中考数学一轮复习考点精讲与分层训练专题02 二次根式（2份，原卷版+解析版）

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了解二次根式的概念，借助现实情境了解代数式
了解二次根式乘除运算法则，会进行简单的运算
了解最简二次根式的概念
了解二次根式的加减运算法则，会进行有关的简单运算
★简单； ★★易错； ★★★中等； ★★★★难； ★★★★★压轴
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc1546" 考点1：二次根式有意义的条件 PAGEREF _Tc1546 \h 3
\l "_Tc5836" 考点2：最简二次根式 PAGEREF _Tc5836 \h 9
\l "_Tc15273" 考点3：二次根式的性质 PAGEREF _Tc15273 \h 15
\l "_Tc17106" 考点4：二次根式的运算 PAGEREF _Tc17106 \h 22
\l "_Tc6789" 课堂总结：思维导图 PAGEREF _Tc6789 \h 31
\l "_Tc8339" 分层训练：课堂知识巩固 PAGEREF _Tc8339 \h 32
考点1：二次根式有意义的条件
（1）二次根式的概念：形如eq \r(a)(a≥0)的式子.
（2）二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0.
｛二次根式的概念★｝下列各式中，一定是二次根式的是
A．B．C．D．
｛二次根式有意义的条件★｝在函数中，自变量的取值范围是
A．B．且C．且D．且
｛二次根式有意义的条件★★｝若实数，满足，则的值是
A．1B．C．4D．6
｛二次根式有意义的条件★★｝已知，则的值为
A．6B．C．4D．
｛二次根式有意义的条件★★｝使等式成立的条件时 ．
｛二次根式的概念★｝在式子，，，，和中，是二次根式的有
A．3个B．4个C．5个D．6个
｛二次根式有意义的条件★｝如果是二次根式，那么应满足的条件是
A．B．C．D．
｛二次根式有意义的条件★｝若在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是
A．B．C．D．
｛二次根式有意义的条件★★｝成立的条件是
A．B．C．D．
｛二次根式有意义的条件★★｝已知实数满足，那么的值是 ．
（2021•内江）函数中，自变量的取值范围是
A．B．且C．D．且
（2021•日照）若分式有意义，则实数的取值范围为 ．
（2021•营口）若代数式有意义，则的取值范围是 ．
考点2：最简二次根式
最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式

｛最简二次根式★｝（2021•桂林）下列根式中，是最简二次根式的是
A．B．C．D．
｛最简二次根式★｝化简成最简二次根式： ； ．
｛最简二次根式★★｝二次根式、均为正数）化成最简二次根式，结果为 ．
｛最简二次根式★★｝将式子化为最简二次根式 ．
｛最简二次根式★｝下列根式中，不是最简二次根式的是
A．B．C．D．
｛最简二次根式★｝若二次根式是最简二次根式，则可取的最小整数是 ．
｛最简二次根式★★｝化简：化成最简二次根式为 ．
（2021•益阳）将化为最简二次根式，其结果是
A．B．C．D．
（2020•济宁）下列各式是最简二次根式的是
A．B．C．D．
（2020•西宁）下列二次根式中，最简二次根式的是
A．B．C．D．
考点3：二次根式的性质
（1）双重非负性：
①被开方数是非负数，即a≥0；
②二次根式的值是非负数，即≥0.
注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶幂、算式平方根、二次根式.
(2)两个重要性质：
①(eq \r(a))2＝a(a≥0)；②eq \r(a2)＝|a|＝；
(3)积的算术平方根：＝·(a≥0，b≥0)；
(4)商的算术平方根： (a≥0，b＞0)．

｛最简二次根式★★｝已知实数在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果是
A．B．C．1D．
｛最简二次根式★★｝三边分别为、、，为斜边，则代数式的化简结果为 ．
｛最简二次根式★★｝（2020秋•雁江区期末）已知，化简 ．
｛二次根式的性质★★｝化简的结果为
A．B．C．D．
｛二次根式的性质★★★｝（2021秋•浦东新区校级月考）设，其中为正整数，，则 ．
｛二次根式的性质★｝若，则的取值范围是
A．B．C．D．
｛二次根式的性质★｝当时，化简结果是
A．B．3C．D．5
｛二次根式的性质★★｝如图，字母的取值如图所示，化简： ．
｛二次根式的性质★★★｝（2018•凉山州）当时，则 ．
（2021•娄底）2、5、是某三角形三边的长，则等于
A．B．C．10D．4
（2021•荆门）下列运算正确的是
A． B． C．D．
（2020•呼伦贝尔）已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是
A．B．C．1D．
考点4：二次根式的运算
二次根式的加减法：先将各根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式．
二次根式的乘除法：
（1）乘法：·=(a≥0，b≥0)；
（2）除法： = (a≥0，b＞0)．
二次根式的混合运算：运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号）．

｛二次根式的乘除★｝ ．
｛二次根式的乘除★｝计算的结果正确的是
A．1B．2.5C．5D．6
｛同类二次根式★｝最简二次根式与是同类二次根式，则的值是 ．
｛同类二次根式★｝若二次根式与是同类二次根式，则 ．
｛二次根式的加减★｝若最简二次根式与可以合并，则的值为
A．2019B．C．2023D．
｛二次根式的加减★｝计算： ．
｛二次根式的加减★｝计算： ．
｛分母有理化★｝（德州·中考真题）化简的结果是 ．
｛分母有理化★｝化简结果正确的是
A．B．C．D．
｛二次根式的应用★｝古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为．如图，在中，，，所对的边分别记为，，，若，，，则的面积为
A．14B．20C．D．
｛二次根式的乘除★｝（聊城·中考真题）计算： ．
｛二次根式的乘除★｝（2021•铜仁市）计算 ．
｛二次根式的乘除★｝（2019•菏泽）已知，那么的值是 ．
｛同类二次根式★｝（2021秋•宝山区月考）已知最简二次根式和是同类二次根式，则 ．
｛同类二次根式★｝（2021春•饶平县校级月考）如果最简二次根式和是同类二次根式，则 ．
｛二次根式的加减★｝（2021秋•洛宁县月考）如图，从一个大正方形中可以裁去面积为和的两个小正方形，则阴影部分的周长为 ．
｛分母有理化★｝（2021秋•普陀区校级月考）分母有理化： ．
｛二次根式应用★★｝我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值为 ．
｛二次根式应用★★｝（2016•厦门）公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式得到的近似值．他的算法是：先将看出：由近似公式得到；再将看成，由近似值公式得到；依此算法，所得的近似值会越来越精确．当取得近似值时，近似公式中的是 ，是 ．
（2021•绵阳）计算的结果是
A．6B．C．D．
（2021•泰州）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是
A．与B．与C．与D．与
（2021•重庆）计算的结果是
A．7B．C．D．
（2021•包头）若，则代数式的值为
A．7B．4C．3D．
（2019•宜昌）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为．如图，在中，，，所对的边分别记为，，，若，，，则的面积为
A．B．C．18D．
课堂总结：思维导图
分层训练：课堂知识巩固
1．实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是
A．1B．2C．D．
2．射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为子弹的加速度，为枪筒的长．如果，，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是
A．B．C．D．
4．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是
A．B．C．D．
5．下列二次根式中，最简二次根式是
A．B．C．D．
6．若二次根式有意义，则的取值范围是
A．B．C．D．
7．二次根式中的取值范围是
A．B．C．D．
8．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是
A．B．C．D．
9．实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是
A．B．C．D．
10．二次根式有意义，则满足的条件是
A．B．C．D．
11．当时，化简结果是
A．B．3C．D．5
12．若是整数，则正整数的最小值是
A．4B．5C．6D．7
13．已知，则化简后为
A．B．C．D．
14．若，则的取值范围是
A．B．C．D．
15．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为
A．78 B．C．D．
16．如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为 ．
A．B．C．D．
17．使二次根式有意义的的取值范围是
A．B．C．D．
18．计算： ．
19．已知，．则
（1） ．（2） ．
20．已知2、5、是某三角形三边的长，则 ．
21．若分式有意义，则的取值范围是 ．
22．在中，的取值范围为 ．
23．要使式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
24．计算的结果是 ．
25．在式子中，的取值范围是 ．
26．已知，是实数，且满足，则的值是 ．
1．下列运算正确的是
A．B．
C．D．
2．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是
A．1B．2C．3D．4
3．把化成最简二次根式，正确的是
A．B．C．D．
4．要使有意义，则的取值范围为
A．B．C．D．
5．已知，则的化简结果是
A．B．C．D．
6．若代数式有意义，则实数的取值范围是
A．B．C．且D．且
7．下列运算正确的是
A．B．C．D．
8．已知非零实数，满足，则 ．
9．计算的结果是 ．
10．已知，，则代数式的值为 ．
11．若，化简 ．
12．设，，则 ．
1．若，，则的值为
A．B．C．D．
2．射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为子弹的加速度，为枪筒的长．如果，，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为
A．B．C．D．
3．下列二次根式中，与是同类二次根式的是
A．B．C．D．
4．已知，则
A．3B．C．D．
5．使函数有意义的所有整数的和是
A．B．C．0D．1
6．把化成最简二次根式，正确的是
A．B．C．D．
7．设，，则与的关系为
A．B．C．D．
8．已知，则的值为
A．6B．C．4D．
9．化简 ．
10．若，，则 ．
11．已知，则 ．