中考数学一轮复习考点精讲与分层训练专题07 二次方程（2份，原卷版+解析版）

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理解配方法，能用配方法解数字系数的一元二次方程
能用公式法解数字系数的一元二次方程
能用因式分解法数字系数的一元二次方程
经历估计方程解的过程
能用一元二次方程的根的判别式判别方程是否有实数根和两个实根是否相等
*了解一元二次方程根与系数关系
能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型
能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理
★简单； ★★易错； ★★★中等； ★★★★难； ★★★★★压轴
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc13678" 考点1：一元二次方程及其根的应用 PAGEREF _Tc13678 \h 2
\l "_Tc21468" 考点2：解一元二次方程（1） PAGEREF _Tc21468 \h 9
\l "_Tc21538" 考点3：解一元二次方程（2） PAGEREF _Tc21538 \h 18
\l "_Tc30283" 考点4：解一元二次方程（3） PAGEREF _Tc30283 \h 21
\l "_Tc17872" 考点5：一元二次方程的应用 PAGEREF _Tc17872 \h 30
\l "_Tc6259" 课堂总结：思维导图 PAGEREF _Tc6259 \h 41
\l "_Tc29540" 分层训练：课堂知识巩固 PAGEREF _Tc29540 \h 41
考点1：一元二次方程及其根的应用
（1）定义
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程．
（2）一般形式
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．

｛一元二次方程的定义★｝下列方程是一元二次方程的是
A．B．
C．D．
｛一元二次方程的一般形式★｝将方程化成的形式，则，，的值分别为
A．1，6，10B．1，，C．1，，10D．1，6，
｛一元二次方程的解★｝根据下列表格的对应值：
由此可判断方程必有一个根满足
A．B．C．D．
｛一元二次方程的解★｝已知是方程的一个根，则的值为
A．2018B．2019C．2020D．2021
｛一元二次方程的解★｝若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有根为
A．2019B．2020C．2021D．2022
｛一元二次方程的定义★｝关于的方程是一元二次方程，则的值为 ．
｛一元二次方程的一般形式★｝一元二次方程化为一般形式后二次项系数是 ．
｛一元二次方程的解★★★｝若关于的方程满足，称此方程为“天宫”方程．若方程是“天宫”方程，求的值是 ．
｛一元二次方程的解★★｝若是方程的一个实数根，则代数式的值为 ．


（2021•黑龙江）关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为
A．0B．C．3D．
（2021•长沙）若关于的方程的一个根为3，则的值为 ．
（2020•毕节市）关于的一元二次方程有一个根是0，则的值是 ．
考点2：解一元二次方程（1）
（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.
（2）因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.
（3）公式法:一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x=（b2－4ac≥0）.
（4）配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．

｛解一元二次方程-公式法★★｝是用公式法解一元二次方程得到的一个根，则满足要求的方程是
A．B．C．D．
｛解一元二次方程★★｝已知关于的方程，，为常数，的两根分别为，1，那么关于的方程的两根分别为 ， ．
｛解一元二次方程-新定义★｝规定运算：对于函数为正整数），规定．例如：对于函数，有．已知函数，若，则的值为 ．
｛解一元二次方程★★｝若一元二次方程的两个根分别是与，则 ．
｛解一元二次方程★｝（1）（配方法）；（2）（公式法）．
｛解一元二次方程★★★｝如图，在中，，，．以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．下列哪条线段的长度是方程的一个根
A．线段的长B．线段的长C．线段的长D．线段的长
｛解一元二次方程-公式法★★｝是下列哪个一元二次方程的根
A．B．C．D．
｛解一元二次方程★｝一元二次方程的解是
A．B．C．，D．，
｛解一元二次方程★｝若将一元二次方程化成，为常数）的形式，则的值为 ．
｛解一元二次方程★｝在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：☆，★，则方程3☆★12的解为 ．
｛解一元二次方程★｝如图，点在数轴的负半轴，点在数轴的正半轴，且点对应的数是，点对应的数是，已知，则的值为 ．
｛解一元二次方程★｝解方程：
（1）（配方法）；（2）（公式法）．
｛解一元二次方程★｝根据要求解下列一元二次方程：
（配方法）；（2）（公式法）．

（2021•赤峰）一元二次方程，配方后可变形为
A．B．C．D．
（2020•扬州）方程的根是 ．
（2019•威海）一元二次方程的解是 ．
考点3：解一元二次方程*-方法拓展（2）
换元法
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．

｛解一元二次方程-换元法★★｝已知，则的值为
A．0B．4C．4或D．
｛解一元二次方程-换元法★★★｝已知实数满足，那么的值为
A．或1B．或5C．1D．5
｛解一元二次方程-换元法★★｝，则的值是
A．4B．C．4或D．或2
｛解一元二次方程-换元法★★★｝若，则代数式的值为 ．
｛解一元二次方程-换元法★★｝已知，则的值为
A．或1B．1C．D．7或
｛解一元二次方程-换元法★｝已知，则 ．
考点4：解一元二次方程（3）
①根的判别式：
（1）当Δ＝＞0时，原方程有两个不相等的实数根．
（2）当Δ＝=0时，原方程有两个相等的实数根．
（3）当Δ＝＜0时，原方程没有实数根．
（4）当Δ＝≥0时，原方程有两个实数根
②根与系数关系（韦达定理）：
基本关系：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2,则x1+x2=－b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0.

｛解一元二次方程-根的判别★★｝若关于的方程有实数根，则满足
A．B．且C．且D．
｛解一元二次方程-韦达定理★★｝已知，，是方程的两根，则的值为 ．
｛解一元二次方程-根的判别★★｝（2021•黄石）已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．
｛解一元二次方程-根的判别★★★｝（2018•福建）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，下列判断正确的是
A．1一定不是关于的方程的根
B．0一定不是关于的方程的根
C．1和都是关于的方程的根
D．1和不都是关于的方程的根
｛解一元二次方程-韦达定理★★｝若和是一元二次方程的两根，那么代数式的值为 ．
｛解一元二次方程-韦达定理★★｝已知、是方程的两个根，则 ．
｛解一元二次方程-根的判别★★｝已知：关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）如果为正整数，且方程的两个根为不相等的正整数，求的值．
｛解一元二次方程-根的判别★★｝已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若此方程有一个负数根，求的取值范围．

（2021•烟台）已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
（2021•荆州）定义新运算“※”：对于实数，，，．有，※，，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：，※，．若关于的方程，※，有两个实数根，则的取值范围是
A．且B．C．且D．
（2021•遵义）在解一元二次方程时，小红看错了常数项，得到方程的两个根是，1．小明看错了一次项系数，得到方程的两个根是5，，则原来的方程是
A．B．C．D．
（2020•内江）已知关于的一元二次方程有一实数根为，则该方程的另一个实数根为 ．
考点5：一元二次方程的应用
应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.
①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；
②利润问题：利润=售价－成本；利润率=利润/成本×100%；
③传播、比赛问题：
④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.

｛★｝某口罩厂10月份的口罩产量为25万只，由于市场需求量增大，到12月份第四季度的总产量达到91万只，设该厂11，12月份的口罩产量的月平均增长率为，根据题意可列方程为
A．B．
C．D．
｛★★｝某商品原来按进价百分之二十的利润定价，进价受原材料价格影响连续两次下跌，售价相应调整为原来售价的八折，利润恰好与原来持平，设进价两次下跌的平均百分率为，则由题意，可列方程为
A． B．
C． D．
｛★★｝为提高经济效益，某公司决定对一种电子产品进行降价促销．根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低2元，每天可多售出4个．已知每个电子产品的固定成本为100元，如果降价后公司每天获利30000元，那么这种电子产品降价后的销售单价为多少元？设这种电子产品降价后的销售单价为元，则所列方程为
A．
B．
C．
D．
｛★★｝某渔具店销售一种鱼饵，每包成本价为10元，经市场调研发现：售价为20元时，每天可销售40包，售价每上涨1元，销量将减少3包．如果想获利408元，设这种鱼饵的售价上涨元，根据题意可列方程为
A．B．
C．D．
｛★★｝在一块宽为，长为的矩形空地上修建花坛，如果在四周留出同样宽的小路，余下的部分修建花坛，使花坛的面积为，求小路的宽．设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是
A．B．
C． D．
｛★★｝如图所示，某小区规划在一个宽为，长为的矩形地面上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），余下部分种草，耕地面积为，设小路的宽为，那么满足的方程是
A．B．C．D．
｛★｝有支球队参加篮球比赛，共比赛66场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是
A．B．C．D．
｛★｝某校初三年级举行班级篮球友谊赛，每两个班都要进行一场比赛，张老师告诉小丽总共要进行120场比赛，小丽想通过列方程求出参与比赛的班级数．设参与比赛的班级有个，则所列方程正确的是
A．B．C．D．
｛★★｝股市规定：股票每天的涨、跌幅均不超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫做跌停．若一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是 ．
｛★｝某口罩生产厂家2019年产量为100万个，为支持防疫工作，加大生产，2021年口罩产量为196万个，求该口罩厂家产量的年平均增长率．设该口罩厂家产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为
A．B．
C．D．
｛★｝某超市销售一种品牌童装，平均每天可售出30件，每件盈利40元．面对2008年下半年全球的金融危机，超市采用降价措施，每件童装每降价2元，平均每天就多售出6件．要使平均每天销售童装利润为1000元，那么每件童装应降价多少元？（列方程，并化为一般形式）．
｛★｝某商店的一种服装，每件成本为50元．经市场调研，售价为80元时，可销售100件；售价每提高1元，销售量将减少5件；售价每降低1元，销售量将增加5件．已知商店销售这批服装获利2000元，问这种服装每件售价是多少元？
｛★｝商场某种新商品每件进价是40元，在试销期间发现，当每件商品售价50元时，每天可销售500件．当每件商品售价高于50元时，每涨价1元，日销售量就减少10件．规定售价不得超过75元．若商场每天盈利为8000元，求每件商品的售价．
｛★｝如图，某建筑工程队在一堵墙边上用20米长的铁栏围成一个面积为60平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是11米，铁栅栏只围三边，且在正下方要造一个2米宽的门．问：以上要求所围成长方形的两条邻边的长分别是多少米？
｛★｝在学校劳动基地里有一块长50米、宽30米的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道，如图．已知这块矩形试验田中种植的面积为1421平方米，小道的宽为多少米？
｛★｝2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．雅礼中学某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮转发后，共有931人参与了转发活动，则方程列为
A．B．C．D．
｛★｝某小组各人之间互赠礼物一件，全组共赠送礼物182件，如果全组共有名同学，则根据题意所列方程为
A．B．C．D．

（2021•兴安盟）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染个人，可列方程为
A．B．
C．D．
（2021•福建）某市2018年底森林覆盖率为．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，那么，符合题意的方程是
A．B．
C．D．
（2020•衡阳）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为
A．B．
C．D．
（2019•宜宾）某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降，第二季度又将回升．若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为，根据题意可列方程是 ．
课堂总结：思维导图
分层训练：课堂知识巩固
1．（2022秋•南溪区期中）下列方程中，关于的一元二次方程是
A．B．C．D．
2．（2022•蜀山区校级三模）当时，关于的一元二次方程的根的情况为
A．有两个实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．没有实数根
3．（2022秋•句容市月考）小兵在暑假调查了某工厂得知，该工厂2020年全年某产品的产量为234万吨，经该厂的技术人员预计2022年全年该产品的产量为345万吨，设2020年至2022年该产品的预计年平均增长率为，根据题意列出方程得
A．B．
C．D．
4．（2022春•岚山区期末）若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值是
A．B．2C．0D．或2
5．（2022春•招远市期末）设，是方程的两个实数根，则的值为
A．2020B．2021C．2022D．2023
6．（2022春•福山区期末）我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下面四个构图中，能正确说明方程解法的构图是
A．B．
C．D．
7．（2022•定远县模拟）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂第二季度平均每月的增长率为，那么满足的方程是
A．B．
C．D．
8．（2022春•瑶海区期末）如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为
A．B．1C．D．2
9．（2022秋•乌鲁木齐期中）如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：，现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为，则可列方程为
A．B．
C．D．
10．（2022•大方县二模）春意复苏，郑州绿化工程正在如火如荼地进行着，某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的，求小路的宽，设小路的宽为，则可列方程
A．B．
C．D．
1．（2022秋•建邺区期中）关于的一元二次方程一个实数根为2022，则方程一定有实数根
A．2022B．C．D．
2．（2022春•钱塘区期末）已知关于的方程，则下列说法正确的是
A．不存在的值，使得方程有两个相等的实数解
B．至少存在一个的值，使得方程没有实数解
C．无论为何值，方程总有一个固定不变的实数根
D．无论为何值，方程有两个不相等的实数根
3．（2022•安国市一模）可以用如图所示的图形研究方程的解：在中，，，，以点为圆心作弧交于点，使，则该方程的一个正根是
A．的长B．的长C．的长D．的长
4．（2022•鹿城区校级模拟）下面是某同学在一次测验中解答的填空题：
（1）若，则（2）方程的解为．（3）若直角三角形有两边长分别为3和4，则第三边的长为5．其中答案错误的题目个数为
A．0个B．1个C．2个D．3个
5．（2022春•咸阳月考）对于已知，则
A．2B．C．D．
6．（2022春•淄川区期中）对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的
A．①②B．①②④C．①②③④D．①②③
7．（2022•芜湖一模）已知实数满足，则代数式的值是
A．7B．C．7或D．或3
8．（2022春•蜀山区校级月考）若实数满足方程，那么的值为
A．或4B．4C．D．2或
9．（2022•章丘区二模）已知等腰的底边长为3，两腰长恰好是关于的一元二次方程的两根，则的周长为
A．6.5B．7C．6.5或7D．8
10．（2022秋•武侯区校级月考）已知关于的方程．若等腰三角形的一边长，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长 ．
11．（2022秋•宽甸县校级月考）对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则．
其中正确的 ．
．只有①②④．只有①②③．①②③④．只有①②
12．（2022秋•顺德区期中）若关于的方程的两根满足，，，均为常数，，则关于的方程的两根，满足的取值范围分别是 ．
1．（2021秋•孟村县期末）如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点随即停止．当四边形的面积为时，点的运动时间为
A．B．或C．D．或
2．（2022秋•来安县期中）设，，为实数，且满足，，则下列结论正确的是
A．B．且
C．且D．且
3．（2016•雁峰区校级自主招生）如图，若将图1正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，设，则
A．B．C．D．
4．（2019秋•金牛区校级期中）若，，是实数，且，则 ．
5．（2016•潍坊模拟）如图，将矩形沿图中虚线（其中剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形．若，则的值等于 ．
6．（2015•成都）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是 （写出所有正确说法的序号）
①方程是倍根方程．
②若是倍根方程，则；
③若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是倍根方程；
④若方程是倍根方程，且相异两点，都在抛物线上，则方程的一个根为．
7．（2020•大冶市模拟）已知关于的一元二次方程；
（1）求证：不论任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根为、且满足，求的值．
8．（2019春•九龙坡区校级月考）每年的3月8日是国际劳动妇女节，是世界各国妇女争取和平、平等、发展的节日，沙坪坝某商店抓住这一机会，将、两种巧克力进行降价促销活动，在这一天前来购买这两种巧克力的顾客共有400名，每名顾客均购买了一盒巧克力，其中、两种的巧克力的销售单价分别为90元和50元．
（1）若选择购买种巧克力的人数不超过购买种巧克力数的0.6倍．求至少有多少人选择购买种巧克力？
（2）“七夕”节是中国的情人节，该商店估计当天购买巧克力的人会比较多，于是提高了种巧克力的售价，结果发现“七夕”节当天前来购买巧克力的顾客人数出现了下降，经统计发现与（1）问中选择种巧克力的人数最少时相比，种巧克力每上涨3元，购买种巧克力的人数会下降5人，同时购买种巧克力的人数也下降3人，但是种巧克力的售价没变，最终“七夕”节期间两种巧克力的总销售额与（1）问中选择种巧克力的顾客最少时的两种巧克力的总销售额持平，求“七夕”节当天种巧克力的售价．
9．（2019春•北碚区校级月考）西南大学银翔实验中学第二届缤纷科技节于2019年5月份隆重举行，主题：绿色体验成长玩出你的稀缺竞争力”，本届缤纷科技节有展示类、体验类、竞赛类共40多个项目月份，学校对活动中所需物品统一购，其中某一体验类项目需要、两种材料，已知种材料单价32元套，种材料单价24元套，活动需要、两种材料共50套计划购买、两种材料总费用不超过1392元．
（1）若按计划采购，最多能购买种材料多少套？
（2）在实际来购过程中，受多方面因素的影响，与（1）中最多购买种材料的计划相比，实际采购种材料数量的增加了，种材料的数量减少、材料的数量均为整数），实际采购种材料的单价减少了，种材料的单价增加，且实际总费用比按（1）中最多购买种材料的总费用多了16元，求．
1
1.1
1.2
1.3
0.84
2.29