初中数学17.1 一元二次方程练习

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一、单选题(共40分)
1．(本题4分)（2022·江苏镇江·九年级期末）下列方程中，有实数根的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分别计算出每个方程根的判别式的值，再进一步判断即可．
【详解】
解：A．此选项方程根的判别式Δ=02-4×1×1=-4＜0，此方程没有实数根；
B．此选项方程根的判别式Δ=12-4×1×1=-3＜0，此方程没有实数根；
C．此选项方程根的判别式Δ=（-1）2-4×1×1=-3＜0，此方程没有实数根；
D．此选项方程根的判别式Δ=32-4×1×1=5＞0，此方程有两个不相等的实数根；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．
2．(本题4分)（2022·河南金水·九年级期末）关于x的一元二次方程﹣x2+kx+3＝0根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不同的实数根B．有两个相同的实数根
C．没有实数根D．无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用一元二次方程根的判别式即可得．
【详解】
解：此方程根的判别式为，
则此方程有两个不同的实数根，
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
3．(本题4分)（2021·广东英德·二模）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根的判别式直接求解即可．
【详解】
解：由题意可知：，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
4．(本题4分)（2022·福建长乐·九年级期末）方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．无法判断
【答案】B
【解析】
【分析】
根据可知或，进而求出x的取值即可．
【详解】
解：∵，
∴，，
∴，，
故方程由两个不相等的实数根，
故选：B．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，能够选用合适的方法快速解一元二次方程是解决本题的关键．
5．(本题4分)（2021·黑龙江·牡丹江四中九年级阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则化简的结果为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据有两个不相等的实数根得到Δ＞0，即4﹣4×（﹣m）＞0，则m的取值范围为m＞﹣1，然后根据二次根式的性质得到原式＝|m+2|，再利用m的范围化简即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即4﹣4×（﹣m）＞0，
∴m＞﹣1，
∴m+2＞0，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．也考查了二次根式的性质与化简．
6．(本题4分)（2022·江苏·泰州中学附属初中九年级期末）若关于x的方程x2﹣ax+6＝0的一个根为2，则a的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
根据关于的一元二次方程的一个根是2，将代入方程即可求得的值．
【详解】
解：关于的一元二次方程的一个根是2，
，
解得．
故选：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．解决本题亦可利用根与系数的关系．
7．(本题4分)（2022·广东禅城·九年级期末）若一元二次方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．2B．±2C．±4D．±2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根的判别式与根的关系：当△=0时，方程有两个相等的实数根解答即可．
【详解】
解：∵一元二次方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，
∴△=m2－4×4=0，
解得：m=±4，
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式与根的关系，解答的关键是熟知一元二次方程根的判别式与根的关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当当△＜0时，方程无实数根．
8．(本题4分)（2021·山东桓台·二模）定义新运算“a⊕b”：对于任意实数a，b都有a⊕b＝（a+b）（a﹣b）﹣1．例如4⊕3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝6．若x⊕k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根
C．有一个实根D．没有实根
【答案】A
【解析】
【分析】
利用新定义得到（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用Δ＞0可判断方程根的情况．
【详解】
解：∵x⊕k＝x（k为实数）是关于x的方程，
∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，
整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1）
＝4k2+5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】
本题考查了新定义和一元二次方程根的情况，理解新定义是解答关键．
9．(本题4分)（2022·黑龙江密山·九年级期末）已知x1，x2分别为一元二次方程x2+4x﹣5=0的两个实数解，则的值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接根据根与系数的关系求出，再把变形为，然后整体代入计算即可．
【详解】
解：∵x1，x2分别为一元二次方程x2+4x﹣5=0的两个实数解，
∴
∴==
故选：B
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为根x1，x2，则x1+x2=-，x1•x2=．
10．(本题4分)（2022·四川自贡·九年级期末）若m、n是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．1B．-1C．2D．-2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用方程根的定义和根与系数关系得到，， 分子进行因式分解后，利用整体代入即可得到答案．
【详解】
解：∵m，n是的两个实数根
∴，
∴
∴
=2
故选：C
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数关系等知识，关键在于利用因式分解正确变形，用整体代入方法解决．
二、填空题(共20分)
11．(本题5分)（2021·甘肃兰州·九年级期中）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据，计算求解即可．
【详解】
解：由题意知
解得
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的个数与判别式的关系．解题的关键在于明确一元二次方程有两个相等的实数根时判别式．
12．(本题5分)（2021·河南·模拟预测）若关于x的一元二次方程x2+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值可能是_____（写出一个即可）．
【答案】﹣4
【解析】
【分析】
根据方程的系数结合根的判别式可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，取其内的任意一值即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程x2+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝02﹣4m＞0，
∴m＜0．
故答案可为：﹣4．
【点睛】
本题考查了根的判别式，熟练掌握“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
13．(本题5分)（2021·广东·桂林华侨初级中学二模）若、是一元二次方程 x2－6x－5＝0 的两个根，则的值等于_________．
【答案】6
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系，即可求得．
【详解】
解：∵、是一元二次方程 x2－6x－5＝0 的两个根，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，掌握和灵活运用一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键．
14．(本题5分)（2021·四川·石室中学九年级阶段练习）实数x、y分别满足99x2+2021x＝﹣1，y2+2021y＝﹣99，且xy≠1，则＝___．
【答案】
【解析】
【分析】
将变形为，因为且 xy≠1，则实数、可看作是方程的两个不等实数根，利用根与系数的关系得到，，再把原式变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：，
，
，
即，
实数、可看作方程的两实数根，
，，
原式
．
故答案为．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的变形应用以及根与系数的关系．根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
三、解答题(共90分)
15．(本题8分)（湖南省湘潭市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k＋1）x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
(1)求k的取值范围；
(2)若x1＋x2＝3，求k的值及方程的根．
【答案】(1)
(2)k＝1，x1＝1，x2＝2
【解析】
【分析】
（1）由关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，可知Δ＞0，据此进行计算即可；
（2）利用根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，进而得出关于k的方程求出即可．
(1)
解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，
∴，
整理得，4k﹣3＞0，
解得：k＞ ，
∴实数k的取值范围为k＞；
(2)
∵方程的两个根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝2k+1＝3，
解得：k＝1，
∴原方程为x2﹣3x+2＝0，
解得：x1＝1，x2＝2．
∴k的值为1，方程两根分别为x1＝1，x2＝2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根，以及根与系数的关系．
16．(本题8分)（2020·湖南·娄底市第三中学九年级阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1＝0．
(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为x1，x2，且满足（x1﹣x2）2＝16﹣x1x2，求实数m的值．
【答案】(1)m≥﹣1
(2)1
【解析】
【分析】
（1）又题意知，Δ＝b2﹣4ac≥0，计算求解即可；
（2）由题意知，x1+x2＝﹣2（m+1），x1x2＝m2﹣1；代入（x1﹣x2）2＝16﹣x1x2，计算求出符合要求的解即可．
(1)
解：由题意得Δ＝[2（m+1）]2﹣4（m2﹣1）≥0，
整理得8m+8≥0，
解得m≥﹣1，
∴实数m的取值范围是m≥﹣1；
(2)
解：由两根关系得x1+x2＝﹣2（m+1），x1•x2＝m2﹣1，
∵（x1﹣x2）2＝16﹣x1x2
∴（x1+x2）2﹣3x1x2﹣16＝0，
∴[﹣2（m+1）]2﹣3（m2﹣1）﹣16＝0，
∴m2+8m﹣9＝0，
解得m＝﹣9（不符合要求，舍去）或m＝1
∴m＝1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别，根与系数的关系等知识．解题的关键熟练掌握一元二次方程根的判别，根与系数的关系．
17．(本题8分)（2021·江苏句容·九年级期中）已知关于的方程．
(1)小明同学说：“无论为何实数，方程总有实数根．”你认为他说的有道理吗？
(2)若方程的一个根是－1，求另一根及的值．
【答案】(1)有，理由见解析
(2)方程另一根的值为，k的值为1
【解析】
【分析】
（1）由可知无论为何实数，方程总有实数根；
（2）将代入方程求出k的值，然后根据求解方程的另一根即可．
(1)
解：有道理，理由如下
∵
∴无论为何实数，方程总有实数根．
(2)
解：将代入方程得
解得
∵
∴
∴另一根的值为，k的值为1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别，根与系数之间的关系．解题的关键在于熟练掌握判根公式，两根之和与系数的关系．
18．(本题8分)（2021·广东阳东·二模）已知关于x的一元二次方程：2x2+(m－2)x－m＝0
(1)求证：不论m为何实数，方程总有实数根．
(2)当m=－9时，此方程的两个根分别是菱形ABCD的两条对角线长，求菱形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
对于（1），直接求出b2-4ac，根据结果判断即可；
对于（2），将m=-9代入得出一元二次方程，再根据一元二次方程根与系数的关系求出x1x2，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得出答案．
(1)
∵b2-4ac=(m-2)2-4×2(-m)=m2-4m+4+8m=(m+2)2≥0
∴不论m为何实数，方程总有实数根．
(2)
当m=－9时，方程为2x2-11x+9=0，由根与系数关系可得x1x2=，
所以菱形ABCD的面积是．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，菱形的面积等．当b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，一元二次方程没有实数根．
19．(本题10分)（2022·浙江·宁波市海曙外国语学校八年级开学考试）如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定：满足，例如有整数解3和4，所以＝0属于同族方程，所以．
(1)如果同族方程中有两个相等的解、我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有；
(2)关于x的一元二次方程属于同族方程，求整数k的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)-3或-1或1或3．
【解析】
【分析】
（1）根据完美方程的定义结合一元二次方程根的判别式即得出，即．再由，即可求证；
（2）将原一元二次方程利用因式分解法求解，得出．根据该一元二次方程为同族方程，即得出的值应为整数，从而即可求出k的值．
(1)
证明：根据完美方程的定义可知，
∴，
∵，
∴；
(2)
解：，
解得：．
∵该一元二次方程为同族方程，
∴的值应为整数，
∴的值为-3或-1或1或3．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程．理解题意，掌握同族方程和完美方程的定义是解题关键．
20．(本题10分)（2021·四川游仙·一模）已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0有两个不等的实根．
(1)求a的取值范围；
(2)当a取最大整数值时，△ABC的三条边长均满足关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0，求△ABC的周长．
【答案】(1)a＜且a≠3
(2)3或9或7
【解析】
【分析】
（1）关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0有两个不相等的实数根，可知二次项系数不为0且判别式大于0．
（2）在此范围内找出最大的整数，然后分四种情况讨论，求得三角形周长即可．
(1)
∵关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得a＜且a≠3．
(2)
由（1）得a的最大整数值为4；
∴x2﹣4x+3＝0
解得：x1＝1，x2＝3．
∵△ABC的三条边长均满足关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝7，
∴①三边都为1，则△ABC的周长为3；
②三边都为3，则△ABC的周长为9；
③三边为1，1，3，因为1+1＜3；
④三边为1，3，3，则△ABC的周长为7．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根；也考查了三角形三边关系．
21．(本题12分)（2021·广东·华南师大附中九年级阶段练习）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；
(2)若对于，2．3，…，2020，2021时，相应得到的一元二次方程的两根分别为和，和，和，…，和，和，试求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）设方程两根为α，β，由一元二次方程根与系数的关系求得α＋β＝2，α•β＝−a2−a，可得（α−2）（β−2）＜0；
（2）由（1）中根与系数的关系将整理为，然后将a＝1，2，3，…，2020，2021代入求解．
(1)
证明：设方程的两根是，，则，，
∴
∵，
∴，
即这个方程的一根大于2，一根小于2．
(2)
解：∵，
∵对于，2，3，…，2020，2021时，相应得到的一元=次方程的两根分别为和，和，和，…，和，和，
∴
．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，解题关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．
22．(本题12分)（2021·北京市三帆中学九年级期中）法国数学家韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了一元二次方程的根与系数之间的关系：
如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么， ．
后来人们将这个“一元二次方程根与系数的关系”称为“韦达定理”．这一结论同学们由求根公式也很容易得到．
请你根据“韦达定理”解决以下三个问题：
（1）已知是方程的两根，则＝ ，＝ ；
（2）设是方程的两个根，则的值是（ ）；
A．15 B．12 C．6 D．3
（3）若是两个不相等的实数，且满足，，那么=_____．
【答案】（1），2；（2）C；（3）
【解析】
【分析】
（1）结合题意，根据韦达定理的性质计算，即可得到答案；
（2）根据完全平方公式的性质，通过配方得，结合韦达定理计算，即可得到答案；
（3）通过韦达定理的性质计算，即可得到答案．
【详解】
（1）∵是方程的两根
∴＝，＝；
故答案为：，2；
（2）
∵＝，＝；
∴
故选：C；
（3）∵是两个不相等的实数，且满足，
∴是的两个根
∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数关系、完全平方公式的性质，从而完成求解．
23．(本题14分)（2021·福建·泉州七中九年级阶段练习）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，则c＝ ．
（2）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式4m2﹣5mn+n2的值．
（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，求a，b，c之间的关系．
【答案】（1）2；（2）0；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据“倍根方程”和根与系数之间的关系可直接求解.
（2）根据倍根方程的定义找出，之间的关系，进行分类讨论即可求解；
（3）设与是方程的解，根据根与系数之间的关系消去即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵一元二次方程是“倍根方程”，
∴令，
，
解得：，，
；
（2）是“倍根方程”，
且该方程的两根分别为和，
或，
当时，即，
，
当时，即，
，
综上：；
（3）设与是方程的解，
，，
消去得：．
【点睛】
本题考查了倍增方程的问题，掌握根与系数的关系、解一元二次方程的方法是解题的关键．