中考数学一轮复习考点精讲与分层训练专题10 一次函数（2份，原卷版+解析版）

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结合具体情境体会一次函数的意义，能画出一次函数的图像。理解正比例函数。
能根据已知条件确定一次函数的关系式。会利用待定系数法确定一次函数的关系式。
根据一次函数的图像和关系式y=kx+b(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时，图像的变化情况。
体会一次函数与二元一次方程的关系。
能用一次函数解决简单实际问题。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc9858" 考点1：一次函数图像与性质 PAGEREF _Tc9858 \h 3
\l "_Tc10565" 考点2：一次函数解析式的确定 PAGEREF _Tc10565 \h 12
\l "_Tc7754" 考点3：一次函数图像的平移 PAGEREF _Tc7754 \h 21
\l "_Tc11198" 考点4：一次函数与方程不等式的关系 PAGEREF _Tc11198 \h 26
\l "_Tc20612" 考点5：一次函数的应用 PAGEREF _Tc20612 \h 36
\l "_Tc704" 课堂总结：思维导图 PAGEREF _Tc704 \h 54
\l "_Tc12950" 分层训练：课堂知识巩固 PAGEREF _Tc12950 \h 55
考点1：一次函数图像与性质
（1）概念：一般来说，形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b ＝0时，称为正比例函数．
（2）图象形状：一次函数y＝kx＋b是一条经过点（0,b）和的直线.特别地，正比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.
(3)一次函数与坐标轴交点坐标
1.求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；
2.求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.
故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是，与y轴的交点是(0，b)；
3.正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)．
｛一次函数的定义★｝以下函数中是的一次函数的是
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】一般地，形如，、是常数）的函数，叫做一次函数．根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．
【解答】解：①是二次函数，故此选项不符合题意；②是一次函数，故此选项符合题意；③不是一次函数，是反比例函数，故此选项不符合题意；④是一次函数，故此选项符合题意；⑤是一次函数，故此选项符合题意；⑥是一次函数，故此选项符合题意．故选：．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义，解题关键是掌握一次函数的定义条件：、为常数，，自变量次数为1．
｛正比例函数的定义★｝若函数为常数）是正比例函数，则的值为 ．
【分析】根据正比例函数的定义列出方程，通过解该方程求得值即可．
【解答】解：函数为常数）是正比例函数，，且，
解得，．故答案是：．
【点评】本题考查了正比例函数的定义．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为1．
｛一次函数的图像★｝直线和在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A．B．C．D．
【分析】先看一条直线，得出和的符号，然后再判断另外一条直线是否正确，这样可得出答案．
【解答】解：、直线中，，直线中，，、的取值相矛盾，故本选项不符合题意；、直线中，，直线中，，、的取值一致，故本选项符合题意；、直线中，，直线中，，、的取值相矛盾，故本选项不符合题意；、直线中，，直线中，，、的取值相矛盾，故本选项不符合题意．故选：．
【点评】此题考查了一次函数图象与和符号的关系，关键是掌握当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴．
｛一次函数的图像★｝已知一次函数的图象如图所示，则的图象可能是
A．B．C．D．
【分析】根据是一次函数的图象经过一、三、四象限得出，的取值范围解答即可．
【解答】解：因为一次函数的图象经过一、三、四象限，可得：，，
所以直线的图象经过一、三、四象限，故选：．
【点评】此题考查一次函数图象，关键是根据是一次函数的图象经过一、三、四象限得出，的取值范围．
｛一次函数的性质★｝若点，点，都在一次函数的图象上，则
A．B．C．D．
【分析】由偶次方的非负性可得出，进而可得出，由，利用一次函数的性质可得出随的增大而增大，进而可得出．
【解答】解：，，．，随的增大而增大，
又点，点，都在一次函数的图象上，．故选：．
【点评】本题考查了偶次方的非负性以及一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
｛一次函数的性质★｝下列关于一次函数的图象的说法中，错误的是
A．函数图象经过第一、二、四象限
B．函数图象与轴的交点坐标为
C．当时，
D．的值随着值的增大而减小
【分析】根据一次函数的性质可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：、，，函数图象经过第一、二、四象限，说法正确；、时，，函数图象与轴的交点坐标为，说法错误；、当时，，说法正确；、，的值随着值的增大而减小，说法正确；故选：．
【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
｛一次函数的定义★｝已知函数为一次函数，则 1或0 ．
【分析】根据一次函数的定义列方程即可得到结论．
【解答】解：由一次函数的定义可得：或0，，或0，故答案为：1或0．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1．是考查的重点．
｛一次函数的图像★｝若，，函数与在同一坐标系中的图象是
A．B．C．D．
【分析】根据，，可以得到、的正负情况，从而可以得到函数与的图象经过哪几个象限．
【解答】解：，、异号，，，，函数的图象经过一、二、四象限，函数的图象经过第一、三、四象限，故选：．
【点评】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确一次函数的性质，由、的正负情况，可以写出一次函数图象经过的象限．
｛一次函数的图像★｝若实数，满足，且，则函数的图象可能是
A．B．C．D．
【分析】根据题意可以得到和的正负，从而可以得到函数的图象在哪几个象限，从而可以解答本题．
【解答】解：实数，满足，且，，，函数的图象在第一、三、四象限，故选：．
【点评】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确一次函数的性质，利用数形结合的思想解答．
｛一次函数的图像★｝函数的图象是
A．B．
C．D．
【分析】根据函数解析式求得该函数的性质，然后再作出选择．
【解答】解：函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；故选：．
【点评】本题考查了一次函数图象．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
｛一次函数的性质★｝用描点法画一次函数图象，在如表格中有一组数据错误，这组错误的数据是
A．B．C．D．
【分析】在坐标系描点，即可得到在同一直线上的三点，从而得到结论
【解答】解：根据表格数据描点，如图，则点，，在同一直线上，点没在这条直线上，故选：．
【点评】本题考查一次函数图象，根据坐标系中的点判断即可．
｛一次函数的性质★｝下列有关一次函数的说法中，正确的是
A．的值随着值的增大而增大 B．函数图象与轴的交点坐标为
C．当时， D．函数图象经过第二、三、四象限
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：，，，随的增大而减小，故选项不符合题意；当时，，即函数图象与轴的交点坐标为，故选项不符合题意；当时，，故选项不符合题意；函数图象经过第二、三、四象限，故选项符合题意；故选：．
【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
｛一次函数的性质★｝对于一次函数，下列结论错误的是
A．随的增大而增大 B．函数图象与轴所成的锐角是
C．函数图象与轴交点坐标是D．函数图象不经过第四象限
【分析】根据一次函数的性质，以及函数图象与坐标轴的交点的求法即可判断．
【解答】解：、一次项系数大于0，则函数值随自变量的增大而增大，故选项正确；、函数图象与轴正方向成角，故选项正确；、当时，，则函数图象与轴交点坐标是，故选项错误；、函数经过一、二、三象限，不经过第四象限，故选项正确．故选：．
【点评】本题考查了一次函数的性质，在直线中，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
（2020•济南）若，则一次函数的图象可能是
A．B．C．D．
【分析】由得出，，进而利用一次函数的性质解答即可．
【解答】解：，，，所以一次函数的图象经过一，二，四象限，故选：．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限．时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．
（2021•沈阳）一次函数的图象不经过
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以判断该函数的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，本题得以解决．
【解答】解：一次函数，，，该函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故选：．
【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
（2020•牡丹江）两个一次函数和，它们在同一个直角坐标系的图象可能是
A．B．C．D．
【分析】根据一次函数的性质，利用分类讨论的方法可以得到哪个选项中的图象是符合题意的．
【解答】解：当，时，一次函数和的图象都经过第一、二、三象限，
当，时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，函数的图象经过第一、二、四象限，当，时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，函数的图象经过第一、三、四象限，当，时，一次函数和的图象都经过第二、三、四象限，
由上可得，两个一次函数和，它们在同一个直角坐标系的图象可能是中的图象，
故选：．
【点评】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
考点2：一次函数解析式的确定
（1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为：
①设：设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)；
②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；
③解：求出k与b的值，得到函数表达式．
（2）常见类型：
①已知两点确定表达式；
②已知两对函数对应值确定表达式；
③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.
｛确定一次函数解析式★｝一次函数的图象经过，，则与的值为
A．B．C．D．
【分析】由于一次函数经过，，应用待定系数法即可求出函数的解析式．
【解答】解：把，代入一次函数，得，解得：．故选：．
【点评】本题考查用待定系数法求解函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
｛确定一次函数解析式★★｝已知一次函数，当时，，则的值为
A．3B．2C．D．2或
【分析】结合一次函数的性质，对分类讨论，当时，一次函数随增大而增大，此时，且，；当时，一次函数随增大而减小，此时，且，；最后利用待定系数法求解即可．
【解答】解：当时，一次函数随增大而增大，当时，且当时，，
令，，解得，不符题意，令，，解得，不符题意，
当时，一次函数随增大而减小，当时，且当时，，
令，，解得，令，，解得，符合题意，故选：．
【点评】本题主要考查一次函数的性质，待定系数法求解析式等，深度理解一次函数的性质是解题关键．
｛确定一次函数解析式★｝已知与成正比例，且当时，．
（1）写出与之间的函数表达式；
（2）当时，求的值；
（3）若的取值范围是，求的取值范围．
【分析】（1）设，把、的值代入求出的值，即可求得函数表达式；（2）把代入函数表达式，即可求得的值；（3）由题意得出关于的不等式组，求解即可得到的取值范围．
【解答】解：（1）设，把，代入得：，解得：，
，与之间的函数表达式为：；
（2）把代入得：；
（3）根据题意得：，解得：，的取值范围为：．
【点评】本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及一元一次不等式组的解法，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
｛确定一次函数解析式★｝如图，直线是一次函数的图象，且经过点和点．
（1）求直线的表达式；
（2）求直线与两坐标轴所围成的三角形的面积．
【分析】（1）把点和点代入一次函数的解析式得到方程组求出方程组的解即可；
（2）根据解析式求得的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得．
【解答】解：（1）把点和点代入，
得，解得：，直线的表达式为；
（2）在中，令，则，解得，，，，，，直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为．
【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解此题的关键．
｛确定一次函数解析式★｝如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则直线的解析式为 ．
【分析】先求得、的坐标，然后利用勾股定理得出的长，再利用圆的性质得出的长，即可得出的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式．
【解答】解：在直线中，令，求得；令，求得，
点的坐标为，点的坐标为，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的负半轴于点，，则点的坐标为：，设直线的解析式为，把，代入得，解得，直线的解析式为．
故答案为．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理的应用等，求得的坐标是解题的关键．
｛确定一次函数解析式★｝已知与成正比例，当时，．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）当时，求自变量的值．
【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）代入计算即可．
【解答】解：（1）与成正比例，设，由题意得，，
解得，，则；（2）当时，则，解得．
【点评】本题考查的是待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解题的关键．
｛确定一次函数解析式★｝如图，已知一次函数的图象经过点和点，并且交轴于点．
（1）求该一次函数的解析式和点的坐标；
（2）求的面积．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）求得的坐标，然后根据即可求得．
【解答】解：（1）将，代入得：，解得，
一次函数的表达式为；（2）在中，令得，，．
【点评】本题考查了待定系数法求出一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
｛确定一次函数解析式★｝如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，线段的中点为．将沿直线折叠，使点与点重合，直线与轴交于点．
（1）求此一次函数的解析式；
（2）求点的坐标．
【分析】（1）根据线段中点的性质，可得点，点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）如图，连接，设，则，根据翻折变换的性质用表示出的长，再根据勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）设点坐标为，点坐标为，由线段的中点为，得，，
解得，．即，，一次函数的解析式为．
（2）如图，连接，设，则，
，，，解得，即点的坐标为，．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，轴对称的性质，勾股定理，正确的求出一次函数的解析式是解题的关键．
（2021•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点，．以为一边在第一象限作正方形，则对角线所在直线的解析式为
A．B．C．D．
【分析】过点作轴于，如图，证明得到，，则，然后利用待定系数法求直线的解析式．
【解答】解：过点作轴于，如图，点，．，，四边形为正方形，，，，，，在和中，，，，，，设直线的解析式为，把，代入得，解得，直线的解析式为．故选：．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，需要两组，的值．利用全等三角形的性质求出点坐标是解决问题的关键．
（2021•乐山）如图，已知直线与坐标轴分别交于、两点，那么过原点且将的面积平分的直线的解析式为
A．B．C．D．
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征求出，，则的中点为，所以经过的中点，直线把平分，然后利用待定系数法求的解析式；
【解答】解：如图，当，，解得，则；当，，则，
的中点坐标为，直线把面积平分直线过的中点，设直线的解析式为，
把代入得，解得，的解析式为，故选：．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，明确直线过的中点是解题的关键．
如图，在平面直角坐标系中，菱形的一个顶点在原点处，且，点的坐标是，则直线的表达式是 ．
【分析】根据菱形的性质，可得的长，根据三角函数，可得与，根据待定系数法，可得答案．
【解答】解：如图，
由菱形的一个顶点在原点处，点的坐标是，得．又，
．，．，，
，．设的解析式为，将，点坐标代入函数解析式，得
，解得，直线的表达式是，故答案为：．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用锐角三角函数得出点坐标是解题关键，又利用了菱形的性质及待定系数法求函数解析式．
考点3：一次函数图像的平移
规律：“左加右减，上加下减”
①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.
②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.

｛一次函数的平移★｝将直线向右平移1个单位，再向上平移1个单位后，所得直线的表达式为
A．B．C．D．
【分析】直接根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可．
【解答】解：将直线向右平移1个单位，再向上平移1个单位后，所得直线的解析式为，即．故选：．
【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．
｛一次函数的平移★｝在平面直角坐标系中，将直线绕原点顺时针旋转后得到的直线的表达式为 ．
【分析】求得直线与坐标轴的交点，进一步求得旋转后对应的点的坐标，然后根据待定系数法即可求得．
【解答】解：由直线可知，直线与轴的交点为，与轴的交点为，
交点绕原点顺时针旋转后得到、，设旋转后的直线解析式为，
代入点和得，解得，旋转后得到的直线的表达式为，
故答案为：．
【点评】本题考查的是用待定系数法求一次函数解析式，旋转的性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
｛一次函数的平移★｝已知直线与直线关于轴对称，则 3 ， ．
【分析】根据若两条直线关于轴对称，则与轴的交点关于轴对称，这两条直线交于轴上同一点，即值相同可以直接写出答案．
【解答】解：直线关于轴对称的解析式为．直线与直线关于轴对称，，．故答案为：3，7．
【点评】此题主要考查了一次函数得几何变换，关键是利用数形结合来分析此类型的题，根据图形，发现和值之间的关系．
｛一次函数的平移★｝将直线先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到的直线解析式是 ．
【分析】根据图象平移规律：左加右减，上加下减，即可解决问题．
【解答】解：直线先向右平移3个单位，，再向下平移2个单位得到，即．故答案为．
【点评】本题主要考查了一次函数图象的平移，熟记平移规律是解决问题的捷径．
｛一次函数的平移★｝直线沿轴向右平移2个单位，再沿轴向下平移3个单位所得直线解析式为
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，直线沿轴向右平移2个单位所得直线的解析式为由“上加下减”的原则可知，直线沿轴向下平移3个单位，所得直线的函数关系式为，即；
故答案为：．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
｛一次函数的平移★｝将直线向上平移2个单位，再向左平移1个单位长度后，所得直线的解析式是 ．
【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律写出函数解析式即可．
【解答】解：将直线向上平移2个单位，再向左平移1个单位长度后，所得直线的解析式是，即，故答案为．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，掌握“左加右减，上加下减”直线平移的规律，属于基础题，中考常考题型
（2021•陕西）在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位，平移后的直线经过点，则的值为
A．B．1C．D．5
【分析】先根据平移规律求出直线向上平移3个单位的直线解析式，再把点代入，即可求出的值．
【解答】解：将直线向上平移3个单位，得到直线，把点代入，得．
故选：．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键．
（2021•桂林）如图，与图中直线关于轴对称的直线的函数表达式是 ．
【分析】关于轴对称的点的坐标特点是：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
【解答】解：关于轴对称的点横坐标不变纵坐标互为相反数，
直线关于轴对称的直线的函数表达式是，即．故答案为．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知关于轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
（2020•广安）一次函数的图象过点，将函数的图象向上平移5个单位长度，所得函数的解析式为 ．
【分析】根据待定系数法求得，然后根据函数图象平移的法则“上加下减”，就可以求出平移以后函数的解析式．
【解答】解：一次函数的图象过点，，一次函数为，将函数的图象向上平移5个单位长度，所得函数的解析式为，即．故答案为．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，利用函数图象平移的规律是解题关键，注意求直线平移后的解析式时要注意平移时的值不变．
考点4：一次函数与方程不等式的关系
（1）一次函数与方程：一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的横坐标.
（2）一次函数与方程组：二元一次方程组的解两个一次函数和图象的交点坐标.
（3）一次函数与不等式
（1）函数y=kx+b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集
（2）函数y=kx+b的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＜0的解集

｛一次函数与方程★｝已知函数的部分函数值如表所示，则关于的方程的解是
A．B．C．D．
【分析】首先根据表格数据可得当，，即时，，进而利用函数解析式求出时的值即可．
【解答】解：当，，当时，自变量，关于的方程的解是，故选：．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是正确连接一次函数解析式和一元一次方程的关系．
｛一次函数与方程★｝如图，直线与相交于点，则关于，的方程组的解是
A．B．C．D．
【分析】先把代入求出，根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解可得到答案．
【解答】解：把代入得，直线与相交于点，
关于，的方程组的解是；故选：．
【点评】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
｛一次函数与不等式★｝已知一次函数为常数，且和．当时，，则的取值范围是
A．且B．C．D．且
【分析】解不等式，根据题意得出且且，解此不等式即可．
【解答】解：一次函数为常数，且和，当时，，，，且且，当时，时，，所以不等式组的解集为且；当时，也成立，故的取值范围是且，故选：．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，关键是根据题意得出时，且解答．
｛一次函数与不等式★★｝一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②；③当时，中，正确的个数是
A．3B．2C．1D．0
【分析】根据和的图象可知：，，所以当时，相应的的值，图象均高于的图象．
【解答】解：的函数值随的增大而减小，．故①结论正确；的图象与轴交于负半轴，．故②结论正确；当时，相应的的值，图象均高于的图象，，
故③结论错误．故选：．
【点评】本题考查了两条直线相交问题，难点在于根据函数图象的走势和与轴的交点来判断各个函数，的值．
｛一次函数与方程★｝一次函数与的部分自变量和对应函数值如表：
则关于的不等式的解集是
A．B．C．D．
【分析】根据统计表确定两个函数的增减性以及函数的交点，然后根据增减性判断．
【解答】解：根据表可得中随的增大而增大；
中随的增大而减小．且两个函数的交点坐标是．则当时，．
故选：．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，正确确定增减性以及交点坐标是关键．
｛一次函数与方程★｝直线与相交于点，则关于，的二元一次方程组的解为 ．
【分析】根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解．
【解答】解：根据函数图可知，函数与的图象交于点的坐标是，把，代入，可得：，解得：，故关于，的二元一次方程组的解为，
故答案为：．
【点评】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
｛一次函数与不等式★｝如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式组的解集为 ．
【分析】先将点代入，求出的值，再找出直线落在的下方且都在轴下方的部分对应的自变量的取值范围即可．
【解答】解：一次函数的图象过点，，解得，，又与轴的交点是，关于的不等式组的解集为．故答案为．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确确定出的值，是解答本题的关键．
（2021•贺州）直线过点，，则关于的方程的解为
A．B．C．D．
【分析】所求方程的解，即为函数图象与轴交点横坐标，确定出解即可．
【解答】解：方程的解，即为函数图象与轴交点的横坐标，
直线过，方程的解是，故选：．
【点评】此题考查了一次函数与一元一次方程，任何一元一次方程都可以转化为，为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值．
（2021•福建）如图，一次函数的图象过点，则不等式的解集是
A．B．C．D．
【分析】先把代入得，则化为，然后解关于的不等式即可．
【解答】解：把代入得，解，则化为，而，
所以，解得．故选：．方法二：一次函数的图象向右平移1个单位得，一次函数的图象过点，一次函数的图象过点，由图象可知，当时，，不等式的解集是，故选：．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，把点代入解析式求得与的关系是解题的关键．
（2020•益阳）一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是
A． B． C．随的增大而减小D．当时，
【分析】直接利用一次函数的性质结合函数图象上点的坐标特点得出答案．
【解答】解：如图所示：、图象经过第一、三、四象限，则，故此选项错误；、图象与轴交于点，故，正确；、，随的增大而增大，故此选项错误；、当时，，故此选项错误；故选：．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确数形结合分析是解题关键．
考点5：一次函数的应用
1.一般步骤：
（1）设出实际问题中的变量；
（2）建立一次函数关系式；
（3）利用待定系数法求出一次函数关系式；
（4）确定自变量的取值范围；
（5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；
（6）做答.
2.常见题型
（1）求一次函数的解析式.
（2）利用一次函数的性质解决方案问题.

｛一次函数的应用★｝东东和爸爸一起出去运动，两人同时从家出发，沿相同路线前行，途中爸爸有事返回，东东继续前行，5分钟后也原路返回，两人恰好同时到家．东东和爸爸在整个运动过程中离家的路程（米，（米与运动时间（分之间的函数关系如图所示，下列结论中正确的是
①两人前行过程中的速度为200米分；②的值是15，的值是3000；
③东东开始返回时与爸爸相距1500米；④运动18分钟或30分钟时，两人相距900米．
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【分析】根据题意和图象中的数据可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图可得，两人前行过程中的速度为（米分），故①正确；
的值是，的值是，故②正确；爸爸返回时的速度为：（米分），则东东开始返回时与爸爸相距：（米，故③正确；运动18分钟时两人相距：（米，东东返回时的速度为：（米分），
则运动30分钟时，两人相距：米，故④正确，结论中正确的是①②③④．
故选：．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
｛一次函数的应用★★｝甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米与甲出发的时间（分之间的关系如图所示，下列结论：
①甲步行的速度为60米分；②乙走完全程用了36分钟；③乙用16分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有300米．其中正确的结论有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得：甲步行速度（米分）；
故①结论正确；
设乙的速度为：米分，
由题意可得：，
解得，
乙的速度为80米分；
乙走完全程的时间（分，
故②结论错误；
由图可得，乙追上甲的时间为：（分；
故③结论错误；
乙到达终点时，甲离终点距离是：（米，
故④结论错误；
故正确的结论有①共1个．
故选：．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
｛一次函数的应用★★｝甲、乙两人分别从笔直道路上的、两地出发相向匀速而行，已知甲比乙先出发6分钟，两人在地相遇，相遇后甲立即按原速原路返回地，乙继续向地前行，约定先到地者停止运动就地休息．若甲、乙两人相距的路程（米与甲行走的时间（分钟）之间的关系如图所示，有下列说法：①甲的速度是60米分钟，乙的速度是80米分钟；②甲出发30分钟时，两人在地相遇；③乙到达地时，甲与地相距450米，其中正确的说法有
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】根据图象可知、两地相距3720米；利用速度路程时间可求出甲、乙的速度，由二者相遇的时间、两地之间的路程二者速度和，可求出二者相遇的时间，再由、两地之间的距离甲的速度二者相遇的时间可求出、两地之间的距离，由、两地之间的距离结合甲、乙的速度，可求出乙到达地时甲与地相距的路程．
【解答】解：由图象可知，、两地相距3720米，
甲的速度为（米分钟），
乙的速度为（米分钟），故①说法正确；
甲、乙相遇的时间为（分钟），故②说法正确；
、两地之间的距离为（米，
乙到达地时，甲与地相距的路程为（米．故③说法正确．
即正确的说法有3个．
故选：．
【点评】本题考查了一次函数的应用，利用数量关系，求出甲、乙的速度及、两地之间的距离是解题的关键．
｛一次函数的应用★★｝星期六下午，小张和小王同时从学校沿相同的路线去书店买书，小王出发4分钟后发现忘记带钱包，立即调头按原速原路回学校拿钱包，小王拿到钱包后，以比原速提高的速度按原路赶去书店，结果还是比小张晚4分钟到书店（小王拿钱包的时间忽略不计）．在整个过程中，小张保持匀速运动，小王提速前后也分别保持匀速运动，如图所示是小张与小王之间的距离（米与小王出发的时间（分钟）之间的函数图象，则学校到书店的距离为 840 米．
【分析】结合题意根据最后一段图象可求得根据小王后来的速度，进而可求得小王原来的速度，再根据第一段图象可求得小张的速度，最后根据两人行完全程的时间相差4分钟可得方程，解方程即可求得答案．
【解答】解：由题意可知：最后一段图象是小张到达书店后等待小王前往书店的图象，
则小王后来的速度为：（米分钟），
小王原来的速度为：（米分钟），
根据第一段图象可知：（米分钟），
小张的速度为：（米分钟），
设学校到书店的距离为米，
由题意得：，
解得：，
答：学校到书店的距离为840米，
故答案为：840．
【点评】本题考查了函数图象的实际应用，行程问题的基本关系，一元一次方程的应用，有一定的难度，求出两人的速度是解题的关键．
｛一次函数的应用★★｝快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的距离与它们的行驶时间之间的函数关系．以下结论：①快车途中停留了；②快车速度比慢车速度多；③图中；④快车先到达目的地．其中正确的是 ②③ ．（将正确答案的序号填在横线上）
【分析】根据题意可知两车出发2小时后相遇，据此可知他们的速度和为，相遇后慢车停留了，快车停留了，此时两车距离为，据此可得慢车的速度为，进而得出快车的速度为，根据“路程和速度和时间”即可求出的值，从而判断出谁先到达目的地．
【解答】解：根据题意可知，两车的速度和为：，
慢车的速度为：，则快车的速度为，
所以快车速度比慢车速度多；故②结论正确；
，
故相遇后慢车停留了，快车停留了，此时两车距离为，故①结论错误；
，
所以图中，故③结论正确；
快车到达终点的时间为小时，
慢车到达终点的时间为小时，
因为，
所以慢车先到达目的地，故④结论错误．
所以正确的是②③．
故答案为：②③．
【点评】本题考查了一次函数的应用，行程问题中数量关系的运用，函数图象的意义的运用，解答时读懂函数图象，从图象中获取有用信息是解题的关键．
｛一次函数的应用★★｝某商店购进甲，乙两种商品，甲的进货单价比乙的进货单价高10元，已知20个甲商品的进货总价与30个乙商品的进货总价相同．
（1）求甲、乙商品的进货单价；
（2）若甲、乙两种商品共进货100件，甲商品按进价提高后的价格销售，乙商品按进价提高后的价格销售，若甲、乙两种商品全部售完，设甲商品进货件，利润为，求关于的函数关系式；
（3）在条件（2）下，要求两种商品全部售完后的销售总额不低于2950元，并且不再考虑其他因素，哪种方案利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设甲的进货单价是元，则乙的进货单价是元，根据20个甲商品的进货总价与30个乙商品的进货总价相同，可得，即可得到答案；
（2）由已知销售一件甲商品利润为3（元，销售一件乙商品利润为6（元，即可得；
（3）根据两种商品全部售完后的销售总额不低于2950元，可得，解得，根据，即得时，最大是450（元．
【解答】解：（1）设甲的进货单价是元，则乙的进货单价是元，根据题意可得：
，解得，
，
答：甲的进货单价是30元，则乙的进货单价是20元；
（2）甲商品按进价提高后的价格销售，乙商品按进价提高后的价格销售，
销售一件甲商品利润为（元，销售一件乙商品利润为（元，
；
答：关于的函数关系式为；
（3）由（2）可得，甲商品单价为（元，乙商品单价为（元，
两种商品全部售完后的销售总额不低于2950元，
，解得，
，而，
随的增大而减小，
时，最大是（元，
答：甲商品进货50件时，利润最大，最大利润是450元．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，找准等量关系，根据各量的关系正确列出不等式．
｛一次函数的应用★★｝甲、乙两车从地出发，沿同一路线驶向地，甲车先出发匀速驶向地，后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了，结果与甲车同时到达地．甲乙两车距地的路程与乙车行驶时间之间的函数图象如图所示，则下列说法：
①；②甲的速度是；③乙刚开始的速度是；④乙出发第一次追上甲用时．
其中正确的是
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以计算出各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
，故①正确；
甲的速度是，故②正确；
设乙刚开始的速度是，则后来的速度为，
，
解得，故③错误；
设乙出发第一次追上甲用时，
，
解得，
，故④正确；
故选：．
【点评】本题考查一次函数的应用，从函数图象中获取解答问题的信息是解答本题的关键．
｛一次函数的应用★★｝春暖花开，万物复苏，同住美好佳苑小区的黄老师和蒋老师两家人相约自驾沿同一高速公路前往翠屏山公园踏青赏花．因为需要准备烧烤工具与食材，蒋老师比黄老师晚半小时出发，匀速行驶一段时间后，遇到其他车辆交通事故导致的堵点，原地停车等待了12分钟；而出发较早的黄老师一路畅通，匀速行驶抵达终点．为了尽快赶上黄老师，蒋老师在堵点疏通后，立刻加速以100千米小时匀速度向翠屏山公园赶去（两车上下高速时间与启动加速时间均忽略不计），在两车行驶的过程中，两车之间的距离（千米）与黄老师行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示，则蒋老师从家到翠屏山公园一共用了 小时．
【分析】设黄老师，蒋老师出发时的速度分别为、千米小时，由图象可知，蒋老师比黄老师晚本小时出发，当蒋老师出发时，黄老师与蒋老师相距35千米，则黄老师的速度为千米时，从图象信息可得出蒋老师的速度，根据“时间路程速度”即可求解．
【解答】解：设黄老师，蒋老师出发时的速度分别为、千米时，
由图象可知，蒋老师比黄老师晚本小时出发，当蒋老师出发时，黄老师与蒋老师相距35千米，
故（千米时），
由题意可知，当时，蒋老师开始以100千米时的速度追赶黄老师，此时将老师行驶时间为：（小时），
则，
解得，
当蒋老师追上黄老师时，，
解得，
由图象可知，当时，蒋老师到达翠屏山公园，
，
解得，
故当时，蒋老师到达翠屏山公园，
因为蒋老师在时出发，所以蒋老师从家出发到达翠屏山公园一共用了：．
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，准确识图并获取信息是解题的关键．
｛一次函数的应用★★｝甲、乙两车从地出发，匀速驶向地．甲车以的速度行驶后乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达地并停留后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离与乙车行驶时间之间的函数关系如图所示，则 160 ．点的坐标 ．
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以计算出的值，并求出点的坐标，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
乙车的速度为：，
，
点的纵坐标为：，横坐标为7，
即点的坐标为，
故答案为：160，．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
｛一次函数的应用★★｝小明的爸爸和小明早晨同时从家出发，以各自的速度匀速步行上班和上学，爸爸前往位于家正东方的公司，小明前往位于家正西方的学校，爸爸到达公司后发现小明的数学作业在自己的公文包里，于是立即跑步去小明，终于在途中追上了小明把作业给了他，然后再以先前的速度步行再回公司（途中给作业的时间忽略不计）．结果爸爸回到公司的时间比小明到达学校的时间多用了8分钟．如图是两人之间的距离（米与他们从家出发的时间（分钟）的函数关系图，则小明家与学校相距 1800 米．
【分析】小明的爸爸回到公司的时间比小明到达学校的时间多用了8分钟，由段可知8分钟小明的爸爸正好从家步行到公司，可以推出段两人之间的距离正好是家到学校的距离，求出设段两人之间的距离即可解决问题．
【解答】解：由图象可知，设段两人之间的距离为米，则有，
解得米，
爸爸回到公司的时间比小明到达学校的时间多用了8分钟，由段可知8分钟小明的爸爸正好从家步行到公司，
段两人之间的距离正好是家到学校的距离，
小明家与学校相距1800米，
故答案为1800．
【点评】本题考查一次函数的应用，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
｛一次函数的应用★★｝某商店销售10台型和20台型电脑的利润为4000元，销售20台型和10台型电脑的利润为3500元．
（1）求每台型电脑和型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不少于型电脑的3倍且不超过型电脑的4倍，设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元．
①求关于的函数关系式；
②该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
【分析】（1）设每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元；然后根据销售10台型和20台型电脑的利润为4000元，销售20台型和10台型电脑的利润为3500元列出方程组，然后求解即可；
（2）①根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解；
②根据型电脑的进货量不少于型电脑的3倍且不超过型电脑的4倍列不等式求出的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可．
【解答】解：（1）设每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元；
根据题意得，
解得：，
答：每台型电脑销售利润为100元，每台型电脑的销售利润为150元；
（2）①根据题意得，，
关于的函数关系式；
②据题意得，，
解得：，
，
随的增大而减小，
为正整数，
当时，取最大值，则，
该商店购进型电脑20台，型电脑80台，才能使销售总利润最大．
【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目信息，准确找出等量关系列出方程组是解题的关键，利用一次函数的增减性求最值是常用的方法，需熟练掌握．
（2021•赤峰）甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人间的距离（米与乙出发的时间（秒之间的函数关系如图所示，则下列结论正确的个数是
①乙的速度为5米秒；
②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米；
③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是；
④乙到达终点时，甲距离终点还有68米．
A．4B．3C．2D．1
【分析】通过函数图象可得，甲出发3秒走的路程为12米，乙到达终点所用的时间为80秒，根据行程问题的数量关系可以求出甲、乙的速度，利用数形结合思想及一元一次方程即可解答．
【解答】解：由函数图象，得：甲的速度为（米秒），乙的速度为（米秒），
故①正确；
设乙离开起点秒后，甲、乙两人第一次相遇，根据题意得：
，
解得：，
离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点为：（米，
故②错误；
当甲、乙两人之间的距离超过32米时，
，
可得，
故③正确；
乙到达终点时，所用时间为80秒，甲先出发3秒，
此时甲行走的时间为83秒，
甲走的路程为：（米，
乙到达终点时，甲、乙两人相距：（米，
故④正确；
结论正确的个数为3．
故选：．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
（2021•德州）小亮从学校步行回家，图中的折线反映了小亮离家的距离（米与时间（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，给出以下结论：①他在前12分钟的平均速度是70米分钟；②他在第19分钟到家；③他在第15分钟离家的距离和第24分钟离家的距离相等；④他在第33分钟离家的距离是720米．其中正确的序号为 ①④ ．
【分析】由图象可以直接得出前12分钟小亮的平均速度，从而得出①正确；由图象可知从12分到19分小亮又返回学校，可以判断②错误；分别求出小亮第15分和第24分离家距离可以判断③错误；求出小亮33分离家距离，可以判断④正确．
【解答】解：由图象知，前12分中的平均速度为：（米分），
故①正确；
由图象知，小亮第19分中又返回学校，
故②错误；
小亮在返回学校时的速度为：（米分），
第15分离家距离：，
从21分到41分小亮的速度为：（米分），
第24分离家距离：（米，
，
故③错误；
小亮在33分离家距离：（米，
故④正确，
故答案为：①④．
【点评】本题考查一次函数的应用，关键是利用已知信息和图象所给的数据分析题意，依次解答．
课堂总结：思维导图
分层训练：课堂知识巩固
1．（2022•鄂州模拟）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的不等式的解集是
A．B．C．D．
【分析】以两函数图象交点为分界，直线在直线的下方时，．
【解答】解：根据图象可得：不等式的解集为：，
故选：．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是能从图象中得到正确信息．
2．（2022•安徽）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象可能是
A．B．
C．D．
【分析】利用一次函数的性质进行判断．
【解答】解：与，
时，两函数的值都是，
两直线的交点的横坐标为1，
若，则一次函数与都是增函数，且都交轴的正半轴，图象都经过第一、二、三象限；
若，则一次函数经过第一、二、四象限，经过第一、三、四象限，且两直线的交点的横坐标为1；
故选：．
【点评】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数的图象有四种情况：
①当，时，函数的图象经过第一、二、三象限；
②当，时，函数的图象经过第一、三、四象限；
③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；
④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限．
3．（2022•乐昌市一模）如图，一次函数的图象过点，则不等式的解集是
A．B．C．D．
【分析】根据图象过点，且，即可确定不等式的解集．
【解答】解：根据函数图象可知，不等式的解集是：，
故选：．
【点评】本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．
4．（2022•佛山二模）若一次函数的图象过点、，则不等式的解集是
A．B．C．D．
【分析】根据平移的性质得出一次函数过点，然后根据一次函数的性质即可求得．
【解答】解：一次函数的图象过点、，
，
一次函数向右平移一个单位过，随的增大而增大，
不等式的解集是，
故选：．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，平移的性质，根据平移的性质求得一次函数的图象过点是解题的关键．
5．（2022•于洪区二模）如图，若，且，则一次函数的大致图象是
A．B．
C．D．
【分析】根据、的符号确定直线的变化趋势和与轴的交点的位置即可．
【解答】解：，且，
，，
一次函数的图象经过第一、二、三象限，
故选：．
【点评】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是了解系数与图象位置的关系，难度不大．
6．（2022•兰州模拟）已知关于，的方程组的解是，则直线与的交点在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】将代入，求出交点坐标，即可确定象限．
【解答】解：将代入，
得，
交点坐标为，
交点在第二象限．
故选：．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握二元一次方程组的解即是两一次函数的交点坐标是解题的关键．
7．（2022•重庆模拟）一辆货车从甲地到乙地，一辆轿车从乙地到甲地，两车沿同一条笔直的公路分别从甲、乙两地同时出发，匀速行驶．两车离乙地的距离（单位：和两车行驶时间（单位：之间的关系如图所示．下列说法错误的是
A．两车出发时相遇
B．甲、乙两地之间的距离是
C．货车的速度是
D．时，两车之间的距离是
【分析】根据函数图象中的数据，可以直接判断、是否正确，再根据图象中的数据，可以计算出货车的速度，从而可以判断，再计算出轿车的速度，从而可以计算出时，两车之间的距离，从而可以判断．
【解答】解：由图象可得，
两车出发时相遇，故选项正确，不符合题意；
甲、乙两地之间的距离是，故选项正确，不符合题意；
货车的速度是，故选项正确，不符合题意；
轿车的速度为：，则时，两车之间的距离是，故选项错误，符合题意；
故选：．
【点评】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
8．（2022•开州区模拟），两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地．甲、乙两人离开地的距离（单位：与时间（单位：间的关系如图所示，下列说法错误的是
A．乙比甲提前出发
B．甲行驶的速度为
C．时，甲、乙两人相距
D．或时，乙比甲多行驶
【分析】由图象可以直接判断正确；根据图象可以求出甲车速度，可以判断正确；求出乙车速度再求乙车走的路程和甲车走的路程即可判断；分两种情况求出甲、乙走的路程即可判断．
【解答】解：由图象可得，乙车比甲车早出发1小时，
故正确；
甲的速度是，
故正确；
乙的速度是，
甲车行走的路程为，
乙车行走的路程为，
后甲、乙相距，
故错误；
乙车走了，
甲车还在地没出发，此时乙比甲多行驶，
乙走了，
此时甲行走的路程为，
乙车比甲车多走了，
故正确．
故选：．
【点评】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
9．（2022•雁塔区校级模拟）一次函数的图象经过点，每当增加1个单位时，增加3个单位，则此时函数图象向上平移2个单位长度的表达式是
A．B．C．D．
【分析】根据题意得出一次函数的图象也经过点，根据待定系数法求得解析式，进而根据平移的规律即可求得平移后的函数解析式．
【解答】解；由题意可知一次函数的图象也经过点，
，
解得
此函数表达式是，
函数的图象向上平移2个单位长度的表达式为，
故选：．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
二．填空题（共4小题）
10．（2021•德州）小亮从学校步行回家，图中的折线反映了小亮离家的距离（米与时间（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，给出以下结论：①他在前12分钟的平均速度是70米分钟；②他在第19分钟到家；③他在第15分钟离家的距离和第24分钟离家的距离相等；④他在第33分钟离家的距离是720米．其中正确的序号为 ①④ ．
【分析】由图象可以直接得出前12分钟小亮的平均速度，从而得出①正确；由图象可知从12分到19分小亮又返回学校，可以判断②错误；分别求出小亮第15分和第24分离家距离可以判断③错误；求出小亮33分离家距离，可以判断④正确．
【解答】解：由图象知，前12分中的平均速度为：（米分），
故①正确；
由图象知，小亮第19分中又返回学校，
故②错误；
小亮在返回学校时的速度为：（米分），
第15分离家距离：，
从21分到41分小亮的速度为：（米分），
第24分离家距离：（米，
，
故③错误；
小亮在33分离家距离：（米，
故④正确，
故答案为：①④．
【点评】本题考查一次函数的应用，关键是利用已知信息和图象所给的数据分析题意，依次解答．
11．（2021•铁西区模拟）一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量与时间之间的关系如图所示，则每分钟的出水量为 3.75 ．
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以先求出进水量，然后再根据图象中的数据，即可求得出水量，本题得以解决．
【解答】解：由图象可得，
每分钟的进水量为：，
每分钟的出水量为：，
故答案为：3.75．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12．（2020•南京）将一次函数的图象绕原点逆时针旋转，所得到的图象对应的函数表达式是 ．
【分析】利用直线与两坐标轴的交点坐标，求得旋转后的对应点坐标，然后根据待定系数法即可求得．
【解答】解：在一次函数中，令，则，令，则，
直线经过点，
将一次函数的图象绕原点逆时针旋转，则点的对应点为，的对应点是
设对应的函数解析式为：，
将点、代入得，解得，
旋转后对应的函数解析式为：，
故答案为．
【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，掌握旋转的性质是解本题的关键．
13．（2020•黔东南州）把直线向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所得直线的解析式为 ．
【分析】直接利用一次函数的平移规律进而得出答案．
【解答】解：把直线向左平移1个单位长度，得到，
再向上平移2个单位长度，得到．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了一次函数与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．
1．（2022•恩施州）如图1是我国青海湖最深处的某一截面图，青海湖水面下任意一点的压强（单位：与其离水面的深度（单位：的函数解析式为，其图象如图2所示，其中为青海湖水面大气压强，为常数且．根据图中信息分析（结果保留一位小数），下列结论正确的是
A．青海湖水深处的压强为
B．青海湖水面大气压强为
C．函数解析式中自变量的取值范围是
D．与的函数解析式为
【分析】由图象可知，直线过点和．由此可得出和的值，进而可判断，；根据实际情况可得出的取值范围，进而可判断；将代入解析式，可求出的值，进而可判断．
【解答】解：由图象可知，直线过点和，
，
解得．
直线解析式为：．故错误，不符合题意；
青海湖水面大气压强为，故错误，不符合题意；
根据实际意义，，故错误，不符合题意；
将代入解析式，
，即青海湖水深处的压强为，故正确，符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查一次函数的实际应用，涉及一次函数的图象和性质，待定系数法等知识．关键是计算过程中需要结合实际意义．
2．（2022•玉林）龟兔赛跑之后，输了比赛的兔子决定和乌龟再赛一场．图中的函数图象表示了龟兔再次赛跑的过程表示兔子和乌龟从起点出发所走的时间，，分别表示兔子与乌龟所走的路程）．下列说法错误的是
A．兔子和乌龟比赛路程是500米
B．中途，兔子比乌龟多休息了35分钟
C．兔子比乌龟多走了50米
D．比赛结果，兔子比乌龟早5分钟到达终点
【分析】根据函数图象中的数据可以判断各个选项中的结论是否正确．
【解答】解：、“龟兔再次赛跑”的路程为500米，原说法正确，故此选项不符合题意；
、乌龟在途中休息了（分钟），兔子在途中休息了（分钟），兔子比乌龟多休息了35分钟，原说法正确，故此选项不符合题意；
、兔子和乌龟同时从起点出发，都走了500米，原说法错误，故此选项符合题意；
、比赛结果，兔子比乌龟早5分钟到达终点，原说法正确，故此选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查一次函数的应用，能够从函数图象中获取解答问题的信息是解答本题的关键．
3．（2022•东莞市校级一模）如图，直线分别与轴、轴交于点和点，点，分别为线段，的中点，点为上一动点，当值最小时，点的坐标为
A．B．C．D．
【分析】根据一次函数解析式求出点、的坐标，再由中点坐标公式求出点、的坐标，根据对称的性质找出点的坐标，结合点、的坐标求出直线的解析式，令即可求出的值，从而得出点的坐标．
【解答】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，最小值为，如图．
令中，则，
点的坐标为；
令中，则，解得：，
点的坐标为．
点、分别为线段、的中点，
点，点．
点和点关于轴对称，
点的坐标为．
设直线的解析式为，
直线过点，，
，解得：，
直线的解析式为．
令，则，解得：，
点的坐标为．
故选：．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是求出直线的解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
4．（2022•周村区一模）如图，点的坐标是，点是以为直径的上的一动点，点关于点的对称点为点．当点在上运动时，所有这样的点组成的图形与直线有且只有一个公共点，则的值为
A．B．C．D．
【分析】根据点的对称性和直径所对的圆周角是直角，可知点的运动轨迹；当点所组成的图形与直线有且只有一个公共点时，即直线与圆相切，根据求出的值，即可求出的值．
【解答】解：连接，，为圆的直径，
，
与关于点对称，
，
点运动的轨迹是以为圆心，2为半径的圆．
点组成的图形与直线有且只有一个公共点，
直线与圆相切．
设直线与轴，轴相交于，，
作，垂足为，
，当时，，
，
在中，根据勾股定理得，
，
，
，，
，
，
代入，，，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了一次函数与圆的综合题，确定点的运动轨迹和点的坐标是解决本题的关键，本题难度较大．
5．（2022•靖西市模拟）对于实数，，我们定义符号，的意义为：当时，，；当时，，；如：，，，，若关于的函数为，，则该函数的最小值是
A．2B．1C．0D．
【分析】根据新定义内容分情况讨论，然后结合一次函数的增减性求得函数最小值．
【解答】解：当时，
解得：，
此时，
，
随的增大而增大，
当时，最小为1；
当时，
解得：，
此时，
，
随的增大而减小，
综上，当时，最小为1，
故选：．
【点评】本题考查一次函数的性质，理解新定义内容，分情况列出函数解析式并掌握一次函数的性质是解题关键．
6．（2022•长垣市一模）如图，在菱形中，，，点，在直线上，且点的坐标为，．将菱形绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第85次旋转结束时，点的坐标为
A．，B．C．D．，
【分析】根据旋转的性质及旋转角，先求出点坐标，由题意可得每次8旋转一个循环，即可求解．
【解答】解：如图，设菱形对角线与交于点，
点，，点，在直线上，
，，
，，四边形是菱形，
，
，
，
，
第一次旋转，点的坐标为，
第三次旋转，点的坐标为，
第五次旋转，点的坐标为，
由题意可得每次8旋转一个循环，
，
第85次旋转结束时，点的坐标与第五次旋转后点的坐标相同，为，
故选：．
【点评】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，一次函数图象上点的坐标特点，找到旋转的规律是本题的关键．
7．（2022•增城区一模）如图所示，直线分别与轴、轴交于点、，以线段为边，在第二象限内作等腰直角，，则过、两点直线的解析式为
A．B．C．D．
【分析】过作垂直于轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，以及，利用得到三角形与三角形全等，由全等三角形对应边相等得到，，由求出的长，即可确定出坐标，然后根据待定系数法即可求得过、两点的直线对应的函数表达式．
【解答】解：对于直线，令，得到，即，，
令，得到，即，，
过作轴，可得，
，
为等腰直角三角形，即，，
，
，
在和中，
，
，
，，即，
，
设直线的解析式为，
，
，
解得．
过、两点的直线对应的函数表达式是．
故选：．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．
8．（2022•三明模拟）在平面直角坐标系中，一次函数的图象为直线，在下列结论中：
①无论取何值，直线一定经过某个定点；
②过点作，垂足为，则的最大值是；
③若与轴交于点，与轴交于点，为等腰三角形，则；
④对于一次函数，无论取何值，始终有，则或．
其中正确的是（填写所有正确结论的序号） ①②④ ．
【分析】根据一次函数的图象和性质分别判断．
【解答】解：一次函数，
当时，．
函数图象过定点．
①正确．
，垂足为，
当点与点重合时，最大．
此时．
②正确．
在中，当时，，
当时，，
，，．
，是等腰三角形，
．
或，
或．
③错误．
一次函数的图象过定点，
一次函数过定点，
无论取何值，始终有
当时，若，两直线平行时，始终有．
符合题意．
当时，
设经过点，的直线为，
，
解得：，，
．
如图：
一次函数的图象过定点，
当，若时，直线，不论取何值，始终有，
符合题意．
或．
④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查一次函数综合问题，充分掌握一次函数的图象和性质是求解本题的关键．
9．（2021•桐乡市一模）如图，已知一次函数的图象分别与轴，轴相交于点，，是直线上一点．当时，点的坐标是 或 ．
【分析】过点作垂足为，连接、，先求出、点的坐标、线段、、三条线段长，再用等面积法求出长，先用三角函数求出长，再设点坐标，根据两点距离公式表示长，然后列成方程求出解即可．
【解答】解：过点作垂足为，连接、，
令，，
解得，，
令，，，
，，
在中根据勾股定理得，
，
，
，
当时，
在中，
，
设
，
，
解得，，
当时，，此时，
当时，，此时．
故答案为：或．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，掌握等面积法、两点距离公式、三角函数求出线段的长是解题关键．
10．（2022•沂源县一模）如图，四边形的顶点坐标分别为，，，，当过点的直线将四边形分成面积相等的两部分时，则直线的函数表达式为 ．
【分析】根据题意画出直线，再设解析式，代入点坐标，分别求出和得解析式，根据铅垂高水平宽等于的面积，即可求出的值，再代入、点坐标即可求出解析式．
【解答】解：如图所示，作直线交于点，过点作轴，交于点．
设直线将四边形的面积分成面积相等的两部分，
设直线的解析式为，代入点，，
得，
设直线的解析式为，代入点，，
得，
设，则，
四边形的面积为，
，
解得，
点坐标为，
设的解析式为，代入和，
解得，
的解析式为．
【点评】本题考查了一次函数和三角形面积，正确求出一次函数解析式并表示出的面积是解决本题的关键．
11．（2022•昭化区模拟）2022年冬奥会已经圆满结束，但是人们对冬奥会吉祥物冰墩墩和冬残奥会吉祥物雪容融的喜爱只增不减．2022年1月初，某冬奥会吉祥物特许商品零售店销售冰墩墩和雪容融这两款毛绒玩具，当月售出了200个冰墩墩和100个雪容融，销售总额为28000元．2月售出了300个冰墩墩和200个雪容融，销售总额为46000元．
（1）求冰墩墩和雪容融毛绒玩具的销售单价．
（2）已知冰墩墩和雪容融毛绒玩具的成本分别为80元个和50元个．进入2022年3月后，这两款毛绒玩具持续热销，于是该特许商品零售店再次购进了这两款毛绒玩具共600个，其中雪容融毛绒玩具的数量不超过冰墩墩毛绒玩具的2倍，且购进总价不超过37200元．为回馈新老客户，该特许商品零售店决定对雪容融毛绒玩具降价后再销售，若3月购进的这两款毛绒玩具全部售出，当冰墩墩毛绒玩具购进多少个时，该特许商品零售店当月的销售利润最大？并求出最大利润．
【分析】（1）根据当月售出了200个冰墩墩和100个雪容融，销售总额为28000元．2月售出了300个冰墩墩和200个雪容融，销售总额为46000元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）设购进“冰墩墩” 个，购进“雪容融” 个，根据“雪容融毛绒玩具的数量不超过冰墩墩毛绒玩具的2倍，且购进总价不超过37200元”可列出关于的一元一次不等式组，求出的取值范围，再根据题干条件列出与的函数关系式，根据一次函数的性质可得出结论．
【解答】解：（1）设“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别为元和元，
由题意可得：，
解得，
答：“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别为100元和80元；
（2）设购进“冰墩墩” 个，购进“雪容融” 个，利润为元，
根据题意可知，，
解得．
，
，
随的增大而增大，
当时，最大为（元．
当冰墩墩毛绒玩具购进240个时，该特许商品零售店当月的销售利润最大，最大利润为9840元．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．
1．（2022•攀枝花）中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高速公路之一，全长．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段表示货车离西昌距离与时间之间的函数关系：折线表示轿车离西昌距离与时间之间的函数关系，则以下结论错误的是
A．货车出发1.8小时后与轿车相遇
B．货车从西昌到雅安的速度为
C．轿车从西昌到雅安的速度为
D．轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有
【分析】根据“速度路程时间”分别求出两车的速度，进而得出轿车出发的时间，再对各个选项逐一判断即可．
【解答】解：由题意可知，
货车从西昌到雅安的速度为：，故选项不合题意；
轿车从西昌到雅安的速度为：，故选项不合题意；
轿车从西昌到雅安所用时间为：（小时），
（小时），
设货车出发小时后与轿车相遇，根据题意得：
，
解得，
货车出发1.8小时后与轿车相遇，故选项不合题意；
轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有，故选项符合题意．
故选：．
【点评】此题为一次函数的应用，解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．
2．（2022•钦州一模）定义一种运算：则函数的图象大致是
A．B．
C．D．
【分析】根据，可得当时，，分两种情况：当时和当时，分别求出一次函数的关系式，然后判断即可得出结论．
【解答】解：当时，，
当时，，
即：，
当时，，
即：，
，
当时，，函数图象从左向右逐渐上升，随的增大而增大，
综上所述，选项符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了一次函数的图象，能在新定义下，求出函数关系式是解题的关键．
3．（2022•定远县模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于、两点，以线段为边在右侧作等边三角形，边与轴交于点，边与轴交于点，点是轴上的一个动点，连接，，．下面的结论中，正确的是
①；②；③当时，；④点的坐标为；⑤当时，；
A．①③B．②④⑤C．①②③D．①②③④⑤
【分析】根据等边三角形的性质可得，再由题意可得，，从而得到，进而得到，再根据三角形外角的性质，则①正确；过点作轴于点，轴于点，则，可证得，，从而得到，，再由三角形的面积，可得②正确；根据，可得，再根据等腰三角形的性质，可得，，则得到③正确；过点作于点，可得过点，根据勾股定理可得，，从而得到，再由等腰直角三角形的性质可得④正确；设点，则，，可得到，，再由，求出，即可求解．
【解答】解：为等边三角形，
当时，，当时，，
，，
，
，
，，
，故①正确；
如图，作轴，轴，则，
，，
，
，，
，
，
，
，
，即，
，
，故②正确；
，，
，
，，
，故③正确；
如图，过点作于点，
，
过点，
，，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点的坐标为，故④正确；
设点，则，，
，，
，
，
，即，
，
解得：，
，故⑤正确
所以正确的有①②③④⑤，共5个．
故选：．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握相关知识点，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
4．（2021•扬州）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，把直线绕点顺时针旋转交轴于点，则线段长为
A．B．C．D．
【分析】根据一次函数表达式求出点和点坐标，得到为等腰直角三角形和的长，过点作，垂足为，证明为等腰直角三角形，设，结合旋转的度数，用两种方法表示出，得到关于的方程，解之即可．
【解答】解：一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，
令，则，令，则，
则，，，
则为等腰直角三角形，，
，
过点作，垂足为，
，
为等腰直角三角形，设，
，
由旋转的性质可知，
，
，
又，
，
解得：，
，
故选：．
【点评】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．
5．（2021•台儿庄区模拟）如图，已知点的坐标为，点的坐标为，，点在直线上运动，当最大时点的坐标为
A．B．C．，D．
【分析】根据轴对称的性质及待定系数法可求得答案．
【解答】解：作关于直线对称点，易得的坐标为；连接，可得直线的方程为；
求与直线的交点，可得交点坐标为；
此时取得最大值，其他不共线的情况，根据三角形三边的关系可得；
故选：．
【点评】本题考查轴对称的运用，有很强的综合性，难度较大．
二．填空题（共1小题）
6．（2022•竹山县模拟）一次函数的图象于轴、轴分别交于点，，点，分别是，的中点，是上一动点．当周长最小时，点的坐标为 ．
【分析】作点关于中的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，根据中点坐标公式求出、点的坐标，再求出直线的解析式，再求出与轴的交点坐标即可．
【解答】解：如图：作点关于中的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，
长为定值，
当的值最小时，周长最小，
，，点，分别是，的中点，
，，
，
设直线为：，
把，，代入得，
，
解得看，，
，
令，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象、最短路线问题，熟练掌握这三个知识点的综合应用，最短路线问题中点的确定及求出直线的解析式是解题关键．
7．（2022•岚山区一模）【探究发现】正方形的对角线长与它的周长及面积之间存在一定的数量关系．已知正方形的对角线长为，则正方形的周长为 ，面积为 （都用含的代数式表示）．
【拓展综合】如图1，若点、是某个正方形的两个对角顶点，则称、互为“正方形关联点”，这个正方形被称为、的“关联正方形”．
（1）在平面直角坐标系中，点是原点的“正方形关联点”．
①若，则、的“关联正方形”的周长是 ；
②若点在直线上，则、的“关联正方形”面积的最小值是 ．
（2）如图2，已知点，，点在直线上，正方形是、的“关联正方形”，顶点、到直线的距离分别记为和，求的最小值
【分析】【探究发现】根据正方形的性质可知，正方形的边长等于其对角线长的倍，再根据正方形的周长与面积公式列式计算即可；
【拓展综合】
（1）①根据“关联正方形”的定义可知，是某个正方形的两个对角顶点，根据两点间的距离公式求出，乘以，得到该正方形的边长，进而求出周长；
②根据正方形的面积公式可知，当正方形的边长最小时，面积最小，由垂线段最短得出此时与直线互相垂直，根据等腰直角三角形的性质求出，进而求出最小面积；
（2）过、分别作直线的垂线，垂足分别为、，证明，得出，当直线时有最小值．求出此时的长，进而求解即可．
【解答】解：【探究发现】
正方形的对角线长为，
正方形的边长为，
正方形的周长为，面积为．
故答案为：，；
【拓展综合】
（1）①，，
，
、的“关联正方形”的边长是，
周长是．
故答案为：；
②设直线与轴交于点，与轴交于点，则，．
如图1，作于，此时最小，则、的“关联正方形”面积最小．
，，
，
，，
，
、的“关联正方形”的边长为，
、的“关联正方形”的面积为；
故答案为：；
（2）如图2，过、分别作直线的垂线，垂足分别为、．
，
，
．
在与中，
，
，
，，
，，
，
求的最小值即求正方形边长的最小值，
又，
即是求的最小值，
根据垂线段最短可知，当直线时，最小，即有最小值．
过点，作直线的垂线，垂足为．
设直线的解析式为：，
把，代入，，
解得，
．
解方程组，得，
，，
，
正方形的边长为，
的最小值为．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了新定义，利用待定系数法求直线的解析式，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线的性质，两点间的距离公式，两条直线交点坐标的求法等知识，正确理解“关联正方形”是解题的关键．
8．（2022•南岗区校级一模）已知，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，．
（1）如图1，求直线的解析式；
（2）如图2，点是第一象限内一点，，交轴负半轴于点，若点的横坐标为，线段的长为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，当时，点是线段上，点在线段上，，连接，作轴，连接交线段于点，连接、，若，，求点的坐标．
【分析】（1）先利用确定点坐标，根据，可得出点坐标，然后把点坐标代入得的值，即可得到抛物线解析式；
（2）过作交延长线于，根据矩形的判定和性质得出，，再根据正方形的判定和性质得出，然后通过证，可得出，由，即可得到答案；
（3）由，结合（2）中的结论，可得出，，由，，可得，根据平行线的性质得出，由，，得出，进而得到，根据勾股定理得出、的长度，进而得出点、点坐标，所以是直线，在直线中，令，则，求出的值，即可得出点的坐标．
【解答】解：（1）当时，，即，
，
，
，即，
把代入直线得：
解得：，
直线的解析式为：．
（2）过作交延长线于，
轴，，
四边形是矩形，
，
矩形是正方形，
，
，
，
，
在和中，
，，，
，
，
又，即，
．
（3）由（2）得，
又，
，
，
，即，，
延长交于点，过点作于点．可证，
设，，则，
，
，
，
，
，
由．可得，
，
，
直线 解析式为，
直线的解析式为，
由，解得，
，．
【点评】本题为一次函数综合运用题，涉及到三角形全等、一次函数表达式的求解，其中（3），求解点的坐标是本题的难点，本题数据处理非常复杂，对学生数据计算能力要求很高．
9．（2022•黑龙江）为了迎接“十一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．
（1）求的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润售价进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
【分析】（1）用总价除以单价表示出购进鞋的数量，根据两种鞋的数量相等列出方程求解即可；
（2）设购进甲种运动鞋双，表示出乙种运动鞋双，然后根据总利润列出一元一次不等式，求出不等式组的解集后，再根据鞋的双数是正整数解答；
（3）设总利润为，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可．
【解答】解：（1）依题意得，，
整理得，，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
所以，；
（2）设购进甲种运动鞋双，则乙种运动鞋双，
根据题意得，，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
所以，不等式组的解集是，
是正整数，，
共有11种方案；
（3）设总利润为，则，
①当时，，随的增大而增大，
所以，当时，有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双；
②当时，，，（2）中所有方案获利都一样；
③当时，，随的增大而减小，
所以，当时，有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．
【点评】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系，（3）要根据一次项系数的情况分情况讨论．
10．（2021•南岗区校级二模）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线分别交轴、轴于点、，的面积为25．
（1）求的值；
（2）如图2，点为上一点不与、重合），为轴正半轴一点，连接交轴于点，、关于点对称，设点的横坐标为，的正切值为，求关于的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，为上一点，为的中点，连接，，为第一象限一点，，连接、，将沿翻折交于点，，当时，求直线的解析式．
【分析】（1）由函数解析式求出点，再结合的面积为25求出的长度，然后求的值；
（2）由中心对称得点的坐标，结合的正切值得出关于的函数表达式；
（3）以的值为突破点，求出的值，得到点的坐标，再由，得点，最后根据，构造全等三角形和相似三角形求出直线的解析式．
【解答】解：（1）令，得：，
，，
，
，
，，
把代入，得：，
，
．
（2）点的横坐标为，、关于点对称，
，，，
．
（3）当时，，
，，
直线的解析式为：，
连接
，
，
，
，，
，
，
，
点为的中点，
，
，
为直角三角形，，
，
作于点，交轴于点，则：，，
设点，
，
解得：，，
，
在上截取，过点作于点，过点作于点，
由折叠可知，，
，
，
，
又，，
，
，，
，，
，，
，
，
，
解得：，，
，
，
，
，
设的解析式为：，
把，代入得：
，解得：，
直线的解析式为：．
【点评】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点，中心对称，解直角三角形、三角形外角的性质和等腰直角三角形的性质．在第三问中，要注意两个条件的转化，一就是线段比例转化为相似，二就是角的数量关系转化得到等腰直角三角形．
11．（2021•永嘉县校级模拟）如图平面直角坐标系中，原点是的斜边的中点，点的坐标为，点在第四象限，，分别是线段，上的动点，且，当点运动到原点时，点恰好运动到的中点，与点，绕点顺时针旋转得到．
（1）求的长和的值（直接写出答案）．
（2）设，
①当时，请用的代数式表示，；
②连接，在，运动的过程中，是否存在直线与的三边所在的直线垂直，若存在，求出所有满足条件的的长，若不存在，请说明理由．
（3）连接，若直线的解析式为时，请直接写出的值．
【分析】（1）根据直角三角形斜边中线定理得出，则，由得出的长，根据勾股定理求出，即可得的值；
（2）①由得，证明，根据相似三角形的性质即可求解；
②分三种情况：当直线时，，共线，根据等腰直角三角形的性质求解即可；当直线时，证明，，根据相似三角形的性质即可求解；当直线时，由，共线，，两点重合，可得的值，即可求解．
【解答】解：（1）原点是的斜边的中点，
，，
如图1，当点运动到原点时，，
，
，
，
在中，，
．
，；
（2）①如图2，，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
用的代数式表示，为，；
②分三种情况：
当时，如图3，
，
，共线，
是等腰直角三角形，且，
，
由①中，，得，
解得，
；
当直线时，如图4，
过点作于点，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，设垂足为点，
，，
，
，
，
，即，
解得，
；
当直线时，如图5，
，
，共线，，两点重合，
由（1）可知为的中点，
，
，
，
．
综上所述，或或4；
（3）直线的解析式为，
直线与轴所夹的锐角为，如图6，设直线交轴于点，交轴于点，
则，
，
轴，
同理轴，轴，
，，
，
，
，
，
在中，，，，
，
，即，
，
，
，
，，，，，，
，，
，
，，
，，
，，
，，代入，可得．
【点评】本题考查了三角函数，相似三角形，全等三角形，直角三角形，一次函数等知识点，综合题型，比较复杂，合理分析动点的运动状态，准确画图，寻找数据之间的关系是解题的关键．
1
2
12
11
10
8
1
5
3
0
1
2
1
2
3
4
5
0
1
2
5
2
运动鞋
价格
甲
乙
进价（元双）
售价（元双）
240
160