中考数学一轮复习考点精讲与分层训练专题06 一次方程（2份，原卷版+解析版）

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掌握等式的基本性质
能解一元一次方程
能解可化为一元一次方程的分式方程
掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组
能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型
★简单； ★★易错； ★★★中等； ★★★★难； ★★★★★压轴
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc168" 考点1：等式的性质与方程的概念 PAGEREF _Tc168 \h 3
\l "_Tc15552" 考点2：解一元一次方程 PAGEREF _Tc15552 \h 9
\l "_Tc19196" 考点:3：解二元一次方程 PAGEREF _Tc19196 \h 15
\l "_Tc18795" 考点4：一次方程的应用 PAGEREF _Tc18795 \h 21
\l "_Tc16551" 课堂总结：思维导图 PAGEREF _Tc16551 \h 36
\l "_Tc31115" 分层训练：课堂知识巩固 PAGEREF _Tc31115 \h 37
考点1：等式的性质与方程的概念
①等式的性质
（1）性质1：等式两边加或减同一个数或同一个整式所得结果仍是等式.即若a＝b，则a±c＝b±c .
（2）性质2：等式两边同乘（或除）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式.即若a＝b，则ac＝bc，(c≠0)．
（3）性质3：（对称性）若a=b,则b=a.
（4）性质4：（传递性）若a=b,b=c,则a=c.
②方程的概念
（1）一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程．
（2）二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．
（3）二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程．
（4）二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解．

下列式子中：①，②，③，④，⑤．是方程的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】方程的定义：含有未知数的等式叫方程．据此判断即可．
【解答】解：①，是方程；②，是多项式，不是方程；③，是不等式，不是方程；
④，是方程；⑤是方程．所以方程有①④⑤，共3个．故选：．
【点评】本题考查了方程的定义，正确区分方程与整式和不等式是解答本题的关键．
小丽同学在做作业时，不小心将方程■中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是，请问这个被污染的常数■是
A．4B．3C．2D．1
【分析】根据方程的解是，把代入■，解出方程即可．
【解答】解：把代入■，得■，解得■；故选：．
【点评】本题考查了方程的解，掌握代入计算法是解题关键．
根据等式的性质，下列各式变形正确的是
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由，得
【分析】根据等式的性质解答即可．
【解答】解：、，，原变形错误，故此选项不符合题意；、，，原变形正确，故此选项符合题意；、，，原变形错误，故此选项不符合题意；、，，原变形错误，故此选项不符合题意；故选：．
【点评】本题考查了等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质：等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
已知关于的方程是一元一次方程，则 5 ．
【分析】根据题意得出且，据此可得的值．
【解答】解：关于的方程是一元一次方程，
且，解得．故答案为：5．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，列出关于的方程是解此题的关键．
若是关于，的二元一次方程，则 ．
【分析】从二元一次方程满足的条件：含有2个未知数和最高次项的次数是1这两个方面考虑．
【解答】解：是关于，的二元一次方程，且，解得，故答案为：．
【点评】本题主要考查二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：
（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．
｛一元一次方程的解★｝是下列方程的解的有
①；②；③；④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】分别求出四个方程的解各是多少，判断出是所给方程的解的有多少个即可．
【解答】解：①，．②，，解得或3．③，或1．④，，是所给方程的解的有3个：②、③、④．故选：．
【点评】此题主要考查了方程的解，以及解一元一次方程、解二元一次方程的方法，要熟练掌握．
｛一元一次方程的解★｝若方程的解为，则的值为
A．10B．C．D．
【分析】把代入已知方程，列出关于的新方程，通过解新方程来求的值．
【解答】解：依题意，得，即，解得，．故选：．
【点评】本题考查了方程的解的定义．无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法．
｛方程的性质★｝下列变形符合等式性质的是
A．如果，那么B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【分析】利用等式的性质对每个等式进行变形即可找出答案．
【解答】解：、等式的两边都加3，可得，原变形错误，故此选项不符合题意；、等式的两边都乘，可得，原变形正确，故此选项符合题意；、等式的两边都除以，可得，原变形错误，故此选项不符合题意；、等式的两边都加，可得，原变形错误，故此选项不符合题意．故选：．
【点评】本题主要考查了等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
｛一元一次方程的概念★｝若是关于的一元一次方程，则 2或4 ．
【分析】只含有一个未知数（元，并且未知数的指数是1（次的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式是，是常数且．
【解答】解：是关于的一元一次方程，，解答或4．故答案为：2或4．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
｛二元一次方程的解★｝若是方程的一个解，则 ．
【分析】把与的值代入方程计算即可求出的值，再将变形为，整体代入即可求解．
【解答】解：是方程的一个解，，．
故答案为：．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．


（2018•河北）有三种不同质量的物体“”“”“”，其中，同一种物体的质量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是
A．B．
C．D．
【分析】直接利用已知盘子上的物体得出物体之间的重量关系进而得出答案．
【解答】解：设的质量为，的质量为，的质量为：，假设正确，则，，此时，，选项中都是，故选项错误，符合题意．故选：．
【点评】此题主要考查了等式的性质，正确得出物体之间的重量关系是解题关键．
（2019•呼和浩特）关于的方程如果是一元一次方程，则其解为 或或 ．
【分析】利用一元一次方程的定义判断即可．
【解答】解：关于的方程如果是一元一次方程，当时，方程为，解得：；当时，方程为，解得：；当，即时，方程为，
解得：，故答案为：或或．
【点评】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．
（2021•金华）已知是方程的一个解，则的值是 2 ．
【分析】把二元一次方程的解代入到方程中，得到关于的一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：把代入方程得：，，故答案为：2．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，把二元一次方程的解代入到方程中，得到关于的一元一次方程是解题的关键．
考点2：解一元一次方程
解一元一次方程的步骤
（1）去分母:方程两边同乘分母的最小公倍数，不要漏乘常数项；
（2）去括号：括号外若为负号，去括号后括号内各项均要变号；
（3）移项：移项要变号；
（4）合并同类项：把方程化成ax=－b(a≠0)；
（5）系数化为1：方程两边同除以系数a,得到方程的解x=－b/a.
｛解一元一次方程★｝整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值：
则关于的方程的解为
A．B．C．D．
【分析】首先根据题意，可得：，，据此求出的值是多少；然后根据解一元一次方程的方法，求出关于的方程的解为多少即可．
【解答】解：、1时，的值分别是、0，，，，，移项，可得：，合并同类项，可得：，系数化为1，可得：．故选：．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
｛解一元一次方程-去分母★｝在解方程时，在方程的两边同时乘以6，去分母正确的是
A．B．
C．D．
【分析】根据等式的性质，在方程的两边同时乘以6即可．
【解答】解：在解方程时，在方程的两边同时乘以6，去分母正确的是：．
故选：．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，注意等式的性质的应用．
｛解一元一次方程★｝对于两个不相等的有理数，，我们规定符号，表示，两数中较大的数，例如，．则方程，的解为
A．B．C．或D．1或2
【分析】分类讨论与的大小，利用题中的新定义化简已知方程，求出解即可．
【解答】解：当，即时，已知方程变形得：，解得：，舍去；当，即时，已知方程变形得：，解得：，则方程的解为．故选：．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．
｛解一元一次方程★｝解方程：
（1）；（2）．
【分析】（1）根据解一元一次方程的一般步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程；
（2）根据解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程；
【解答】解：（1），去括号，得，移项，得，
合并同类项，得；（2）方程两边都乘6，得，
去括号，得，移项，得，合并同类项，得，把系数化为1，得．
【点评】本题考查解一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．这是解题关键．
｛解一元一次方程-新定义★｝定义：若整数的值使关于的方程的解为整数，则称为此方程的“友好系数”．
（1）判断，是否为方程的“友好系数”，写出判断过程；
（2）方程 “友好系数”的个数是有限个，还是无穷多？如果是有限个，求出此方程的所有“友好系数”；如果是无穷多，说明理由．
【分析】（1）分别求出方程的解，然后进行判断即可；
（2）求出方程的解，根据是整数，也是整数进行求解即可．
【解答】解：（1）当时，，解得：，是方程的友好系数；
当时，，解得：，是方程的友好系数；
（2），，，为整数，，，解得：，要使的值为整数，则，，，，为整数，或或2．
【点评】本题考查了解一元一次方程，根据的值为整数得到，，，是解题的关键．
｛解一元一次方程★｝已知方程和方程的解相同，则的值为 ．
【分析】先求出第一个方程的解，把代入第二个方程，再求出即可．
【解答】解：解方程得：，把代入得：，
解得：，故答案为：．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，同解方程，解一元一次方程等知识点，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．
｛解一元一次方程★｝如果方程的解与关于的方程的解相同，则的值为 ．
【分析】先求出第一个方程的解，然后代入第二个方程得到关于的一元一次方程，再根据一元一次方程的解法进行求解即可．
【解答】解：解方程得：，由题意：的解为，
整理得：，解得：．故答案为：．
【点评】本题考查了同解方程，同解方程就是解相同的方程，本题先求出第一个方程的解是解题的关键．
｛解一元一次方程★｝整式的值随的取值不同而不同，如表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解是
A．B．C．D．
【分析】根据图表求得一元一次方程为，即可得出答案．
【解答】解：当时，，，，时，，
，，为，解得，．故选：．
【点评】本题主要考查解一元一次方程，正确得出一元一次方程是解题的关键．
｛解一元一次方程★｝如果，那么的值为
A．B．或1C．或D．或
【分析】根据绝对值的意义得到或，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：，或，或．故选：．
【点评】考查绝对值方程的解法，绝对值方程要转化为整式方程来求解．要注意，所以方程有两个解．
｛解一元一次方程★｝解下列方程：
（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）移项合并，把未知数系数化为1，求出解即可；（2）去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解即可；（3）去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解即可．
【解答】解：（1）移项，得：，合并同类项，得：，系数化为1，得：；
（2）去括号，得：，移项，得：，合并同类项，得：，
系数化为1，得：；
（3）去分母，得：，去括号，得：，
移项，得：，合并同类项，得：，系数化为1，得：．
【点评】此题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键．
｛解一元一次方程-新定义★｝用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如：．
（1）求的值；（2）若，求的值；
（3）若，（其中为有理数），试比较，的大小．
【分析】（1）根据新运算列出算式是计算；（2）根据新运算列出方程，解一元一次方程；
（3）先新运算列出算式，合并同类项，把、化为最简的式子，求出它们的差，进行比较大小．
【解答】解：（1）；
（2），，，，
，解得；（3），，，，，，，
，，，．
【点评】本题主要考查了解一元一次方程、有理数混合运算，掌握混合运算顺序及解一元一次方程的步骤，对新运算的理解是列式的关键，比较、大小，关键是通过化简后最简代数式差的正负情况来判断．


（2021•温州）解方程，以下去括号正确的是
A．B．C．D．
【分析】可以根据乘法分配律先将2乘进去，再去括号．
【解答】解：根据乘法分配律得：，去括号得：，故选：．
【点评】本题考查了解一元一次方程，去括号法则，解题的关键是：括号前面是减号，把减号和括号去掉，括号的各项都要变号．
（2021•广元）解方程：．
【分析】解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此解答即可．
【解答】解：，，，，，
．
【点评】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键．
考点:3：解二元一次方程
思路
消元，将二元一次方程转化为一元一次方程.
方法
(1)代入消元法:从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把“它”代入另一个方程，进行求解；
(2) 加减消元法：把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法.

｛解二元一次方程★｝若是二元一次方程，则
A．1B．2C．3D．1或2
【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数次数为1这一方面考虑，先求出常数、的值，再进一步计算．
【解答】解：由是二元一次方程，得，．解得，，，
故选：．
【点评】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程是含有两个未知数且未知数的次数都为1，运用二元一次方程的定义可以求出字母常数的值，同时注意结合有理数的运算确定字母的取值．
｛二元一次方程的定义★｝方程，，，，中二元一次方程的个数是
A．1B．2C．3D．4
【分析】二元一次方程满足的条件：只含有2个未知数，未知数的最高次数是1的整式方程．
【解答】解：根据二元一次方程的定义，则是二元一次方程的是，，共2个．故选：．
【点评】本题主要考查二元一次方程的定义，解题的关键是掌握有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．
｛二元一次方程的解★｝已知关于，的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为 ．
【分析】根据题意①②得，然后根据题意列出方程组即可求得公共解．
【解答】解：①②得，，，，
根据题意，这些方程有一个公共解，与的取值无关，，解得．故答案为：．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，二元一次方程组的基本解法有代入消元法和加减消元法．
｛解二元一次方程★｝解方程组：
（1）；（2）．
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】（1），解：由②得：③，将③代入①得，
解得，将代入③得：，原方程的解为；
（2），解：由①得：③，将③代入①得：，解得，
将代入③得：，原方程的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
｛二元一次方程的解★｝定义一种新的运算：☆，例如：3☆．若☆，且关于，的二元一次方程，当，取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为 ．
【分析】根据“☆，☆”得到，代入方程得到，根据“当，取不同值时，方程都有一个公共解”，得到关于、的方程组，解之即可．
【解答】解：☆，☆，，即，则方程可转化为，则，当，取不同值时，方程都有一个公共解，
，解得，故答案为：．
【点评】本题考查了新定义和二元一次方程的解，解题的关键是得到关于、的方程组．
｛二元一次方程的定义★｝若是二元一次方程，则 3 ．
【分析】先根据二元一次方程的定义得出，，据此可得、的值，再代入计算可得．
【解答】解：是二元一次方程，，，，，
则．故答案为：3．
【点评】本题主要考查二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
｛解二元一次方程★｝解方程组：
（1）；（2）．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求解即可；
（2）方程组整理后，再利用加减消元法求解即可．
【解答】解：（1），①②，得，解得，把代入②，得，
解得，故方程组的解为；（2）方程组整理，得，①②，得，解得，把代入①，得，解得，故方程组的解为．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
｛解二元一次方程★｝已知方程组与有相同的解，则 144 ．
【分析】由题意可知，有一组、值同时满足于上述四个方程，把已知系数的方程联立为一个方程组，进行求解，将可求出、．然后把所求分别代入令两个方程，便可求出、，最后代入则中求解即可．
【解答】解：因为方程组与有相同的解，所以有，解得．
将其代入，，得，解得．则．
【点评】本题需要对二元一次方程组的解有深刻的理解，从而明确该题中的四个方程有相同解，进而重新组合方程


（2021•眉山）解方程组：．
【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：方程组整理得：，①②得：，解得：，
把代入②得：，则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
（2020•黑龙江）若是二元一次方程组的解，则的算术平方根为
A．3B．3，C．D．，
【分析】把与的值代入方程组计算求出的值，即可求出所求．
【解答】解：把代入方程组得：，①②得：，则3的算术平方根为．
故选：．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
（2020•朝阳）已知关于、的方程的解满足，则的值为 5 ．
【分析】①②可得，然后列出关于的方程求解即可．
【解答】解：，①②，得，，，
，．故答案为：5．
【点评】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．
解答．
考点4：一次方程的应用
①列方程(组)解应用题的一般步骤：
（1）审题：审清题意，分清题中的已知量、未知量；
（2）设未知数；
（3）列方程(组)：找出等量关系，列方程（组）；
（4）解方程(组)；
（5）检验：检验所解答案是否正确或是否满足符合题意；
（6）作答：规范作答，注意单位名称．
②常见题型及关系式：
（1）利润问题：售价=标价×折扣，销售额=售价×销量，利润=售价－进价，利润率=利润/进价×100%.
（2）利息问题：利息=本金×利率×期数，本息和=本金+利息.
（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间.
（4）行程问题：路程=速度×时间.
①相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程；
②追及问题：a.同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；b.同时不同地出发：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程.

｛★★｝（2019年湖北省荆门市中考数学试题）欣欣服装店某天用相同的价格卖出了两件服装，其中一件盈利，另一件亏损，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是
A．盈利B．亏损
C．不盈不亏D．与售价有关
【答案】B
【解析】设第一件衣服的进价为元，
依题意得：，设第二件衣服的进价为元，
依题意得：，，
整理得：，该服装店卖出这两件服装的盈利情况为：，
即赔了元，故选B．
｛★｝（湖北黄石市新建中学2019年中考一模数学试题）某车间原计划13小时生产一批零件，后来每小时多生产10件，用了12小时不但完成任务而且还多生产60件，设原计划每小时生产x个零件，则所列方程为
A．13x12x1060B．13x12x1060
C．D．
【答案】A
【解析】设原计划每小时生产x个零件，则实际每小时生产（x+10）个零件．
根据等量关系列方程得：12（x+10）=13x+60．即: 13x12x1060，故选：A．
｛★｝（2019年湖南省株洲市中考数学试题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？“其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走100步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走_____步才能追到速度慢的人．
【答案】250
【解析】设走路快的人追上走路慢的人所用时间为，根据题意得：，解得：，∴．答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人．故答案是：250．
｛★｝（黑龙江省哈尔滨市道里区201届九年级中考二模数学试题）某车间有22名工人，每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需配2个螺母，为使生产的螺钉和螺母刚好配套，若设x名工人生产螺钉，依题意列方程为
A．1200x＝2000（22﹣x）B．1200x＝2×2000（22﹣x）
C．1200（22﹣x）＝2000xD．2×1200x＝2000（22﹣x）
【答案】D
【解析】设每天安排x个工人生产螺钉，则（22-x）个工人生产螺母，利用一个螺钉配两个螺母．
由题意得：2×1200x=2000（22-x），即2×1200x=2000（22-x），故选D．
｛★｝（湖南省岳阳市2019年中考数学试题）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺.问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布__________尺.
【答案】
【解析】设第一天织布x尺，则第二天织布2x尺，第三天织布4x尺，第四天织布8x尺，第五天织布16x尺，根据题意可得：x+2x+4x+8x+16x＝5，解得：，即该女子第一天织布尺，故答案为：.
｛★｝（2021•陕西）一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价．
【分析】设这种服装每件的标价是元，根据“这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等”从而得出方程，解方程即可求解；
【解答】解：设这种服装每件的标价是元，根据题意得，，解得，
答：这种服装每件的标价为110元．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，此题应用比较广泛，设出标价得出方程是解决问题的关键．
｛★｝（2020•山西）2020年5月份，省城太原开展了“活力太原乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元（每次只能使用一张）．某品牌电饭煲按进价提高后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元．求该电饭煲的进价．
【分析】设该电饭煲的进价为元，则售价为元，根据某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元列出方程，求解即可．
【解答】解：设该电饭煲的进价为元，则标价为元，售价为元，
根据题意，得，解得．答：该电饭煲的进价为580元．
【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
｛★｝一电商出售运动包时，将一种运动双肩包按进价提高作为标价，然后再按标价的8.5折出售，这样电商每卖出一个运动双肩包可赚取38元．试问这种运动双肩包每个进价是多少元？
【分析】设这种运动双肩包每个进价是元，根据题意知；利润总的售价总进价．列方程解可得．
【解答】解：设这种运动双肩包每个进价是元．由题意得．解得；．
答：这种运动双肩包每个进价是200元．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解本题的关键是找等量关系．
｛★｝（2019•安徽）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？
【分析】设甲工程队每天掘进米，则乙工程队每天掘进米．根据“甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米”列出方程，然后求工作时间．
【解答】解：设甲工程队每天掘进米，则乙工程队每天掘进米，由题意，得，
解得，所以乙工程队每天掘进5米，（天答：甲乙两个工程队还需联合工作10天．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得出两队的工效，进而得出等量关系是解题关键．
｛★｝（2021•泰州）甲、乙两工程队共同修建的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？
【分析】设甲工程队原计划平均每月修建，乙工程队原计划平均每月修建，则两队原计划平均每月修建，技术创新后两队原计划平均每月修建，根据原计划30个月完工，通过技术创新提前5个月完工为等量关系即可列出分式方程，求解即可求出结果．
【解答】解：设甲工程队原计划平均每月修建，乙工程队原计划平均每月修建，
根据题意得，，解得，
答：甲工程队原计划平均每月修建2 ，乙工程队原计划平均每月修建3 ．
【点评】本题考查了二元一次方程组应用，能够根据时间找出等量关系是解决问题的关键．
｛★｝为了打通城市和景区的交通线路，某市利用高架桥和钻隧道等技术，缩短了城市和景区的距离，使得两地总里程比原来缩短了26千米，修建新路线后高铁行驶速度比原来火车行驶速度的3倍还多9千米，原来的火车行完全程用时3小时，现在高铁用时50分钟，求开通后高铁的平均速度是多少千米小时？
【分析】设原来火车的速度为千米小时，则高铁的平均速度是千米小时，再根据开通高铁后两地总里程比原来缩短了26千米列出方程即可．
【解答】解：设原来火车的速度为千米小时，则高铁的平均速度是千米小时，
由题意得：，解得：，当时，（千米小时），
答：开通后高铁的平均速度是210千米小时．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，关键是根据路程相等列出方程．
｛★｝甲、乙两人同时从地去地，、两地相距12千米，甲骑自行车，乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍还快2千米时，甲到达立刻返回在途中遇到乙，这时距他们出发时已过了3小时，求乙的速度．
【分析】根据题意，可以列出相应的方程，从而可以求得乙的速度．
【解答】解：设乙的速度为千米小时，则甲的速度为千米小时，，
解得，答：乙的速度为2千米小时．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
｛★｝列方程解应用题：
甲列车从地开往地，每小时行驶60千米，乙列车同时从地开往地，每小时行驶90千米．已知，两地相距．
（1）经过多长时间两车相遇；
（2）两车相遇的地方离地多远？
【分析】（1）设两车相遇时间为小时，根据所行的路程和为，列出方程求得相遇时间即可；
（2）用（1）求出的时间乘以甲列车从地开往地速度，即可得出两车相遇的地方离地的距离．
【解答】解：（1）设经过小时两车相遇，根据题意得：
，
解得：，答：经过小时两车相遇；
（2）根据题意得：（千米），答：两车相遇的地方离地80千米．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，掌握行程问题中的基本数量关系是解决问题的关键．
｛★｝张翔从学校出发骑自行车去县城，中途因道路施工步行一段距离，后到达县城．他骑车的平均速度是，步行的平均速度是，路程长，他骑车与步行各用多少时间？
【分析】首先设他骑车用了小时，根据骑车时间步行时间小时表示出步行时间，再由骑车路程步行路程千米，根据等量关系列出方程，解方程即可．
【解答】解：设他骑车所用时间为小时，则他步行的时间为：小时，
根据题意，得：，解得：，则他步行时间为：（小时）．
答：他骑车用了1.25小时，步行用了0.25小时．
【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，关键是弄懂题意，根据题目中的时间关系和路程总和为20千米列出方程．
｛★★｝一艘轮船在、两个港口之间航行，顺流需要4个小时，逆流需要5个小时，已知水流速度是每小时2千米，求轮船在静水中的速度．
【分析】设轮船在静水中的速度为千米小时，则顺流的速度为千米小时，逆流的速度为千米小时，根据路程速度时间结合、两个港口之间的路程相等，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设轮船在静水中的速度为千米小时，则顺流的速度为千米小时，逆流的速度为千米小时，依题意，得：，解得：．
答：轮船在静水中的速度为18千米小时．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
｛★｝一项工程，甲单独做要10天，乙单独做要15天，丙单独做要20天．三人合做期间，甲因故请假，工程6天完工，请问甲请了几天假？
【分析】设甲请了天假，根据三人的总工作量是“1”列出方程并解答．
【解答】解：设甲请了天假，由题意知，．解得．答：甲请了3天假．
【点评】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，搞清每一步所求的问题与条件之间的关系，选择正确的数量关系解答．
｛★｝为提高学生综合素质，亲近自然，励志青春，某学校组织学生举行“远足研学”活动，先以每小时6千米的速度走平路，后又以每小时3千米的速度上坡，共用了3小时；原路返回时，以每小时5千米的速度下坡，又以每小时4千米的速度走平路，共用了4小时，问平路和坡路各有多远．
【分析】可以设平路为千米，坡路为千米，根据往返的用时不同可得到两个关于、的方程，求方程组的解即可
【解答】解：设平路有千米，坡路有千米，
由题意可知，解得，答：平路有千米，坡路有千米．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
｛★★｝（2017•岳阳）我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等．第一次他们领来这批书的，结果打了16个包还多40本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了9个包，那么这批书共有多少本？
【分析】（方法一）设这批书共有本，根据每包书的数目相等．即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
（方法二）设第一次领来本书，第二次领来本书，根据第一次领来全部书的结合每包书的数目相等，即可列出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：（方法一）设这批书共有本，
根据题意得：，解得：，．答：这批书共有1500本．
（方法二）设第一次领来本书，第二次领来本书，
根据题意得：，解得：，．答：这批书共有1500本．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用（二元一次方程组的应用），解题的关键是：（方法一）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（方法二）找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
｛★★｝（2018•长沙）随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．
（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？
【分析】（1）设打折前甲品牌粽子每盒元，乙品牌粽子每盒元，根据“打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据节省钱数甲品牌粽子节省的钱数乙品牌粽子节省的钱数，即可求出节省的钱数．
【解答】解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒元，乙品牌粽子每盒元，
根据题意得：，解得：．
答：打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元．
（2）（元．
答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，列式计算．
｛★｝（2017•福建）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程（组解应用题的方法求出问题的解．
【分析】设鸡有只，兔有只，根据等量关系：上有三十五头，下有九十四足，可分别得出方程，联立求解即可得出答案．
【解答】解：设鸡有只，兔有只，鸡有一个头，两只脚，兔有1个头，四只脚，
结合上有三十五头，下有九十四足可得：，解得：．答：鸡有23只，兔有12只．
【点评】此题考查了二元一次方程的知识，解答本题的关键是仔细审题，根据等量关系得出方程组，难度一般．
｛★★｝甲、乙两个药业集团共有药品库存50吨，为抗击疫情支援灾区，甲集团捐赠出库存的药品，乙集团捐赠出库存的药品，组织车辆连夜送往抗疫最前线．若两个药业集团所捐赠的药品数量相同，那么甲，乙两药业集团原来各自的药品库存量有多少吨？
【分析】设甲药业集团原来的药品库存量有吨，乙药业集团原来的药品库存量有吨，根据“甲、乙两个药业集团共有药品库存50吨，甲集团库存与乙集团库存的药品数量相同”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设甲药业集团原来的药品库存量有吨，乙药业集团原来的药品库存量有吨，
依题意得：，解得：．
答：甲药业集团原来的药品库存量有20吨，乙药业集团原来的药品库存量有30吨．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
｛★★｝某工厂用如图①所示的长方形和正方形纸板，做成如图②所示的竖式与横式两种长方形形状的无盖纸盒．现有正方形纸板150张，长方形纸板300张，若这些纸板恰好用完，则可制作横式、竖式两种纸盒各多少个？
【分析】设制作竖式纸盒个，生产横式纸盒个．根据生产竖式纸盒用的正方形纸板生产横式纸盒用的正方形纸板张；生产竖式纸盒用的长方形纸板生产横式纸盒用的长方形纸板张．列方程组即可得到结论．
【解答】解：设制作竖式纸盒个，生产横式纸盒个．
由题意得，解得：．
答：可制作横式纸盒60个、竖式纸盒30个．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出等量关系式即可求解．
｛★★｝某公司需要粉刷一些相同的房间，经调查3名师傅一天粉刷8个房间，还剩刷不完；5名徒弟一天可以粉刷9个房间；每名师傅比徒弟一天多刷的墙面．
（1）求每个房间需要粉刷的面积；
（2）该公司现有36个这样的房间需要粉刷，若只聘请1名师傅和2名徒弟一起粉刷，需要几天完成？
（3）若来该公司应聘的有3名师傅和10名徒弟，每名师傅和每名徒弟每天的工资分别是240元和200元，该公司要求这36个房间要在2天内粉刷完成，问人工费最低是多少？
【分析】（1）设每个房间需要粉刷的面积为，每名徒弟一天粉刷的墙面，则每名师傅一天粉刷的墙面，根据“3名师傅一天粉刷8个房间，还剩刷不完；5名徒弟一天可以粉刷9个房间”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）由（1）可得出师傅和徒弟一天的粉刷量，用工作时间工作总量工作效率，即可求出结论；
（3）设聘请名师傅和名徒弟完成粉刷任务，根据这36个房间要在2天内粉刷完成，即可得出关于，的二元一次不等式，由为非负整数，且，可知分四种情况考虑，结合，且为整数，可得出各情况下所需最少人工费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设每个房间需要粉刷的面积为，每名徒弟一天粉刷的墙面，则每名师傅一天粉刷的墙面，依题意，得：，解得：．
答：每个房间需要粉刷的面积为．
（2）由（1）可知：每名徒弟一天粉刷的墙面，每名师傅一天粉刷的墙面，
（天．答：需要6天完成．
（3）设聘请名师傅和名徒弟完成粉刷任务，
依题意，得：，
．为非负整数，且，当时，，，且为整数，
，此时所需人工费为（元；当时，，，且为整数，
时，所需人工费较低，此时所需人工费为（元；当时，，，且为整数，时，所需人工费较低，此时所需人工费为（元；当时，，，且为整数，时，所需人工费较低，此时所需人工费为（元．，人工费最低为3840元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（二元一次方程）是解题的关键．
（2021•武汉）我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问人数，物价各是多少？若设共有人，物价是钱，则下列方程正确的是
A．B．
C．D．
【分析】根据人数总钱数每人所出钱数，得出等式即可．
【解答】解：设共有人，根据题意可得：84，设物价是钱，根据题意可得：
．故选：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确找出等量关系是解题关键．
（2019•福建）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问君每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读个字，则下面所列方程正确的是
A．B．
C．D．
【分析】设他第一天读个字，根据题意列出方程解答即可．
【解答】解：设他第一天读个字，根据题意可得：，故选：．
【点评】此题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
（2021•烟台）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将数字分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则的值为 2 ．
【分析】利用幻方中每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，可求出幻方右下角及第二行中间的数字，再利用幻方中对角线上的数字之和为15，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：幻方右下角的数字为，
幻方第二行中间的数字为．依题意得：，解得：．故答案为：2．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及数字常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
（2021•北京）某企业有，两条加工相同原材料的生产线．在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时；在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到，两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为 ．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为 ．
【分析】设分配到生产线的吨数为吨，则分配到生产线的吨数为吨，依题意可得，然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为，进而求解即可得出答案．
【解答】解：设分配到生产线的吨数为吨，则分配到生产线的吨数为吨，依题意可得：
，解得：，分配到生产线的吨数为（吨，
分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为；
第二天开工时，给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料，
加工时间相同，，解得：，，故答案为：；．
【点评】本题主要考查一元一次方程、二元一次方程的应用及比例的基本性质，熟练掌握一元一次方程的应用及比例的基本性质是解题的关键．
（2021•绵阳）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场从6月12日起开始打折促销，肉粽六折，白粽七折，打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元．轩轩同学想在今天中考结束后，为敬老院送肉粽和白粽各5盒，则他6月13日购买的花费比在打折前购买节省 145 元．
【分析】设打折前每盒肉粽的价格为元，每盒白粽的价格为元，根据“打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出肉粽和白粽的单价，再利用节省的钱数打折前购买的总费用打折后购买的总费用，即可求出节省的钱数．
【解答】解：设打折前每盒肉粽的价格为元，每盒白粽的价格为元，
依题意得：，解得：，
．故答案为：145．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（2021•兴安盟）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其中一次方程组是用算筹布置而成，如图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是，类似的，图（2）所示的算筹图用方程组表示出来，就是 ．
【分析】根据题意和图（1），可知第一个小棍数代表几个，第二个小棍数代表几个，最后的代表常数，然后即可根据图（2），写出相应的方程组．
【解答】解：由题意可得，
图（2）所示的算筹图用方程组表示出来，就是，故答案为：．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．
课堂总结：思维导图
分层训练：课堂知识巩固
1．（2022秋•余庆县期末）下列方程变形中，正确的是
A．方程，去分母得
B．方程，去括号得
C．方程，系数化为1得
D．方程，移项得
【分析】根据等式的性质，逐项判断即可．
【解答】解：方程，去分母得，选项符合题意；
方程，去括号得，选项不符合题意；
方程，系数化为1得，选项不符合题意；
方程，移项得，选项不符合题意．故选：．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，注意等式的性质的应用．
2．（2021秋•大方县校级期末）设，，是有理数，则下列结论正确的是
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【分析】根据等式的性质一一判断即可．
【解答】解：、若，则，原变形错误，故此选项不符合题意；
、原变形正确，故此选项符合题意；
、当时，原变形错误，故此选项不符合题意；
、应该是：若，则，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
3．（2022•六盘水）我国“型”导弹俗称“东风快递”，速度可达到26马赫马赫米秒），则“型”导弹飞行多少分钟能打击到12000公里处的目标？设飞行分钟能打击到目标，可以得到方程
A．B．
C．D．
【分析】根据速度时间路程列方程，时间单位换算成分，路程单位换算成公里即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：，
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，掌握1公里千米米是解题的关键．
4．（2022•黔西南州）小明解方程的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得①
去括号，得②
移项，得③
合并同类项，得④
以上解题步骤中，开始出错的一步是
A．①B．②C．③D．④
【分析】对题目的解题过程逐步分析，即可找出出错的步骤．
【解答】解：方程两边同乘6应为：，出错的步骤为：①，故选：．
【点评】本题考查解一元一次方程，解题关键在于能准确观察出出错的步骤．
5．（2022•西宁）在数学活动课上，兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．如图所示，在轻质木杆处用一根细线悬挂，左端处挂一重物，右端处挂钩码，每个钩码质量是．若，，挂3个钩码可使轻质木杆水平位置平衡．设重物的质量为，根据题意列方程得
A．B．C．D．
【分析】利用重物的质量的长度个钩码的质量的长度，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：．故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
6．（2022•营口）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马天可以追上慢马，则下列方程正确的是
A．B．
C．D．
【分析】利用路程速度时间，结合天快马比慢马多走的路程为慢马12天走的路程，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：．故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7．（2022•十堰）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒斗，那么可列方程为
A．B．
C．D．
【分析】根据共换了5斗酒，其中清酒斗，则可得到醑酒斗，再根据拿30斗谷子，共换了5斗酒，即可列出相应的方程．
【解答】解：设清酒斗，则醑酒斗，由题意可得：，故选：．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
8．（2022•台湾）根据如图中两人的对话纪录，求出哥哥买游戏机的预算为多少元？
A．3800B．4800C．5800D．6800
【分析】设哥哥买游戏机的预算为元，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可得出答案．
【解答】解：设哥哥买游戏机的预算为元，由题意得：，
解得：，故选：．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出一元一次方程是解决问题的关键．
9．（2022秋•林州市期中）已知是关于的一元一次方程，则的值为
A．B．C．2D．0
【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案．只含有一个未知数（元，且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．
【解答】解：是关于的一元一次方程，
，解得．故选：．
【点评】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确运用一元一次方程的定义．
10．（2021秋•开江县期末）如图，正方形的轨道上有两个点甲与乙，开始时甲在处，乙在处，它们沿着正方形轨道顺时针同时出发，甲的速度为每秒，乙的速度为每秒，已知正方形轨道的边长为，则乙在第2022次追上甲时的位置
A．上B．上C．上D．上
【分析】根据题意列一元一次方程，然后观察规律，四次一循环，即可求得结论．
【解答】解：设乙走秒第一次追上甲，
根据题意，得，
解得，
乙走1秒第一次追上甲，则乙在第1次追上甲时的位置是上；
设乙再走秒第二次追上甲，
根据题意，得，解得，
乙再走2秒第二次追上甲，则乙在第2次追上甲时的位置是上；
同理：乙再走2秒第三次次追上甲，则乙在第3次追上甲时的位置是上；
同理乙再走2秒第四次追上甲，则乙在第4次追上甲时的位置是上；
乙在第5次追上甲时的位置又回到上；
，
乙在第2022次追上甲时的位置是上．
故选：．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是寻找规律确定位置．
11．（2021秋•宜春期末）若方程是关于的一元一次方程，则
A．1B．2C．3D．1或3
【分析】根据一元一次方程的定义得出且，再求出即可．
【解答】解：方程是关于的一元一次方程，
且，
即或1且，
，
故选：．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，能根据一元一次方程的定义得出和是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次的整式方程，叫一元一次方程．
12．（2021秋•綦江区期末）如图，表中给出的是某月的月历，任意用“”型框选中7个数（如阴影部分所示），则这7个数的和不可能是
A．63B．70C．98D．105
【分析】设最中间的数为，根据题意列出方程即可求出判断．
【解答】解：设最中间的数为，
这7个数分别为、、、、、、，
这7个数的和为：，
当时，此时，
当时，此时，
当时，此时，
当时，此时，
由图可知：14的左没有数字，则这7个数的和不可能是98．
故选：．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．
13．（2022•郑州二模）《九章算术》中第七章《盈不足》记载了一个问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“现有一些人合伙购买物品，若每人出8钱，则多出3钱；若每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品价格各是多少？”设有个人，物品价格为钱，则下列方程组中正确的是
A．B．
C．D．
【分析】根据每人出8钱，则多出3钱，可得，根据每人出7钱，则还差4钱，可得，从而可以列出相应的方程组．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
14．（2022春•鼓楼区校级期末）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价几何？条件部分的译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．若设共有人，物品价格元，则下面所列方程组正确的是
A．B．
C．D．
【分析】根据“每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意，得：．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
15．（2022春•廉江市期末）已知有若干片相同的拼图，其形状如图1所示．当4片拼图紧密拼成一列时，总长度为，如图2所示；当10片拼图紧密拼成一列时，总长度为，如图3所示，则图1中的拼图长度为
A．B．C．D．
【分析】设图1中一个拼图中去掉半圆的宽度为，半圆的半径长为，由题意：当4片拼图紧密拼成一列时，总长度为，如图2所示；当10片拼图紧密拼成一列时，总长度为，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设图1中一个拼图中去掉半圆的宽度为，半圆的半径长为，
由题意得：，
解得：，
则，
即图1中的拼图长度为，
故选：．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
16．（2022春•肇源县期末）实数，满足方程组，则的值为
A．3B．C．5D．
【分析】用整体思想解此题，①②得，等式两边除以3得出结果．
【解答】解：
①②得，
，
故选：．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解、二元一次方程的解，掌握整体思想在本题中的应用是解题关键．
17．（2022•鸡冠区校级一模）新型冠状病毒传染性非常强，多是通过飞沫，接触，还有气溶胶传播．所以一定要做好个人防护，尽量少外出，更不要聚集，佩戴医用外科口罩是非常有效的个人防护．为了个人防护，小红用40元钱买了，两种型号的医用外科口罩（两种型号都买），型每包6元，型每包4元，在40元全部用尽的情况下，有几种购买方案
A．2种B．3种C．4种D．5种
【分析】设可以购买包型口罩，包型口罩，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出共有3种购买方案．
【解答】解：设可以购买包型口罩，包型口罩，
依题意得：，
．
又，均为正整数，
或或，
共有3种购买方案．
故选：．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
18．（2022春•射洪市期中）已知二元一次方程组，若用加减法消去，则正确的是
A．①②B．①②C．①②D．①②
【分析】用加减法消去需要将方程②①．
【解答】解：用加减法消去，
需①②．
故选：．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意加减消元是根据要消的未知数的系数确定如何消元．
1．（2022秋•北辰区校级月考）若ma＝mb，那么下列等式不一定成立的是（ ）
A．ma+1＝mb+1B．ma﹣3＝mb﹣3
C．a＝bD．﹣ma﹣1＝﹣mb﹣1
【分析】根据等式的性质即可求出答案．
【解答】解：A．∵ma＝mb，
∴ma+1＝mb+1，原变形正确，故本选项不符合题意；
B．∵ma＝mb，
∴ma﹣3＝mb﹣3，原变形正确，故本选项不符合题意；
C．当m＝0时，由ma＝mb不能得出a＝b，原变形错误，故本选项符合题意；
D．∵ma＝mb，
∴﹣ma＝﹣mb，
∴﹣ma﹣1＝﹣mb﹣1，原变形正确，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键．
2．（2022秋•临平区月考）用“”定义一种新的运算：对于任何有理数和，规定．有下列结论：
①；
②；
③若，则．
正确的是
A．①③B．①②C．②③D．①②③
【分析】各式利用题中的新定义计算即可求出值．
【解答】解：根据题中的新定义得：
①
，符合题意；
②
，符合题意；
③若，
整理得：，
即，
去分母得：，
解得：，符合题意．
故选：．
【点评】此题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
3．（2021秋•防城港期末）根据等式的性质变形正确的是
A．若，则B．若，则
C．，则D．，则
【分析】依据等式的性质解答即可．
【解答】解：、等式两边同时减去，再同时减去2得到，原变形错误，故此选项不符合题意；
、等式两边同时乘3得到，原变形错误，故此选项不符合题意；
、等式两边同时乘得到，原变形正确，故此选项符合题意；
、等式两边同时乘3得到，原变形错误，故此选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．要注意：等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
4．（2021秋•承德期末）解一元一次方程的过程就是通过变形，把一元一次方程转化为的形式，下面是解方程的主要过程，方程变形对应的依据错误的是
解：原方程可化为（①）
去分母，得（②）
去括号，得（③）
移项，得（④）
合并同类项，得（合并同类项法则）
系数化为1，得（等式的基本性质
A．①分数的基本性质B．②等式的基本性质2
C．③乘法对加法的分配律D．④加法交换律
【分析】按照解一元一次方程的步骤，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：原方程可化为①分数的基本性质），
去分母，得②等式的基本性质，
去括号，得③乘法对加法的分配律），
移项，得④等式的基本性质
合并同类项，得（合并同类项法则）
系数化为1，得（等式的基本性质，
所以，方程变形对应的依据错误的是④加法交换律，
故选：．
【点评】本题考查了解一元一次方程，等式的性质，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
5．（2022春•五华区期末）一个天平的托盘中形状相同的物体质量相等，如图①、图②所示的两个天平处于平衡状态，要使图③的天平也保持平衡，则需要在它的右盘中放置
A．3个〇B．4个〇C．5个〇D．6个〇
【分析】题目中的方程实际是说明了两个相等关系：设球的质量是，小正方形的质量是，小正三角形的质量是．根据第一个天平得到：；根据第二个天平得到：，把这两个式子组成方程组，解这个关于，的方程组即可．
【解答】解：设球的质量是，小正方形的质量是，小正三角形的质量是．
根据题意得到：，
解得：，
第三图中左边是：，因而需在它的右盘中放置5个〇．
故选：．
【点评】本题的难点是解关于，的方程，解题的基本思想是消元．
6．（2021秋•包头期末）对于两个不相等的有理数，，我们规定符号，表示，两数中较大的数，例如，，，．按照这个规定，那么方程，的解为
A．B．或C．或D．
【分析】对和两种情况进行分类计算．
【解答】解：当时可得，
，
解得，
，且，
是该方程的解；
当时，
，
解得，
，且，
是该方程的解，
故选：．
【点评】此题考查了通过新定义问题解一元一次方程的能力，关键是能根据题目定义，分情况列出不同方程求解，并讨论结果是否符合题意．
7．（2021秋•新吴区期末）我们称使成立的一对数，为“相伴数对”，记为，如：当时，等式成立，记为．若是“相伴数对”，则的值为
A．2B．C．D．
【分析】根据是“相伴数对”，列出关于的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：是“相伴数对”，
，
解得：，
故选：．
【点评】本题考查了等式的性质，解一元一次方程，理解已知中“相伴数对”，是解题的关键．
8．（2021秋•济宁期末）我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，如果有，那么的值为
A．3B．2C．D．0
【分析】根据题意可得关于的一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：由题意，得：
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了解一元一次方程，掌握二阶行列式的定义是解答本题的关键．
9．（2021秋•济宁期末）小贤在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是，怎么办呢？小贤想了想，便翻看书后答案，此方程的解是，于是他很快就补好了这个常数，你能补出这个常数吗？它应是
A．B．C．D．
【分析】设被污染的常数为，将代入原方程得到关于的一元一次方程，从而可求得的值．
【解答】解：设被污染的常数为．
将代入得：，
解得：．
故选：．
【点评】本题主要考查的是一元一次方程的解和一元一次方程的解法，根据方程的解的定义得到关于的方程是解题的关键．
10．（2021秋•邵阳县期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：关于的一元一次方程的解为，
关于的一元一次方程中，
解得：，
故选：．
【点评】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能熟记一元一次方程的解的定义是解此题的关键．
11．（2022春•东方期末）如图，天平中的物体、、使天平处于平衡状态，则物体与物体的重量关系是
A．B．C．D．
【分析】根据图形得出，，根据等式性质得出，，推出，即可求出答案．
【解答】解：由图可知：，，
，，
，
即，
故选：．
【点评】本题考查了对等式的性质的应用，关键是能根据等式的性质得出，，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．
12．（2021秋•任城区校级期末）哥哥今年的年龄是弟弟的2倍，弟弟说：“六年前，我们俩的年龄和为15岁”，若用表示哥哥今年的年龄，则可列方程
A．B．
C．D．
【分析】由于用表示哥哥今年的年龄，那么根据题意得到弟弟的年龄是，又六年前，他们俩的年龄和为15岁，由此可以列出方程解决问题．
【解答】解：用表示哥哥今年的年龄，
弟弟的年龄是，
又六年前，他们俩的年龄和为15岁，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了由于由此在实际问题中的应用，解题关键是利用表示弟弟今年的年龄，同时也应该知道六年前哥哥和弟弟的年龄都要减去6．
13．（2022•钟山县模拟）已知是二元一次方程组的解，则m，n的值分别是（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先将x，y的值代入方程组得到关于m、n的方程组，解方程组即可求出答案．
【解答】解：由题意可得：
，
解得：．
故选：A．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解的定义、二元一次方程组的解法．熟练掌握一元二次方程组的解与二元一次方程的关系是解题的关键．
14．（2022春•阜平县期末）已知关于x，y的方程组，则下列结论中正确的是（ ）
①当a＝1时，方程组的解也是方程x+2y＝﹣2的解；
②当x＝y时，a＝﹣；
③当x﹣2y＞8时，a＞；
④不论a取什么实数，2x+y的值始终不变
A．①②B．①②③C．③④D．②③④
【分析】估计二元一次方程组的解的定义依次判断即可．
【解答】解：当a＝1时，，
①+②得：2x＝8，
∴x＝4，
代入①得：y＝﹣4．
∴x+2y＝4﹣8＝﹣4≠﹣2，
∴①错误．
∵x＝y，
∴，
由②得：a＝﹣．
∴②正确．
∵，
∴①+②得：2x＝2a+6，
∴x＝a+3．
①﹣②得：2y＝﹣4a﹣4，
∴x﹣2y＝a+3+4a+4＝5a+7＞8，
∴a＞．
∴③正确．
∵2x+y＝2a+6+（﹣2a﹣2）＝4．
∵不含a，
∴不论a取何值，2x+y的值不变．
∴④正确．
∴②③④正确．
故选：D．
【点评】本题考查二元一次不等式组的解，根据方程组特征，合理消元是求解本题的关键．
15．（2022春•承德县期末）方程■x﹣2y＝5是二元一次方程，■是被弄污的x的系数，推断■的值（ ）
A．不可能是2B．不可能是1C．不可能是﹣1D．不可能是0
【分析】设■的值为a，利用二元一次方程的定义求出a的值，即可作出判断．
【解答】解：设■的值为a，方程为ax﹣2y＝5，
由方程为二元一次方程，得到a≠0，
则■的值不可能是0．
故选：D．
【点评】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
16．（2022秋•江北区期中）“泡泡玛特”创立12年之际，推出“森林精灵”、“潘神神话”两种限量盲盒，每种盲盒均装有紫色、白色、红色三种颜色的Mlly公仔，每一种盲盒的成本是该盲盒中所有公仔的成本之和（包装费用不计）．其中，“森林精灵”盲盒分别装有3个紫色，1个白色，1个红色公仔，“潘神神话”盲盒分别装有2个紫色，3个白色，3个红色公仔．每个“森林精灵”盲盒中所有公仔的成本之和为1个紫色Mlly公仔的5倍，每个“潘神神话”盲盒的利润率为50%，且每个“潘神神话”盲盒的售价比每个“森林精灵”盲盒高20%．店庆当天销售这两种盲盒的总销售额为60万元，总利润率为60%，则这天销售“森林精灵”盲盒的总利润是 7.5 万元．
【分析】设紫色、白色、红色三种颜色的Mlly公仔的成本分别为x元，y元，z元，根据题意可知，“森林精灵”盲盒的成本为：（3x+y+z）元，“森林精灵”盲盒：（2x+3y+3z）元，由每个“森林精灵”盲盒中所有公仔的成本之和为1个紫色Mlly公仔的5倍，可得2x＝y+z，所以2x+3y+3z＝2x+3（y+z）＝8x；由每个“潘神神话”盲盒的利润率为50%，可得每个“潘神神话”盲盒的售价为：8x（1+50%）＝12x（元），由每个“潘神神话”盲盒的售价比每个“森林精灵”盲盒高20%，可得每个“森林精灵”盲盒的售价为10x元，由两种盲盒的总销售额为60万元，总利润率为60%，可得总成本为：600000÷（1+60%）＝375000（元），设当天销售“森林精灵”、“潘神神话”两种盲盒的数量分别为m个，n个，所以总销售额为：10xm+12xn＝600000①，5xm+8xn＝375000②，联立①②可得4nx＝150000，5mx＝75000，进而可得结论．
【解答】解：设紫色、白色、红色三种颜色的Mlly公仔的成本分别为x元，y元，z元，
根据题意可知，“森林精灵”盲盒的成本为：（3x+y+z）元，“森林精灵”盲盒：（2x+3y+3z）元，
∵每个“森林精灵”盲盒中所有公仔的成本之和为1个紫色Mlly公仔的5倍，
∴3x+y+z＝5x，
∴2x＝y+z，
∴2x+3y+3z＝2x+3（y+z）＝8x，
∵每个“潘神神话”盲盒的利润率为50%，
∴每个“潘神神话”盲盒的售价为：8x（1+50%）＝12x（元），
∵每个“潘神神话”盲盒的售价比每个“森林精灵”盲盒高20%，
∴每个“森林精灵”盲盒的售价为10x元，
设当天销售“森林精灵”、“潘神神话”两种盲盒的数量分别为m个，n个，
∴总销售额为：10xm+12xn＝600000①，
∵两种盲盒的总销售额为60万元，总利润率为60%，
∴总成本为：600000÷（1+60%）＝375000（元），
∴5xm+8xn＝375000②，
联立①②可得4nx＝150000，5mx＝75000，
∴“森林精灵”盲盒的总利润是（10x﹣5x）m＝75000＝7.5（万元），
故答案为：7.5．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，整体思想的应用，销售问题中各个量之间的关系，解题关键是设出相关未知数，列出方程．
1．（2021秋•镇安县期末）某商店在某一时间以每双120元的价格卖出两双运动鞋，其中一双盈利，另一双亏损，该商店卖这两双运动鞋总的是
A．亏损B．盈利C．不盈不亏D．盈亏无法计算
【分析】设盈利的一双的进价为元，亏损的一双的进价为元，则盈利的一双的售价为元，亏损的一双的售价为元，可列方程，，解方程求出、的值，再比较两双鞋的售价之和与两双鞋的进价之和的大小即可．
【解答】解：设盈利的一双的进价为元，亏损的一双的进价为元，
根据题意得，，
解得，，
（元，（元，
因为240元元，
所以商店卖这两双运动鞋总的是亏损，
故选：．
【点评】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用含未知数的代数式表示每件商品的售价是解题的关键．
2．（2021秋•文登区期末）在解关于的方程时，小颖在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母15，因而求得方程的解为，则方程正确的解是
A．B．C．D．
【分析】把代入方程，求出的值，再解方程即可．
【解答】解：根据题意，得是方程的解，
，
得，
原方程为，
解得．
故选：．
【点评】本题考查解一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，根据题意求出的值是解题关键．
3．（2022秋•高邮市期中）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：关于的一元一次方程的解为，
关于的一元一次方程中，
解得：，
故选：．
【点评】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能熟记一元一次方程的解的定义是解此题的关键．
4．（2022春•迁安市期末）橘子是我们常见的一种水果，取5个大小均等的橘子放在同一简易天平秤，如图，则估计一个橘子的重量大约是
A．20B．30C．40D．45
【分析】设每个橘子重，可得不等式组，根据求解结果可得此题结果．
【解答】解：设每个橘子重，
可得不等式组，
解得，
故选：．
【点评】此题考查了不等式组的应用能力，关键是能准确理解题意设未知数列出不等式组并正确求解．
5．（2020秋•巫山县期末）寒假到来，某书店开展学生优惠购买名著活动，凡一次性购买不超过100元的，一律九折优惠；超过100元的，其中100元按九折优惠，超过100元的部分按八折优惠．小青第一次去购买时付款36元，第二次又去购买时享受到了八折优惠．他查看了所买名著的定价，发现两次共节省了17元，则小青第二次购买时实际付款 102 元．
【分析】先求出第一次购书时的实际定价，再根据第二次购书节省的钱数列出方程，再求解即可．
【解答】解：第一次购书付款36元，享受了九折优惠，实际定价为元，省去了4元钱．
依题意，第二次节省了：元．
设第二次所购书的定价为元．，
解得．
故第二次购书实际付款为：元．
故答案为：102．
【点评】本题考查一元一方程的应用，解答本题关键是注意第二次所购的书有九折的部分，有八折的部分，需清楚找到这两部分实际出的钱．
6．（2020秋•兖州区期末）今年3.15期间，惠东商场为感谢新老顾客，决定对某产品实行优惠政策：购买该产品，另外赠送礼品一份．经过与该产品的供应商协调，供应商同意将该产品供货价格降低，同时免费为顾客提供礼品；而该产品的商场零售价保持不变．这样一来，该产品的单位利润率由原来的提高到，则的值是 14 ．
【分析】设原来的进价为元，则现在的进价为元，则原来的售价为，现在的售价为，根据两次的售价相等建立方程求出其解得．
【解答】解：原来的进价为元，则现在的进价为元，由题意，得
，
解得：
故答案为：14
【点评】本题考查了销售问题的数量关系的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，售价进价利润率）的运用，解答时根据两次的售价相等建立方程是关键．
7．（2014•重庆模拟）某公司生产一种饮料是由，两种原料液按一定比例配制而成，其中原料液的成本价为15元千克，原料液的成本价为10元千克，按现行价格销售每千克获得的利润率．由于市场竞争，物价上涨，原料液上涨，原料液上涨，配制后的总成本增加了，公司为了拓展市场，打算再投入现总成本的做广告宣传，如果要保证每千克利润不变，则此时这种饮料的利润率是 ．
【分析】根据题意计算出涨价后，原价格为18元，上涨，变为11元，得出总成本上涨，即可得出涨价前每100千克成本以及涨价后每100千克成本，进而得出的值即可得出答案．
【解答】解：原料液的成本价为15元千克，原料液的成本价为10元千克，
涨价后，原价格上涨，变为18元；上涨，变为11元，总成本上涨，
设每100千克成品中，二原料比例占千克，占千克，
则涨价前每100千克成本为，
涨价后每100千克成本为，
，
，
，
，
解得：，
，
即二者的比例是：，
则涨价前每千克的成本为元，销售价为元，
利润为7.5元，
原料涨价后，每千克成本变为12元，成本的元，保证利润为7.5元，
则利润率为：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得出涨价前每100千克成本为，涨价后每100千克成本为是解决问题的关键．
8．（2013•江北区校级模拟）著名瑞士数学家欧拉，曾给出这样一个问题：父亲临终时立下遗嘱，按下述方式分配遗产：老大分的100瑞士法郎和剩下的；老二分的200瑞士法郎和剩下的；老三分的300瑞士法郎和剩下的依此类推，分给其余的孩子．最后发现，遗产全部分完后所有孩子分的遗产相等．问：这位父亲的遗产总数是 8100 瑞士法郎．
【分析】老大分得的财产：（总遗产老大的；老二分得的财产为：（总遗产老大的全部财产老二的；让老大的遗产数量等于老二的遗产数量可求得总遗产数．
【解答】解：设遗产总数为法郎，则老大分得：；老二分得：，
，
解得：．
即这位父亲的遗产总数是8100瑞士法郎．
故答案为：8100．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，得到老大和老二分得遗产的代数式是解决本题的突破点．
9．（2013•自贡校级模拟）3月5日到3月9日重庆八中组织了初2013级全体同学到重庆通讯学院参加了国防教育活动，3月8日全体同学进行了军事拉练．拉练时全年级同学排成了1000米的队伍，在行进过程中排尾的一名同学接到教官的命令到排头，然后立即返回，当这名同学回到排尾时，全队已前进了1000米，如果队伍和这名同学行进的速度都不改变，那么这名同学所走的路程为 米．
【分析】设当这个同学追到队伍头上时，队伍前进了距离为米，队伍的速度为，同学的速度为．在追击的时段，队伍走了米，同学走了米，由于时间相等，就有，则，在返回的时段，队伍走了米，同学走了米，由于时间相等，就有，则，就有，，求出其解就可以求出结论．
【解答】解：设当这个同学追到队伍头上时，队伍前进了距离为米，队伍的速度为，同学的速度为．由题意，得
，
原方程组变形为：
，
，
解得：，
故这名同学所走的路程为米．
故答案为：．
【点评】本题考查了行程问题的追击问题和相遇问题的运用，行程问题的数量关系路程速度时间的关系的运用，设参数法再解实际问题中的运用，关键理解去时是追击问题，回来是相遇问题．
10．（2013•重庆模拟）第三届中国大学生方程式汽车比赛赛前，甲、乙两辆参赛小汽车在一个封闭的环形跑道内进行耐久测试．两车从同一地点沿相同方向同时起步后，乙车速超过甲车速，在第15分钟时甲车提速，在第18分钟时甲车追上乙车并且开始超过乙，在第23分钟时，甲车再次追上乙车．已知在测试中甲、乙两车均是匀速行驶，那么如果甲车不提速，乙车首次超过甲车所用的时间是 25 分钟．
【分析】首先表示出甲车提速前速度比乙车慢分钟，提速后速度比乙车快分钟，进而利用甲车在第15分钟时，离乙车的距离为，这个距离在第18分钟追回来，即可得出等式方程求出，关系，再表示出一圈的路程即可得出答案．
【解答】解：设甲车提速前速度比乙车慢分钟，提速后速度比乙车快分钟．
那么有甲车在第15分钟时，离乙车的距离为．这个距离在第18分钟追回来．
那么．即，
而且在第23分钟时，甲车比乙车多跑一圈．
那么一圈的路程为，
所以甲车不提速时，乙车首次超过甲车（即多跑一圈）所需时间为：分钟，
故答案为：25．
【点评】此题主要考查了追击问题，根据已知得出，之间的关系是解题关键．
11．（2013•重庆校级模拟）重庆育才中学的生活教育实践农场种了一片草莓，现在正是草莓成熟的季节，农场的草莓每天都在匀速的成熟（即每天新成熟的草莓质量相等），现在准备把成熟的草莓包装成礼盒进行销售，且每只礼盒的草莓质量相等．如果每天销售24盒，则6天可以把成熟的草莓销售完毕；如果每天销售21盒，则8天可以把成熟的草莓销售完毕；如果每天销售14盒，则 36 天可以把成熟的草莓销售完毕．
【分析】首先求出草莓每天平均成熟的盒数，进而得出销售前草莓总盒数，即可得出等式方程求出即可．
【解答】解：设天可以把成熟的草莓销售完毕，由题意得：
（盒，
（盒，
（盒，
故销售前草莓成熟了：（盒，
，
解得：，
故答案为：36．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知得出草莓每天成熟的盒数是解题关键．
12．（2013•重庆模拟）甲、乙、丙三人拿出同样多的钱，合伙订购同种规格的若干件商品，商品买来后，甲、乙分别比丙多拿了7、11件商品，最后结算时，甲付给丙14元，那么，乙应付给丙 70 元．
【分析】因为出了同样的钱买所有商品，所以三人在丙买的件数以外还有18件商品的钱也由三个人均摊，就是说又各出了六件的钱．丙出的钱实际上是帮甲垫了一件加帮乙垫了5件，也是甲乙该还的钱．
【解答】解：，甲比乙多拿了一件，所以一件是14元．
．
乙付给丙70元．
【点评】本题考查理解题意的能力，关键知道14元是几件商品的钱，求出乙多拿了几件，从而可求出解．
13．（2022春•新乐市校级月考）用图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成图②中的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，如果制作竖、横式两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，那么制作的竖式礼盒有
A．200个B．400个C．600个D．800个
【分析】设制作的竖式礼盒有个，横式纸盒有个，恰好将纸板用完，由题意：有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设制作的竖式礼盒有个，横式纸盒有个，恰好将纸板用完，
根据题意得：，
解得：，
即制作的竖式礼盒有200个，
故选：．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，找出等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
14．（2021秋•市中区期末）在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，则阴影部分图形的总面积为
A．27B．29C．34D．36
【分析】设小长方形的长为，宽为，根据图形中大长方形的长和宽列二元一次方程组，求出和的值，即可解决问题．
【解答】解：设小长方形的长为，宽为，
根据题意，得：，
解得：，
每个小长方形的面积为，
阴影部分的面积，
故选：．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
15．（2018秋•南岸区校级期末）由菜鸟网络打造的一个仓库有相同数量的工人和机器人，均为名（其中，平时每天都只工作8小时，每名机器人每小时加工包裹（分、拣、包装一体化）的数量是每名工人每小时加工包裹数量的2倍．随着“春节”临近，人工短缺，寄年货的包裹增多，公司决定再增加2名机器人，且将机器人每天工作时间延长至12小时，并对每名机器人进行升级改造，让现在每名机器人每小时加工包裹的数量在原有基础上增加个，结果现在所有机器人每天加工包裹的数量是所有工人平时每天加工包裹数量的6倍，则该仓库平时一天加工 864 个包裹．
【分析】设工人每小时加工个包裹，则改造前机器人每小时加工个包裹，改造后机器人每小时加工个包裹，依题意，得：，推出，可得，根据是大于5的整数，是整数，推出，，有由此即可解决问题．
【解答】解：设工人每小时加工个包裹，则改造前机器人每小时加工个包裹，改造后机器人每小时加工个包裹，
依题意，得：，
，
，
是大于5的整数，是整数，
，，
该仓库平时一天加工（个，
故答案为864．
【点评】本题考查二元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，学会求二元一次方程方程的整数解，属于中考填空题中的压轴题．
16．（2019•潼南区模拟）某果蔬饮料由果汁、蔬菜汁和纯净水按一定质量比配制而成，纯净水、果汁、蔬菜汁的价格比为，因市场原因，果汁、蔬菜汁的价格涨了，而纯净水的价格降了，但并没有影响该饮料的成本（只考虑购买费用），那么该种饮料中果汁与蔬菜汁的质量和与纯净水的质量之比为 ．
【分析】设纯净水、果汁、蔬菜汁的价格为，，，设纯净水、果汁、蔬菜汁按一定质量比为；，根据因市场原因，果汁、蔬菜汁的价格涨了，而纯净水的价格降了，但并没有影响该饮料的成本（只考虑购买费用），可列出方程求解．
【解答】解；设纯净水、果汁、蔬菜汁的价格为，，，
设纯净水、果汁、蔬菜汁按一定质量比为，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查理解题意的能力，关键是知道价格变化后，成本不变，以成本为等量关系可列方程求解．
17．（2017•下陆区校级自主招生）一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 3750 ．
【分析】设每个新轮胎报废时的总磨损量为，一对新轮胎交换位置前走了，交换位置后走了，根据交换前磨损总量和交换后的磨损总量相等，可列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶的磨损量为．
又设一对新轮胎交换位置前走了，交换位置后走了．
分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，有
两式相加，得，
则（千米）．
故答案为：3750．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出两个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
18．（2017•慈溪市校级自主招生）已知三个非负实数，，满足：和，若，则的最小值为 ．
【分析】解方程组，用含的式子表示出，，的值，根据，，，求得的取值范围而求得的最小值．
【解答】解：由题意可得，
解得，，，
由于，，是三个非负实数，
，，，
．
所以．
故本题答案为：．
【点评】本题考查了三元一次方程组和一元一次不等式的解法．
19．（2022秋•江北区期中）“泡泡玛特”创立12年之际，推出“森林精灵”、“潘神神话”两种限量盲盒，每种盲盒均装有紫色、白色、红色三种颜色的Mlly公仔，每一种盲盒的成本是该盲盒中所有公仔的成本之和（包装费用不计）．其中，“森林精灵”盲盒分别装有3个紫色，1个白色，1个红色公仔，“潘神神话”盲盒分别装有2个紫色，3个白色，3个红色公仔．每个“森林精灵”盲盒中所有公仔的成本之和为1个紫色Mlly公仔的5倍，每个“潘神神话”盲盒的利润率为50%，且每个“潘神神话”盲盒的售价比每个“森林精灵”盲盒高20%．店庆当天销售这两种盲盒的总销售额为60万元，总利润率为60%，则这天销售“森林精灵”盲盒的总利润是 7.5 万元．
【分析】设紫色、白色、红色三种颜色的Mlly公仔的成本分别为x元，y元，z元，根据题意可知，“森林精灵”盲盒的成本为：（3x+y+z）元，“森林精灵”盲盒：（2x+3y+3z）元，由每个“森林精灵”盲盒中所有公仔的成本之和为1个紫色Mlly公仔的5倍，可得2x＝y+z，所以2x+3y+3z＝2x+3（y+z）＝8x；由每个“潘神神话”盲盒的利润率为50%，可得每个“潘神神话”盲盒的售价为：8x（1+50%）＝12x（元），由每个“潘神神话”盲盒的售价比每个“森林精灵”盲盒高20%，可得每个“森林精灵”盲盒的售价为10x元，由两种盲盒的总销售额为60万元，总利润率为60%，可得总成本为：600000÷（1+60%）＝375000（元），设当天销售“森林精灵”、“潘神神话”两种盲盒的数量分别为m个，n个，所以总销售额为：10xm+12xn＝600000①，5xm+8xn＝375000②，联立①②可得4nx＝150000，5mx＝75000，进而可得结论．
【解答】解：设紫色、白色、红色三种颜色的Mlly公仔的成本分别为x元，y元，z元，
根据题意可知，“森林精灵”盲盒的成本为：（3x+y+z）元，“森林精灵”盲盒：（2x+3y+3z）元，
∵每个“森林精灵”盲盒中所有公仔的成本之和为1个紫色Mlly公仔的5倍，
∴3x+y+z＝5x，
∴2x＝y+z，
∴2x+3y+3z＝2x+3（y+z）＝8x，
∵每个“潘神神话”盲盒的利润率为50%，
∴每个“潘神神话”盲盒的售价为：8x（1+50%）＝12x（元），
∵每个“潘神神话”盲盒的售价比每个“森林精灵”盲盒高20%，
∴每个“森林精灵”盲盒的售价为10x元，
设当天销售“森林精灵”、“潘神神话”两种盲盒的数量分别为m个，n个，
∴总销售额为：10xm+12xn＝600000①，
∵两种盲盒的总销售额为60万元，总利润率为60%，
∴总成本为：600000÷（1+60%）＝375000（元），
∴5xm+8xn＝375000②，
联立①②可得4nx＝150000，5mx＝75000，
∴“森林精灵”盲盒的总利润是（10x﹣5x）m＝75000＝7.5（万元），
故答案为：7.5．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，整体思想的应用，销售问题中各个量之间的关系，解题关键是设出相关未知数，列出方程．
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