数学沪科版（2024）17.1 一元二次方程同步测试题

这是一份数学沪科版（2024）17.1 一元二次方程同步测试题，文件包含沪科版数学八下专题06一元二次方程根的判别式和根与系数的关系知识点考点精讲原卷版doc、沪科版数学八下专题06一元二次方程根的判别式和根与系数的关系知识点考点精讲解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共13页， 欢迎下载使用。
【思维导图】
©知识点一： 根的判别式
【技巧】根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
◎考点1 根据判别式判断根的情况
例．（2021·四川涪城·一模）方程x2﹣3x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出Δ的值，再判断出其符号即可．
【详解】
解：∵Δ=（-3）2-4×1×(-1)=13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的情况与判别式Δ的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
练习1．（2021·四川凉山·模拟预测）关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥0B．k≥0且k≠2C．k≥D．k≥且k≠2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程有两个实数根，可知k-2≠0，b2-4ac≥0，求出k的取值范围．
【详解】
解：根据题意得k﹣2≠0且b2-4ac＝(﹣2k)2﹣4(k﹣2)(k﹣6)≥0，
解得且k≠2，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，注意一元二次方程ax2+bx+c=0成立的条件是a≠0．
练习2．（2021·广东·东莞市光明中学九年级期中）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的判别式进行判断即可．
【详解】
解：∵，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
练习3．（2021·湖北荆门·模拟预测）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝3，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的比原方程的值小2．则原方程的根的情况是（ ）
A．不存在实数根B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是x＝﹣1D．有两个相等的实数根
【答案】A
【解析】
【分析】
首先利用已知的a、b，以及解出的一个根，求出c，再根据“所抄的比原方程的值小2”得出正确的c值，最终利用根的判别式判断根的情况即可．
【详解】
解：小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是，
，
解得：，
故原方程中，
则，
则原方程的根的情况是不存在实数根．
故选：A．
【点睛】
本题重点考查的是一元二次方程中根的判别式的应用，熟练掌握一元二次方程中的运算，以及判别式的运用是解题的关键．
◎考点2 根据根的情况求参数
例．（2022·海南海口·九年级期末）若关于x的方程（k为常数）有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A．﹣4B．4C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据方程x2-x+k=0有两个相等的实数根，则根的判别式△=b2-4ac=0，从而列关于k的方程求解即可．
【详解】
解：∵方程有两个相等的实数根，
∴△=b2−4ac=（-1）2-4k=0，
解得：k=．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，当一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式为0．
练习1．（2022·甘肃兰州·九年级期末）已知关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤-2B．k≤2C．k≥2D．k≤2且k≠1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据方程有两个实数根则，再结合二次项系数，即可得到关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
解得： 且．
故选：D．
【点睛】
本题考查了根的判别式，根据根的判别式，结合二次项系数不为0，得出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
练习2．（2021·四川省荣县中学校九年级期中）若关于x的方程无实数根，则一次函数的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据关于的方程无实数根求出的取值范围，再判断出一次函数的图象经过的象限即可．
【详解】
解：关于的方程无实数根，
△，解得，
，
一次函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟知一次函数的图象当，时在一、二、四象限．
练习3．（2021·广东·河源市第二中学一模）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根的判别式，即可求得．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴且，
解得且，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，注意二次项系数不为零是解决本题的关键
©知识点二： 根与系数关系
【技巧】根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
例．（2022·湖北·武汉七一华源中学九年级阶段练习）关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1，x2，若x2＝2x1，则4b﹣3ac的最大值是（ ）
A．1B．2C．4D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系得出x1+x2=-，由x2=2x1得出3x1=-，即x1=-，可解出x2，由两根之积x1x2=可得c=，代入代数式即可得到4b-3ac==4b-=-（b-3）2+6，从而求得4b-3ac的最大值是6．
【详解】
解：∵关于x的方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根x1、x2，
∴x1+x2=-，x1x2=，
∵x2=2x1，
∴3x1=-，即x1=-，
∴x2=-，
∴==，
∴9ac=2b2，
∴c=
∴4b-3ac=4b-3a•
=4b-=-（b-3）2+6，
∵-＜0，
∴4b-3ac的最大值是6，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是根据两根之和和两根之积，找到a、b、c之间的关系，再代入所求的式子运用配方法配方求出最大值．
练习1．（2022·山东·周村二中九年级开学考试）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣5x1﹣2x2的值为（ ）
A．﹣7B．﹣3C．2D．5
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意得，，将变形为，进行计算即可得．
【详解】
解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，
∴，，
∴，
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，将进行变形．
练习2．（2022·四川省安岳中学九年级开学考试）关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0有两个实数根x1＝1，x2＝n，则代数式（m+n）2020的值为（ ）
A．1B．0C．32020D．72020
【答案】A
【解析】
【分析】
先由一元二次方程根与系数的关系得到关于m、,n的关系式，整体代入即可求值．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0有两个实数根x1＝1，x2＝n，
∴，
∴m+n=-1，
∴（m+n）2020=（-1）2020=1．
故选：A
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，求代数式的值，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题关键．