(通用版)中考数学一轮复习精讲精练第7章第6讲 二次函数综合大题（2份，原卷版+解析版）

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线段周长问题、面积问题、角度问题
1．（2021·四川内江中考）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点的坐标为．
（1）求抛物线的解析式与直线的解析式；
（2）若点是抛物线上的点且在直线上方，连接、，求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值；
（3）若点是轴上的点，且，求点的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为；（2）的面积的最大值为，．（3）的坐标为或．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）如图1中，过点P作PE∥y轴交AD于点E．设P（m，-m2+m+3），则E（m，m+1）．因为S△PAD=•（xD-xA）•PE=3PE，所以PE的值最大值时，△PAD的面积最大，求出PE的最大值即可．
（3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T（-5，6），设DT交y轴于点Q，则∠ADQ=45°，作点T关于AD的对称点T′（1，-6），设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′=45°，分别求出直线DT，直线DT′的解析式即可解决问题．
【详解】
解：（1）抛物线与轴交于、两点，
设抛物线的解析式为，
解得，，或，
在抛物线上，
，
解得，
抛物线的解析式为，
直线经过、，
设直线的解析式为，
则，
解得，，
直线的解析式为；
（2）如图1中，过点作轴交于点．设，则．
，
的值最大值时，的面积最大，
，
，
时，的值最大，最大值为，此时的面积的最大值为，．
（3）如图2中，将线段绕点逆时针旋转得到，则，
设交轴于点，则，
，
直线的解析式为，
，
作点关于的对称点，
则直线的解析式为，
设交轴于点，则，
，
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题，学会构造特殊三角形解决问题．
2．（2021·广西贵港中考）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于A(－3，0)，B两点，与y轴相交于点C(0，2)，对称轴是直线x＝－1，连接AC．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若过点B的直线l与抛物线相交于另一点D，当∠ABD＝∠BAC时，求直线l的表达式；
（3）在（2）的条件下，当点D在x轴下方时，连接AD，此时在y轴左侧的抛物线上存在点P，使，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
【答案】（1）；（2）或；（3）或或
【解析】
【分析】
（1）先根据对称轴得出，再由点的坐标求出，最后将点的坐标代入抛物线解析式求解，即可得出结论；
（2）分两种情况，Ⅰ、当点在轴上方时，先判断出，进而得出点在直线上，再求出点的坐标，最后用待定系数法求出直线的解析式；Ⅱ、当点在轴下方时，判断出，即可得出结论；
（3）先求出点的坐标，进而求出的面积，得出的面积，设，，过作轴的平行线交直线于，得出，进而表示出，最后用面积建立方程求解，即可得出结论．
【详解】
解：（1）抛物线的对称轴为，
，
，
点的坐标为，
，
抛物线的解析式为，
点在抛物线上，
，
，
，
抛物线的解析式为；
（2）Ⅰ、当点在轴上方时，如图1，
记与的交点为点，
，
，
直线垂直平分，
点在直线上，
点，，
直线的解析式为，
当时，，
点，
点点关于对称，
，
直线的解析式为，
即直线的解析式为；
Ⅱ、当点在轴下方时，如图2，
，
，
由Ⅰ知，直线的解析式为，
直线的解析式为，
即直线的解析式为；
综上，直线的解析式为或；
（3）由（2）知，直线的解析式为①，
抛物线的解析式为②，
或，
，
，
，
，
点在轴左侧的抛物线上，
设，，
过作轴的平行线交直线于，
，
，
，
或（舍）或或，
或或．
【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，垂直平分线的性质，坐标系中求三角形面积的方法，求出点的坐标是解本题的关键．
3．（2021·甘肃兰州中考）如图1，二次函数的图象交坐标轴于点，，点为轴上一动点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）过点作轴分别交线段，抛物线于点，，连接．当时，求的面积；
（3）如图2，将线段绕点逆时针旋转90得到线段．
①当点在抛物线上时，求点的坐标；
②点在抛物线上，连接，当平分时，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）①或；②或．
【解析】
【分析】
（1）根据点的坐标以及已知条件，将的坐标代入即可求得的值，进而求得抛物线的解析式；
（2）依题意根据（1）的解析式求得的坐标，进而求得，据此求得，根据进而求得的坐标，根据即可求得的面积；
（3）①过作轴，分点在轴上方和下方两种情况讨论，证明，设，将点的坐标代入（1）中抛物线解析式中即可求得点的坐标情形2，方法同情形1；
②分当不平行于轴和轴两种情况讨论，当当不平行于轴时，过点作交于点,过点作于点，证明进而可得的坐标，当轴时，结合已知条件即可求得的坐标．
【详解】
（1）二次函数的图象经过
解得
（2）由，令
解得
当时，
,则
；
（3）如图，当点在轴下方时，过点作于点，
由，令，
解得
，
，
将线段绕点逆时针旋转90得到线段，
，，
设，
点在抛物线上，
解得（舍）
当点在轴上方时，如图，
过点作于点，设
同理可得
点在抛物线上，
解得（舍去），
综上所述，或；
②当不平行于轴时，过点作交于点,过点作于点，如图，
平分，，
，
,
，
当不平行于轴时，重合，
，
当轴时，如图，
此时
则
综上所述，当平方时，点的坐标为或．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴交点，正切的定义，三角形全等的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
4．（2021·青海西宁中考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为，抛物线经过A，B，C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AD与y轴负半轴交于点D，且，求证：；
（3）在（2）的条件下，若直线与抛物线的对称轴l交于点E，连接，在第一象限内的抛物线上是否存在一点P，使四边形的面积最大？若存在，请求出点P的坐标及四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）存在，当P点坐标是时，四边形面积的最大值是
【解析】
【分析】
（1）由一次函数可求得A、B两点的坐标，从而用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）证明即可解决；
（3）过点E作轴于点M，由可求得△ABE的面积为定值12；因此只要求出点P的位置使△PAB的面积最大，从而使四边形的面积最大；为此过点P作轴于点，交直线AB于点N，过点B作于点，设点P的坐标为，则可求得PN，且，由可得关于t的二次函数，从而求得△PAB面积的最大值，因而可得四边形BEAP面积的最大值，且可求得此时点P的坐标．
【详解】
（1）一次函数与x轴的交点，令，则，解得；
与y轴的交点，令，则
∴，
设抛物线的解析式为
把A，B，C三点坐标代入解析式，得解得
∴抛物线的解析式为
（2）在平面直角坐标系中，
在和中
∴
∴（全等三角形的对应边相等）
（3）存在，理由如下：
过点E作轴于点M
∵
∴抛物线的对称轴是直线
∴E点的横坐标是2，即
∵
∴
∴
∵
∴
∴
设点P的坐标为
过点P作轴于点，交直线AB于点N，过点B作于点，如图
∴
∴
∵
∵
∴
∵，抛物线开口向下，函数有最大值
∴当时，面积的最大值是，此时四边形的面积最大
∴，
当时，
∴
∴当P点坐标是时，四边形面积的最大值是．
【点睛】
本题是二次函数与图形面积的综合问题，它考查了待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，求二次函数的最值，求图形的面积等知识，求图形面积时用到了割补法，这是在平面直角坐标系中常用的求面积方法，用到了转化思想，即求四边形面积最大值问题转化为求三角形面积最大值问题．
特殊三角形问题、特殊四边形问题、相似三角形问题
5．（2013·贵州铜仁中考）如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．
【答案】（1）抛物线解析式为：y=x2+2x﹣3；（2）6；（3）存在．M1（﹣1，），M2（﹣1，），M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣1）．
【解析】
【分析】
（1）根据直线解析式求出点A及点B的坐标，然后将点A及点B的坐标代入抛物线解析式，可得出b、c的值，求出抛物线解析式．
（2）由（1）求得的抛物线解析式，可求出点C的坐标，继而求出AC的长度，代入三角形的面积公式即可计算．
（3）根据点M在抛物线对称轴上，可设点M的坐标为（﹣1，m），分三种情况讨论，①AM=AB，②BM=AB，③AM=BM，求出m的值后即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴可得A（1，0），B（0，﹣3），
把A、B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得：，解得：．
∴抛物线解析式为：y=x2+2x﹣3．
（2）令y=0得：0=x2+2x﹣3，解得：x1=1，x2=﹣3．
∴C点坐标为：（﹣3，0），AC=4，
∴S△ABC=AC×OB=×4×3=6．
（3）存在．
易得抛物线的对称轴为：x=﹣1，假设存在M（﹣1，m）满足题意，
根据勾股定理，得．
分三种情况讨论：
①当AM=AB时，，解得：．
∴M1（﹣1，），M2（﹣1，）．
②当BM=AB时，，解得：M3=0，M4=﹣6．
∴M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣6）（不合题意舍去）．
③当AM=BM时，，解得：m=﹣1．
∴M5（﹣1，﹣1）．
综上所述，共存在四个点使△ABM为等腰三角形，坐标为M1（﹣1，），M2（﹣1，），M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣1）．
6．（2021·辽宁锦州中考）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋1分别与x轴、y轴交于点A，C，经过点C的抛物线y＝x2＋bx＋c与直线y＝x＋1的另一个交点为点D，点D的横坐标为6．
（1）求抛物线的表达式．
（2）M为抛物线上的动点．
①N为x轴上一点，当四边形CDMN为平行四边形时，求点M的坐标；
②如图2，点M在直线CD下方，直线OM（OM∥CD的情况除外）交直线CD于点B，作直线BD关于直线OM对称的直线B，当直线B与坐标轴平行时，直接写出点M的横坐标．
【答案】（1）y＝；（2）①点M的坐标为（，）或（，）；②点M的横坐标为3或或
【解析】
【分析】
（1）先由直线解析式求出A，C，D的坐标，再由C，D坐标求出抛物线解析式；
（2）①设N（n，0），由平移与坐标关系可得点M的坐标，然后代入抛物线的解析式求解即可；②因为直线B与坐标轴平行，所以B∥x轴和B∥y轴分类讨论，以B∥x轴为例，画出草图，由于BM平分∠DB，又∠AOB＝∠BM，等量代换，可以证得△AOB是等腰三角形，求出AB的长度，并且有A和D点坐标，求出∠DAO的三角函数值，过B作BH⊥x轴于H，在直角△ABH中，利用AB的长度，和∠BAH的三角函数值，求出AH和BH的长度，得到B点坐标，进一步得到直线OB的解析式，联立直线OB和抛物线解析式，求得交点M点坐标，当B∥y轴，用同样的方法解决．
【详解】
解：（1）令x＝0，则y＝x＋1＝1，
∴C点坐标为（0，1），
令y＝0，则，①
∴，
∴A点坐标为（，0），
令x＝6，则y＝，
∴D点坐标为（），
将C，D两点坐标代入到抛物线解析式中得，
，
解得，
∴抛物线的表达式为：y＝；
（2）①设N（n，0），
∵四边形CDMN为平行四边形，
∴ ，
∴由平移与坐标关系可得M（n＋6，），
∵点M在抛物线上，
∴，
∴n2＋9n+4＝0，
∴，
∴点M的坐标为（，）或（，）；
②第一种情况：如图1，当B∥x轴时，分别过B，D作x轴的垂线，垂足分别为H，Q，
在直角△ADQ中，AQ＝6＋＝，DQ＝，
∴由勾股定理得： ，
∴tan∠DAQ＝＝，
∴cs∠DAQ＝，
∵∠BAH＝∠DAQ，
∴cs∠BAH＝，
∵直线BD与直线B关于直线OM对称，
∴∠DBM＝∠BM，
∵B∥x轴，
∴∠HOB＝∠BM＝∠DBM，
∴AB＝AO＝，
∴，
∴AH＝，
∴OH＝AH＋AO＝，
令x＝﹣，则y＝＝，
∴B点坐标为（﹣，），
设直线OB的解析式为y＝kx，代入点B得，k＝，
∴直线OB的解析式为y＝x，
联立，
解得，，
∴点M的横坐标为3或，
第二种情况，如图2，当B∥y轴时，设B交x轴于G，
∴∠COB＝∠OBG，
∵直线BD与直线B关于直线OM对称，
∴∠CBO＝∠OBG＝∠COB，
∴CB＝CO＝1，
过C作CE⊥BG于E，
∴CE//x轴，
∴∠BCE＝∠CAO，
∵tan∠CAO＝＝，
∴cs∠CAO＝，
∴cs∠BCE＝＝，
∴CE＝＝，
∴＝，
∵CE⊥BG，BG⊥x轴，
∴∠CEG＝∠BGO＝∠COG＝90°，
∴四边形CEGO为矩形，
∴EG＝CO＝1，CE＝OG＝，
∴BG＝BE＋EG＝，
∴点B的坐标为（），
∴直线OB的解析式为y＝2x，
联立，
化简得，x2－11x＋4＝0，
∴，
∵点M在直线CD下方，
∴x＜6，
∴x＝，
∴点M的横坐标为，
即点M的横坐标为3或或．
【点睛】
本题是一道二次函数综合题，数形结合是本题的解题的突破口，同时，对于“平行线十角平分线”这种条件，要联想到等腰三角形，是此题的解题关键，此题对学生解直角三角形的能力也有一定要求．
7．（2021·巴中中考）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(﹣2，0)、B(6，0)两点，与y轴交于点C(0，)．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2），；（3）或或或
【解析】
【分析】
（1）将、、代入即可求解析式；
（2）过点作轴交直线于点，过作轴交直线于点，由，可得，则求的最大值即可；
（3）分三种情况讨论：当时，过点作轴，过点作轴，与交于点，过点作轴，与交于点，可证明，求出；当时，过点作轴交于点，可证明，求出；当时，线段的中点，设，由，可求或．
【详解】
解：（1）将点、、代入，
得，
解得，
；
（2）如图1，过点作轴交直线于点，过作轴交直线于点，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
当时，有最大值，
；
（3），点在上，
如图2，当时，
过点作轴，过点作轴，与交于点，过点作轴，与交于点，
，，
，
，
，即，
，
；
如图3，当时，
过点作轴交于点，
，，
，
，
，即，
，
；
如图4，当时，
线段的中点，，
设，
，
，
或，
或；
综上所述：是直角三角形时，点坐标为或或或．
【点睛】
本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质，通过构造平行线将的最大值问题转化为求的最大值问题是解题的关键．
8．（2021·辽宁朝阳中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴分别交于点A(﹣1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)．
（1）求抛物线的解析式及对称轴；
（2）如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标；
（3）点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当BMN为等边三角形时，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2＋2x＋3，对称轴x＝1；（2）P(1，1)或(2，1)；（3）M(，)或(1＋，)
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求解即可．
（2）如图1中，连接BD，设BD的中点T，连接PT，设P（1，m）．求出PT的长，构建方程求出m即可．
（3）分两种情形：当点M在第一象限时，△BMN是等边三角形，过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T，设N（1，t），设抛物线的对称轴交x轴于E．如图3﹣2中，当点M在第四象限时，设N（1，n），过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T．分别利用相似三角形的性质求出点M的坐标，再利用待定系数法求解．
【详解】
解：（1）把A（﹣1，0），点C（0，3）的坐标代入y＝﹣x2＋bx＋c，得到，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3，对称轴x＝﹣＝1．
（2）如图1中，连接BD，设BD的中点T，连接PT，设P（1，m）．
∵点D与点C关于对称轴对称，C（0，3），
∴D（2，3），
∵B（3，0），
∴T（，），BD＝，
∵∠NPD＝90°，DT＝TB，
∴PT＝BD＝，
∴（1﹣）2＋（m﹣）2＝（）2，
解得m＝1或2，
∴P（1，1），或（2，1）．
（3）当点M在第一象限时，△BMN是等边三角形，过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T，设N（1，t），作TJ⊥x轴于点J，设抛物线的对称轴交x轴于E．
∵△BMN是等边三角形，
∴∠NMB＝∠NBM＝60°，
∵∠NBT＝90°，
∴∠MBT＝30°，BT＝BN，
∵∠NMB＝∠MBT＋∠BTM＝60°，
∴∠MBT＝∠BTM＝30°，
∴MB＝MT＝MN，
∵∠NBE＋∠TBJ＝90°，∠TBJ＋∠BTJ＝90°，
∴∠NBE＝∠BTJ，
∵∠BEN＝∠TJB＝90°，
∴△BEN∽△TJB，
∴＝，
∴BJ＝t，TJ＝2，
∴T（3＋t，2），
∵NM＝MT，
∴M（，），
∵点M在y＝﹣x2＋2x＋3上，
∴＝﹣（）2＋2×＋3，
整理得，3t2＋（4＋2）t﹣12＋4＝0，
解得t＝﹣2（舍弃）或，
∴M（，）．
如图3﹣2中，当点M在第四象限时，设N（1，n），过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T．
同法可得T（3﹣n，﹣2），M（，），
则有＝﹣（）2＋2×＋3，
整理得，3n2＋（2﹣4）n﹣12﹣4＝0，
解得n＝（舍弃）或，
∴M（1＋， ），
综上所述，满足条件的点M的坐标为（，）或（1＋，）．
【点睛】
本题主要考查了二次函数综合，结合等边三角形的判定与性质、勾股定理和一元二次方程求解计算是解题的关键．
9．（2021·湖南湘潭中考）如图，一次函数图象与坐标轴交于点A、B，二次函数图象过A、B两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为：；（2）Q点坐标为（1，）或(3，0)或（-1，0）．
【解析】
【分析】
（1）由直线与坐标轴的交点坐标A，B，代入抛物线解析式，求出b，c坐标即可；
（2）分BC为对角线和边两种情况讨论，其中当BC为边时注意点Q的位置有两种：在点P右侧和左侧，根据菱形的性质求解即可．
【详解】
解：（1）对于：当x=0时，；
当y=0时，，妥得，x=3
∴A（3，0），B（0，）
把A（3，0），B（0，）代入得：

解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）抛物线的对称轴为直线
故设P（1，p），Q（m，n）
①当BC为菱形对角线时，如图，
∵B，C关于对称没对称，且对称轴与x轴垂直，
∴∴BC与对称轴垂直，且BC//x轴
∵在菱形BQCP中，BC⊥PQ
∴PQ⊥x轴
∵点P在x=1上，
∴点Q也在x=1上，
当x=1时，
∴Q（1，）；
②当BC为菱形一边时，若点Q在点P右侧时，如图，
∴BC//PQ，且BC=PQ
∵BC//x轴，
∴令，则有
解得，
∴
∴PQ=BC=2
∵
∴PB=BC=2
∴迠P在x轴上，
∴P(1,0)
∴Q(3，0)；
若点Q在点P的左侧，如图，

同理可得，Q（-1，0）
综上所述，Q点坐标为（1，）或(3，0)或（-1，0）
【点睛】
本题考查的知识点有用待定系数法求出二次函数的解析式，菱形的性质和判定，解一元二次方程，主要考查学生综合运用这些性质进行计算和推理的能力．
10．（2021·山东淄博中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．
（1）若，求抛物线对应的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，点位于直线上方的抛物线上，当面积最大时，求点的坐标；
（3）设直线与抛物线交于两点，问是否存在点（在抛物线上）．点（在抛物线的对称轴上），使得以为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）当以为顶点的四边形成为矩形时，点，．
【解析】
【分析】
（1）由题意易得，则有，然后把点C的坐标代入求解即可；
（2）由（1）可得，，然后可求出线段BC的解析式为，过点P作PE∥y轴，交BC于点E，设，则有，进而可根据铅垂法进行求解点P的坐标；
（3）由题意易得，抛物线的对称轴为，则可得，点F的横坐标为，①当以GB为矩形的对角线时，根据中点坐标公式可得点E的横坐标为，进而可得，，然后根据相似三角形可求解；②当以GB为矩形的对边时，最后分类求解即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
把点C的坐标代入得：，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）由（1）可得抛物线解析式为，，，
设线段BC的解析式为，把点B、C代入得：
，解得：，
∴线段BC的解析式为，
过点P作PE∥y轴，交BC于点E，如图所示：
设，则有，
∴，
设的面积为S，由铅垂法可得△PCB的面积可以点B、C的水平距离为水平宽，PE为铅垂高，则有：
，
∴当a=2时，S有最大值，
∴点；
（3）存在，理由如下：
由题意可把点B的坐标代入直线得：，
∴，
联立抛物线与直线BG的解析式得：，
解得：，
∴，
由抛物线可得对称轴为，
∴点F的横坐标为，
①当以GB为矩形的对角线时，如图所示：
∴根据中点坐标公式可得点E的横坐标为，即为，
∴，
根据中点坐标公式可知，即，
∴，
∴，
∵，且四边形是矩形，
∴点E、F分别落在x轴的两侧才能构成矩形，即，
分别作EH⊥x轴于点H，过点G、B作过点F与x轴平行的直线的垂线，分别交于点M、N，如图，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，解得：（负根舍去），
∴，；
②当以GB为矩形的边时，不存在以点E、F、G、B顶点的四边形为矩形；
综上所述：当以为顶点的四边形成为矩形时，点，．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合、矩形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的综合、矩形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
11．（2021·内蒙古赤峰中考）如图，抛物线与x轴交于、两点，对称轴l与x轴交于点F，直线mAC，过点E作EH⊥m，垂足为H，连接AE、EC、CH、AH．
（1）抛物线的解析式为 ；
（2）当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接EF，点P在x轴上，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；若不存在请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，符合题意的点坐标为或或
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）先求抛物线与y轴交点，利用勾股定理求，利用待定系数法求直线的解析式，由，交于点，可得为定值，由，把，记为定值，再求；再利用二次函数的性质可得答案；
（3）当点Q在x轴上方抛物线上时，因为PF在x轴上，，点Q的纵坐标与E的纵坐标相同，当点Q在x轴下方抛物线上时，又四边形为平行四边形，Q与E的纵坐标互为相反数即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线与x轴交于、两点，
∴，
解得，
∴；
故答案为；
（2）将代得，
∴，
设直线的解析式为将，，
得，
解得，，
∴，
∵，交于点，
∴为定值，
∵，
把，记为定值，
过点作轴，垂足为，交于点，
设，则，
∴，
，
，
∴，
∵，
∴有最大值，此时，
将代入中，得；
（3）存在，符合题意的点坐标为或或；
当点Q在x轴上方抛物线上时，
因为PF在x轴上，
又∵，
∴点Q的纵坐标与E的纵坐标相同，
∴y=，
∴，
∴解得，
∵x=时为E点，
∴，
Q1()，
当点Q在x轴下方抛物线上时，
∵PF在x轴上，
又∵四边形为平行四边形，
∴Q与E的纵坐标互为相反数，
所以yQ=，
∴，
整理得，
△=，
解得，
∴Q2（），Q3（），
符合题意的点坐标为或或．
【点睛】
本题考查待定系数法求抛物线解析式与直线解析，平行四边形面积，二次函数最值，与平行四边形性质，掌握待定系数法求抛物线解析式与直线解析，平行四边形面积，二次函数最值，与平行四边形性质是解题关键．
12．（2021·湖南张家界中考）如图，已知二次函数的图象经过点且与轴交于原点及点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求顶点的坐标及直线的表达式；
（3）判断的形状，试说明理由；
（4）若点为上的动点，且的半径为，一动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段匀速运动到点，再以每秒1个单位长度的速度沿线段匀速运动到点后停止运动，求点的运动时间的最小值．
【答案】（1）；（2），；（3）等腰直角三角形，理由见解析；（4）
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件，运用待定系数法直接列方程组求解即可；
（2）根据（1）中二次函数解析式，直接利用顶点坐标公式计算即可，再根据点A、B坐标求出AB解析式即可；
（3）根据二次函数对称性可知为等腰三角形，再根据O、A、B三点坐标，求出三条线段的长，利用勾股定理验证即可；
（4）根据题意可知动点的运动时间为，在上取点，使，可证明，根据相似三角形比例关系得，即，当、、三点共线时，取得最小值，再根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理进一步计算即可．
【详解】
解：（1）二次函数的图象经过，且与轴交于原点及点
∴，二次函数表达式可设为：
将，代入得：
解这个方程组得
∵二次函数的函数表达式为
（2）∵点为二次函数图像的顶点，
∴，
∴顶点坐标为：，
设直线的函数表达式为，则有：
解之得：
∴直线的函数表达式为
（3）是等腰直角三角形，
过点作于点，易知其坐标为
∵的三个顶点分别是，，，
∴，
且满足
∴是等腰直角三角形
（4）如图，以为圆心，为半径作圆，则点在圆周上，依题意知：
动点的运动时间为
在上取点，使，
连接，则在和中，
满足：，，
∴，
∴，
从而得：
∴
显然当、、三点共线时，取得最小值，
过点作于点，由于，
且为等腰直角三角形，
则有，，
∴动点的运动时间的最小值为：
．
【点睛】
本题主要考查待定系数法求函数解析式，抛物线顶点坐标，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等知识点，将运动时间的最小值转换为线段长度的最小值是解题的关键．
13．（2021·四川达州中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交抛物线于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将线段绕着点沿顺时针方向旋转得到线段，旋转角为，连接，，求的最小值．
（3）为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】（1）；（2）；（3）存在，点的横坐标分别为：2，，或．
【解析】
【分析】
（1）待定系数法求二次函数解析式，设解析式为将，两点代入求得，c的值即可；
（2）胡不归问题，要求的值，将折线化为直线，构造相似三角形将转化为，再利用三角形两边之和大于第三边求得最值；
（3）分2种情形讨论：①AB为矩形的一条边，利用等腰直角三角形三角形的性质可以求得N点的坐标;
②AB为矩形的对角线，设R为AB的中点,RN=AB,利用两点距离公式求解方程可得N点的坐标．
【详解】
解：（1）∵过，
∴
∴，
∴抛物线的解析式为：
（2）在上取一点，使得，连接，
∵
对称轴．
∴，
，
∴，
∴
∴
∴
当，，三点在同一点直线上时，最小为．
在中，，
∴
即最小值为．
（3）情形①如图，AB为矩形的一条边时，
联立
得


是等腰，
分别过 两点作的垂线，交于点，
过作轴，轴,

,也是等腰直角三角形
设，则，所以
代入，解得,（不符题意，舍）
同理，设，则 ，所以
代入，解得,（不符题意，舍）

② AB为矩形的对角线，设R为AB的中点,则
，


设 ，则

整理得：
解得：（不符题意，舍），（不符题意，舍），
，
综上所述：点的横坐标分别为：2，，或．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，三角形相似，勾股定理，二次函数与一次函数交点，矩形的性质，等腰直角三角形性质，平面直角坐标系中两点距离计算等知识，能正确做出辅助线，找到相似三角形是解题的关键．
整点好点问题
14．（2021·湖南衡阳·中考真题）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如……都是“雁点”．
（1）求函数图象上的“雁点”坐标；
（2）若抛物线上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当时．
①求c的取值范围；
②求的度数；
（3）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线上一点，连接，以点P为直角顶点，构造等腰，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）和；（2）①；②45°；（3）存在，P点坐标为或或
【解析】
【分析】
（1）根据“雁点”的定义可得y=x，再联立求出 “雁点”坐标即可；
（2）根据和y=x可得，再利用根的判别式得到，再求出a的取值范围；将点c代入解析式求出点E的坐标，令y=0，求出M的坐标，过E点向x轴作垂线，垂足为H点，如图所示，根据EH=MH得出为等腰直角三角形，∠EMN的度数即可求解；
（3）存在，根据图1，图2，图3进行分类讨论，设C（m，m），P（x，y），根据三角形全等得出边相等的关系，再逐步求解，代入解析式得出点P的坐标．
【详解】
解：（1）联立，
解得或
即：函数上的雁点坐标为和．
（2）① 联立
得
∵ 这样的雁点E只有一个，即该一元二次方程有两个相等的实根，
∴
∵
∵
∴
② 将代入，得
解得，∴
对于，令
有
解得
∴
过E点向x轴作垂线，垂足为H点，
EH=，MH=
∴
∴ 为等腰直角三角形，
（3）存在，理由如下：
如图所示：过P作直线l垂直于x轴于点k，过C作CH⊥PK于点H
设C（m，m），P（x，y）
∵ △CPB为等腰三角形，
∴PC=PB，∠CPB=90°，
∴∠KPB+∠HPC=90°，
∵∠HPC+∠HCP=90°，
∴∠KPB=∠HCP，
∵∠H=∠PKB=90°，
∴△CHP≌△PKB，
∴CH=PK，HP=KB，
即
∴
当时，
∴
如图2所示，同理可得：△KCP≌△JPB
∴ KP=JB，KC=JP
设P（x，y），C（m，m）
∴KP=x-m，KC=y-m，JB=y，JP=3-x，
即
解得
令
解得
∴或
如图3所示，
∵△RCP≌△TPB
∴RC=TP，RP=TB
设P（x，y），C（m，m）
即
解得
令
解得
∴ 此时P与第②种情况重合
综上所述，符合题意P的坐标为或或
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求函数解析式，图形与坐标，等腰三角形的判定与性质，二次函数的综合运用，理解题意和正确作图逐步求解是解题的关键．
15．（2021·河北中考）下图是某同学正在设计的一动画示意图，轴上依次有，，三个点，且，在上方有五个台阶（各拐角均为），每个台阶的高、宽分别是1和1．5，台阶到轴距离．从点处向右上方沿抛物线：发出一个带光的点．
（1）求点的横坐标，且在图中补画出轴，并直接指出点会落在哪个台阶上；
（2）当点落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与形状相同的抛物线，且最大高度为11，求的解析式，并说明其对称轴是否与台阶有交点；
（3）在轴上从左到右有两点，，且，从点向上作轴，且．在沿轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线下落的点能落在边（包括端点）上，则点横坐标的最大值比最小值大多少？
【注：（2）中不必写的取值范围】
【答案】（1），见解析，点会落在的台阶上；（2），其对称轴与台阶有交点；（3）．
【解析】
【分析】
（1）二次函数与坐标轴的交点坐标可以直接算出，根据点的坐标可以确定轴，利用函数的性质可以判断落在那个台阶上；
（2）利用二次函数图象的平移来求解抛物线，再根据函数的对称轴的值来判断是否与台阶有交点；
（3）抓住二次函数图象不变，是在左右平移，要求点横坐标的最大值比最小值大多少，利用临界点法，可以确定什么时候横坐标最大，什么时候横坐标最小，从而得解．
【详解】
解：（1）当，，
解得：，
在左侧，，
关于对称，
轴与重合，如下图：
由题意在坐标轴上标出相关信息，
当时，，
解得：，
，
∴点会落在的台阶上，坐标为，
（2）设将抛物线，向下平移5个单位，向右平移的单位后与抛物线重合，则抛物线的解析式为：，
由（1）知，抛物线过，将代入，
，
解得：（舍去，因为是对称轴左边的部分过），
抛物线:，
关于，且，
其对称轴与台阶有交点．
（3）由题意知，当沿轴左右平移，恰使抛物线下落的点过点时，此时点的横坐标值最大；
当，，
解得：（取舍），
故点的横坐标最大值为：，
当沿轴左右平移，恰使抛物线下落的点过点时，此时点的横坐标值最小；
当，，
解得：（舍去），
故点的横坐标最小值为：，
则点横坐标的最大值比最小值大：，
故答案是：．
【点睛】
本题综合性考查了二次函数的解析式的求法及图象的性质，图象平移，抛物线的对称轴，解题的关键是：熟练掌握二次函数解析式的求法及图象的性质，通过已知的函数求解平移后函数的解析式．
16．（2021·湖南长沙中考）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定，完成下列各题．
（1）若点与点是关于的“T函数”的图象上的一对“T点”，则______，______，______（将正确答案填在相应的横线上）；
（2）关于的函数（，是常数）是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”；如果不是，请说明理由；
（3）若关于的“T函数”（，且，，是常数）经过坐标原点，且与直线（，，且，是常数）交于，两点，当，满足时，直线是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．
【答案】（1）；（2）当时，关于的函数（是常数）不是“函数”，理由见解析；当时，关于的函数（是常数）是“函数”，它有无数对“点”；（3）直线总经过一定点，该定点的坐标为．
【解析】
【分析】
（1）先根据关于轴对称的点坐标变换规律可得的值，从而可得点的坐标，再将点的坐标代入“函数”即可得；
（2）分和两种情况，当时，设点与点是一对“点”，将它们代入函数解析式可求出，与矛盾；当时，是一条平行于轴的直线，是“函数”，且有无数对“点”；
（3）先将点代入可得，再根据“函数”的定义可得，从而可得，与直线联立可得是方程的两实数根，然后利用根与系数的关系可得，最后根据化简可得，从而可得，由此即可得出答案．
【详解】
解：（1）由题意得：点与点关于轴对称，
，
，
，
将点代入得：，
故答案为：；
（2）由题意，分以下两种情况：
①当时，
假设关于的函数（，是常数）是“函数”，点与点是其图象上的一对“点”，
则，
解得，与相矛盾，假设不成立，
所以当时，关于的函数（是常数）不是“函数”；
②当时，
函数是一条平行于轴的直线，是“函数”，它有无数对“点”；
综上，当时，关于的函数（是常数）不是“函数”；当时，关于的函数（是常数）是“函数”，它有无数对“点”；
（3）由题意，将代入得：，
，
设点与点是“函数”图象上的一对“点”，
则，解得，
，
联立得：，
“函数”与直线交于点，，
是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，
，
，
，即，
解得，
则直线的解析式为，
当时，，
因此，直线总经过一定点，该定点的坐标为．
【点睛】
本题考查了关于轴对称的点坐标变换规律、二次函数与一次函数的综合、一元二次方程根与系数的关系等知识点，掌握理解“函数”和“点”的定义是解题关键．
17．（2020·河北预测）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t>0）秒，抛物线经过点O和点P．已知矩形ABCD的三个顶点为、、．
（1）求c、b（用含t的代数式表示）；
（2）嘉琪认为：“当这条抛物线经过点B时，一定不会经过点C”请你通过计算说明他的说法对吗？
（3）当时，设抛物线分别与线段AB、CD交于点M、N．
①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由：若不变，求出∠AMP的值；②在矩形ABCD的内部（不含动界），把横、纵华标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．
【答案】（1），；（2）嘉琪说的正确，理由见解析；（3）①不变，②
【解析】
【分析】
⑴抛物线过原点O，把代入，求C．点P 用t表示，P（t,0）
再把，代入，求b即可，
（2）嘉琪说的正确 由（1）得y=x²-tx，把B（1，-5）代入求出t的值，求x=4时的函数值验证即可
（3）①不变．
在点P的运动过程中，A（1，0），P（t,0）,求出M点坐标，
求AM，与AP，知AM=AP，又是直角三角形即可，
②，
在矩形中共有8个好点分以下五种情况，
Ⅰ、左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：x=2时y2-1，
Ⅱ、左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方：则有-4＜y2＜-3，-2＜y3＜-1，
Ⅲ、左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：则有-3＜y2＜-2，-3＜y3＜-2，
Ⅳ、左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：则有-2＜y2＜-1，-4＜y3＜-3，
Ⅴ、左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：则有-1＜y2， y3＜-4，
综合即可．
【详解】
解：⑴抛物线过原点O，把代入，得．
点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动tS，P（t,0），
再把，代入，得，
t（t+b）=0，
∵，∴．
，
（2）嘉琪说的正确 ．
由（1）得y=x²-tx，把B（1，-5）代入-5=1-t得t=6
∴y=x²-6x，
当x=4时，y=16-24=-8≠-5，
∴嘉琪说的正确，
（3）①不变．
在点P的运动过程中，A（1，0），
如图，当时，，故．AM=t-1，
∵OP=t，
∴AP=t-1，
∴AP=t-1=AM，
∵矩形ABCD，，
∴．
∴
∠AMP的大小是不会变，且，
②
在矩形中共有8个好点
Ⅰ、左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解；
，
x=2时y-1，
即解得此时无公共解，
Ⅱ、左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方：
则有-4＜y2＜-3，-2＜y3＜-1即-4＜4-2t＜-3，-2＜9-3t＜-1，＜t＜4且＜t＜，解得＜t＜；
Ⅲ、左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：
则有-3＜y2＜-2，-3＜y3＜-2即-3＜4-2t＜-2，-3＜9-3t＜-2，无解；
Ⅳ、左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：则有-2＜y2＜-1，-4＜y3＜-3即-2＜4-2t＜-1，-4＜9-3t＜-3，无解；
Ⅴ、左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：
则有-1＜y2， y3＜-4即-1＜4-2t， 9-3t＜-4，无解；
综上所述，t的取值范围是：＜t＜．
【点睛】
此题考查了二次函数与点的关系，以及分类讨论的求解方法等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合与方程和不等式组思想的应用．
18．在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则称这个点为“美好点”，如图，过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形OAPB的周长与面积相等，则P为“美好点”．
（1）在点M（2，2），N（4，4），Q（﹣6，3）中，是“美好点”的有 ；
（2）若“美好点”P（a，﹣3）在直线y＝x+b（b为常数）上，求a和b的值；
（3）若“美好点”P恰好在抛物线y＝x2第一象限的图象上，在x轴上是否存在一点Q使得△POQ为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）N、Q；（2）a＝6，b＝﹣9或a＝﹣6，b＝3；（3）存在，点Q的坐标为（6，0）或（，0）．
【解析】
【分析】
（1）根据“美好点”的定义逐个验证即可；
（2）对于P点，对应图形的周长为：2×（|a|+3）=2|a|+6，面积为3|a|，因为点P是“美好点”，故2|a|+6=3|a|，即可求解；
（3）根据点P是“美好点”确定点P的坐标，设点Q的坐标为（x，0），再分以下三种情况：当∠POQ=90°时，此种情况不存在；当∠PQO=90°时，则PO2=PQ2+OQ2；当∠OPQ=90°时，则OQ2=PQ2+OP2，分别列出关于x的方程，解得x即可．
【详解】
解：（1）对于M点，对应图形的周长为：2×（2+2）＝8，面积为2×2＝4≠8，故点M不是“美好点”；
对于点N，对应图形的周长为：2×（4+4）＝16，面积为4×4＝16，故点N是“美好点”；
对于点Q，对应图形的周长为：2×（6+3）＝18，面积为6×3＝18，故点Q是“美好点”；
故答案为：N、Q；
（2）对于P点，对应图形的周长为2×（|a|+3）＝2|a|+6，面积为3|a|，
∵点P是“美好点”，
∴2|a|+6＝3|a|，解得：a＝±6，
将P（a，﹣3）代入y＝x+b得：﹣3＝a+b，则b＝﹣3﹣a，
∴当a=6时，b=-9；当a=-6时，b=3，
故a＝6，b＝﹣9或a＝﹣6，b＝3；
（3）存在，理由如下：
设点P的坐标为（m，n），则n＝m2（m＞0，n＞0），
由题意得：2m+2n＝mn，∴2m+m2＝m3，
解得：m＝6或﹣4（舍去）或0（舍去），
故点P的坐标为（6，3）；
设点Q的坐标为（x，0），
则PQ2＝（x﹣6）2+32＝（x﹣6）2+9，
PO2＝36+9＝45，
OQ2＝x2，
当∠POQ=90°时，∵点Q在x轴上，则∠POQ≠90°，此种情况不存在；
当∠PQO=90°时，则PO2=PQ2+OQ2，∴45=（x﹣6）2+9+ x2，解得x＝6或x=0（舍去）；
当∠OPQ=90°时，则OQ2=PQ2+OP2，∴x2=（x﹣6）2+9+45，解得x＝；
综上所述，符合条件的点Q的坐标为：（6，0）或（，0）．
【点睛】
本题考查了新定义问题，二次函数图象上的点，勾股定理，一次函数的图象上的点以及解一元二次方程等知识点，理解新定义是解题的关键，第（3）小问注意分类讨论思想的运用，避免漏解．