞1．
①求点B的坐标；
②求a的值．
【解题思路】（1）根据函数图象和题意可以直接写出不等式kx+b＞0的解集；
（2）①由题意可以求得k、b的值，然后将x＝1代入y1＝kx+b即可求得点B的坐标；
②根据点B也在函数y2＝﹣4x+a的图象上，从而可以求得a的值．
【解答过程】解：（1）∵A（0，4），C（﹣2，0）在一次函数y1＝kx+b上，
∴不等式kx+b＞0的解集是x＞﹣2，
故答案为：x＞﹣2；
（2）①∵A（0，4），C（﹣2，0）在一次函数y1＝kx+b上，
∴，得，
∴一次函数y1＝2x+4，
∵不等式kx+b＞﹣4x+a的解集是x＞1，
∴点B的横坐标是x＝1，
当x＝1时，y1＝2×1+4＝6，
∴点B的坐标为（1，6）；
②∵点B（1，6），
∴6＝﹣4×1+a，得a＝10，
即a的值是10．
【变式5-2】（2020秋•南京期末）已知直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4）．
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）若直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；
（3）根据图象，直接写出当x在什么范围内，不等式2x﹣4＞kx+b．
【解题思路】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）解两个函数解析式组成方程组即可求解；
（3）关于x的不等2x﹣4＞kx+b的解集就是函数y＝kx+b的图象在下边的部分自变量的取值范围．
【解答过程】解：（1）根据题意得，
解得，
则直线AB的解析式是y＝﹣x+5；
（2）根据题意得，
解得：，
则C的坐标是（3，2）；
（3）根据图象可得不等式的解集是x＞3．
【变式5-3】在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+1与y轴交于点C，直线y＝x+k（k≠0）与y轴交于点A，与直线y＝﹣2x+1交于点B，设点B的横坐标为﹣2．
（1）求点B的坐标及k的值；
（2）求直线y＝﹣2x+1、直线y＝x+k与y轴所围成的△ABC的面积；
（3）根据图象直接写出不等式﹣2x+1＞x+k的解集．
【解题思路】（1）对于y＝﹣2x+1，计算自变量为﹣2时的函数值可得到B点坐标，然后把B点坐标代入y＝x+k可得到k的值；
（2）先确定两直线与y轴的交点A、C的坐标，然后利用三角形面积公式求解；
（3）观察函数图象，写出直线y＝﹣2x+1在直线y＝x+k上方所对应的自变量的范围即可．
【解答过程】解：（1）当x＝﹣2时，y＝﹣2×（﹣2）+1＝5，则B（﹣2，5）．
把B（﹣2，5）代入y＝x+k得﹣2+k＝5，解得k＝7；
（2）当x＝0时，y＝﹣2x+1＝1，则C（0，1）；
当x＝0时，y＝x+7＝7，则A（0，7）
所以AC＝7﹣1＝6，
所以S△ABC6×2＝6；
x＜﹣2．
【题型6 一次函数的与一元一次不等式（图象问题）】
【例6】（2021春•开封期末）某同学用学习一次函数时积累的经验和方法研究函数y＝|x|的图象和性质，并解决问题：
（1）完成下列步骤，画出函数y＝|x|的图象．
①列表、填空：
②描点．
③连线．
（2）观察函数图象，写出该函数的两条性质：
① 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大 ；
② 当x＝0时，函数有最小值0（答案不唯一） ．
（3）①在（1）中的平面直角坐标系中，再画出一次函数y的图象；
②结合图象，直接写出不等式|x|的解集为 ﹣1＜x＜2 ．
【分析】（1）把x＝﹣2，1分别代入y＝|x|，求出对应的函数值即可填表，然后画出函数y＝|x|的图象；
（2）根据图象得出函数性质即可（答案不唯一）；
（3）①根据一次函数的性质画出函数y的图象即可；
②根据图象，写出直线y落在y＝|x|的图象上方的部分对应的自变量的取值范围即可．
【解答】解：（1）①∵y＝|x|，
∴当x＝﹣2时，y＝2，当x＝1时，y＝1，
②和③如右图所示．
故答案为：2，1；
（2）由图象可得，
①当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大．
②当x＝0时，函数有最小值0．
故答案为：当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＝0时，函数有最小值0（答案不唯一）；
（3）①函数y的图象如右图所示．
②由图象可得，
不等式|x|的解集为﹣1＜x＜2，
故答案为：﹣1＜x＜2．
【变式6-1】（2021秋•亭湖区期末）函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们对函数y＝2|x+1|﹣x﹣2展开探索，请补充完以下探索过程：
（1）列表：
直接写出m、n的值：m＝ 5 ，n＝ 2 ；
（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象．
（3）结合图象填空：当x≤﹣1时，y随x的增大而 减小 （填写“增大”或“减小”）；
（4）已知函数yx+4的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式2|x+1|﹣x﹣2x+4的解集 ﹣3≤x≤3 ．
【分析】（1）把x＝﹣3、2分别代入y＝2|x+1|﹣x﹣2即可求得m、n的值；
（2）描点连线即可作出函数图象即可；
（3）观察函数图象，即可得出当x≤﹣1时，y随x的增大而减小，
（4）观察函数图象即可求解．
【解答】解：（1）把x＝﹣3代入y＝2|x+1|﹣x﹣2得，y＝5；
把x＝2代入y＝2|x+1|﹣x﹣2得，y＝2；
∴m＝5，n＝2，
故答案为：5，2；
（2）描点连线作出如下图所示函数图象，
（3）观察图象，当x≤﹣1时，y随x的增大而减小，
故答案为：减小；
（4）从图上看，两个函数的交点为（﹣3，5）、（3，3），
故不等式2|x+1|﹣x﹣2x+4的解集为：﹣3≤x≤3．
【变式6-2】（2021春•九龙坡区期末）在函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数y|x|x+3的性质及其应用的部分过程．
观察下表，请按要求完成下列各小题．
（1）表中：a＝ 2 ，b＝ ，c＝ ；
（2）在给出的图中补全该函数的大致图象，并根据这个函数图象写出该函数的一条性质： x＞0时，y随x的增大而减小（x≤0时，y随x的增大而增大，性质不唯一，合理即可） ；
（3）已知函数yx﹣2的图象如图所示，请你根据此函数的图象，直接写出不等式x﹣2|x|x+3
的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
【分析】（1）把x＝2，x＝3，x＝5分别代入函数解析式，求出a，b，c；
（2）从增减性，函数值等方面分析性质，答案不唯一，合理即可；
（3）结合函数图象，找到两个函数的交点，再写出不等式的解集．
【解答】解：（1）∵当x＝2时，y＝2，当x＝3时，y，当x＝5时，y，
∴a＝2，b，c．
故答案为：2，，．
（2）函数图象如图所示，
性质：x＞0时，y随x的增大而减小；
当x≤0时，y随x的增大而增大；
答案不唯一，合理即可．
（3）由图象可知，函数y|x|x+3与函数yx﹣2交点分别在﹣2～﹣1和4～5之间，
∴不等式x﹣2|x|x+3的解集为：x＜﹣1.5或x＞4.3．
【变式6-3】（2020春•青岛期末）【问题提出】：如何解不等式|x﹣1|+|x﹣3|＞x+2？
预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题．
图①中给出了函数y＝x+1和y＝2x+3的图象，观察图象，我们可以得到：
当x＞﹣2时，函数y＝2x+3的图象在y＝x+1图象上方，由此可知：不等式2x+3＞x+1的解集为 x＞﹣2 ．
预备知识2：函数y＝|x|，称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号．比如化简|x﹣1|+|x﹣3|时，可令x﹣1＝0和x﹣3＝0，分别求得x＝1，x＝3（称1，3分别是|x﹣1|和|x﹣3|的零点值），这样可以就x＜1，1≤x＜3，x≥3三种情况进行讨论：
（1）当x＜1时，|x﹣1|+|x﹣3|＝﹣（x﹣1）﹣（x﹣3）＝4﹣2x；
（2）当1≤x＜3时，|x﹣1|+|x﹣3|＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2；
（3）当x≥3时，|x﹣1|+|x﹣3|＝（x﹣1）+（x﹣3）＝2x﹣4；
所以|x﹣1|+|x﹣3|就可以化简为．
预备知识3：函数y＝b（b为常数）称为常数函数，其图象如图③所示．
【知识迁移】：
如图④，直线y＝x+1与直线y＝ax+b相交于点A（m，3），则关于x的不等式x+1≤ax+b的解集是 x≤2 ．
【问题解决】：
结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式|x﹣1|+|x﹣3|＞x+2．在平面直角坐标系内作出函数y＝|x﹣1|+|x﹣3|的图象，如图⑤．在同一平面直角坐标系内再作出直线y＝x+2的图象，如图⑥，可以发现函数y＝|x﹣1|+|x﹣3|与y＝x+2的图象有两个交点，这两个交点坐标分别是 （，） ， （6，8） ；通过观察图象，便可得到不等式|x﹣1|+|x﹣3|＞x+2的解集．这个不等式的解集为 x或x＞6 ．
【分析】问题提出：观察图象即可得出结论；
知识迁移：根据点在函数图象上满足函数关系式成立首先求出m的值，再结合图象即可得出关于x的不等式x+1≤ax+b的解集；
问题解决：画出函数y＝|x﹣1|+|x﹣3|和y＝x+2的图象，求出交点坐标，结合函数图象的位置即可解决问题．
【解答】解：【问题提出】∵当x＞﹣2时，函数y＝2x+3的图象在y＝x+1的图象的上方，
∴不等式2x+3＞x+1的解集为：x＞﹣2，
故答案为：x＞﹣2；
【问题迁移】∵点A（m，3）在y＝x+1上，
∴m+1＝3，解得，m＝2，
∴A（2，3），
∵当x≤2时，直线y＝ax+b的图象在y＝x+1的图象的上方，
∴不等式ax+b≥x+1，即x+1≤ax+b的解集为：x≤2，
故答案为：x≤2；
【问题解决】设y＝|x﹣1|+|x﹣3|，根据题意可得，
y＝|x﹣1|+|x﹣3|，
由函数图象得，y＝4﹣2x与y＝x+2有交点，则有：
，
解得，，
y＝2x﹣4与y＝x+2有交点，则有：
，
解得，，
∴y＝|x﹣1|+|x﹣3|与y＝x+2的两个交点坐标分别为（，）；（6，8），
由函数图象可知，当x时，y＝|x﹣1|+|x﹣3|的图象在y＝x+2上方，当x＞6时，y＝|x﹣1|+|x﹣3|的图象在y＝x+2上方，
故不等式|x﹣1|+|x﹣3|＞x+2的解集为x或x＞6．
故答案为：x或x＞6． x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
2
1
0
1
2
…
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
11
8
m
2
﹣1
0
1
n
3
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
6
…
y|x|x+3
…



3

a
b
1
c
0
…