中考数学一轮复习考点精讲与分层训练专题15 特殊三角形（2份，原卷版+解析版）

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理解线段垂直平分线的概念
探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
了解等腰三角形的概念
探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合
探索并证明等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形
探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°
探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形
了解直角三角形的概念
探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余
探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
探索勾股定理、勾股定理的逆定理
能运用勾股定理及其逆定理解决一些简单的实际问题
探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理
了 1/2 解三角形重心的概念
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc6450" 第15讲 特殊三角形（精讲） PAGEREF _Tc6450 \h 1
\l "_Tc32437" 考点1：等腰三角形及其计算 PAGEREF _Tc32437 \h 2
\l "_Tc24205" 考点2：等边三角形及其计算 PAGEREF _Tc24205 \h 15
\l "_Tc3597" 考点3：角平分线与垂直平分线 PAGEREF _Tc3597 \h 26
\l "_Tc20963" 考点4：直角三角形及其计算 PAGEREF _Tc20963 \h 40
\l "_Tc4369" 课堂总结：思维导图 PAGEREF _Tc4369 \h 62
\l "_Tc28257" 分层训练：课堂知识巩固 PAGEREF _Tc28257 \h 63
考点1：等腰三角形及其计算
（1）性质
①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC∠B＝∠C；
②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;
③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.
（2）判定
①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；
②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.

｛等腰三角形的性质★｝如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点，到杆脚的距离相等，且，，在同一直线上时，电线杆就垂直于，工程人员这种操作方法的依据是
A．等边对等角B．等角对等边
C．垂线段最短D．等腰三角形“三线合一”
【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：，，，故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，故选：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
｛等腰三角形的性质★｝如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为
A．7B．8C．9D．10
【分析】由平行线的性质和角平分线的定义可得，，从而，，从而解决问题．
【解答】解：，，，和的平分线分别交于点、，，，，，
，，，，
，故选：．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质等知识，证明，是解题的关键．
｛等腰三角形的性质★★｝如图，在中，平分，，，，则的周长为
A．B．C．D．
【分析】根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，求得，于是得到结论．
【解答】解：平分，，，，
，，的周长，
，，的周长为，故选：．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．
｛等腰三角形的性质★★｝如图，已知，，，且，则 ．
【分析】延长交于，根据可得，求得、、、都在以点为圆心半径为5的圆上，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：延长交于，，，，
，，、、都在以点为圆心半径为5的圆上，
过作于，则，是等腰直角三角形，
，故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．
｛等腰三角形的性质★★｝中，，且上的中线把这个三角形的周长分成了和的两部分，求这个三角形的腰长 8 ．
【分析】设，，，再分和两种情况进行讨论．
【解答】解：设，，，当时，，解得；
当时，，解得（不合题意，舍去）．这个三角形的腰长是，故答案为：8．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论．
｛等腰三角形的性质★★★｝如图，在中，，，点在的三边上运动，当成为等腰三角形时，其顶角的度数是 或或 ．
【分析】作出图形，然后分点在上与上两种情况讨论求解．
【解答】解：①如图1，点在上时，，顶角为，②，，，如图2，点在上时，若，顶角为，如图3，若，则顶角为，综上所述，顶角为或或．故答案为：或或．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，难点在于要分情况讨论求解，作出图形更形象直观．
｛等腰三角形的性质★★★｝在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，在轴上确定一点，使得为等腰三角形，则符合条件的点有 4 个．
【分析】使为等腰三角形，只需分两种情况考虑：当底边或当腰．当是底边时，则点即为的垂直平分线和轴的交点；当是腰时，则点即为分别以、为圆心，以为半径的圆和轴的交点（点除外）．
【解答】解：（1）若作为腰时，有两种情况，当是顶角顶点时，是以为圆心，以为半径的圆与轴的交点，共有1个；当是顶角顶点时，是以为圆心，以为半径的圆与轴的交点，有2个；
（2）若是底边时，是的中垂线与轴的交点，有1个．
以上4个交点没有重合的．故符合条件的点有4个．故答案为4．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
｛等腰三角形的性质★★｝“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是 ．
【分析】由等腰三角形的性质可得，，由外角性质可得，即可求解．
【解答】解：，，，，
，，，，
，故答案为：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质进行推理是本题关键．
｛等腰三角形的性质★★★｝若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则一个底角为 或 ．
【分析】先知三角形有两种情况（1）（2），求出每种情况的顶角的度数，再利用等边对等角的性质（两底角相等）和三角形的内角和定理，即可求出底角的度数．
【解答】解：有两种情况；（1）如图当是锐角三角形时，于，
则，已知，，，
；
（2）如图，当是钝角三角形时，于，则，已知，
，，，，，，等腰三角形的底角是或．故答案为：或．
【点评】本题考查了三角形有关高问题有两种情况的理解和掌握，能否利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，知三角形的一个角能否求其它两角．
｛等腰三角形的性质★★★｝在中，，，，在射线上有一点，若以、、为顶点的三角形恰为等腰三角形，则 或10或16 ．
【分析】当为等腰三角形时应分当是顶角顶点，当是顶角顶点，当是顶角的顶点三种情况进行讨论，利用勾股定理求得的长，从而求解．
【解答】解：①如图1，当时，在中，根据勾股定理得到：，即，解得，，则②如图2，当时．
在中，根据勾股定理得到：，；
③如图3，当时，，综上所述，的值是：或10或16；
故答案是：或10或16．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定．解题时，注意要分类讨论，以防漏解．另外，解题过程中，采用了“数形结合”的数学思想．
｛等腰三角形的性质★★｝如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴上，，在坐标轴上找一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点共有 6 个．
【分析】分类讨论：时，时，时，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得答案．
【解答】解：①当时，在轴上有2点满足条件的点，在轴上有1点满足条件的点．
②当时，在轴上有1点满足条件的点，在轴上有2点满足条件的点，有1点与时的轴正半轴的点重合．③当时，在轴、轴上各有一点满足条件的点，有1点与时的轴正半轴的点重合．综上所述：符合条件的点共有6个．故答案为：6．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，把所有可能的情况都找出来，不遗漏掉任何一种情况是本题的关键．
｛等腰三角形的性质★★｝如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，，则 3 ．
【分析】根据平行线的性质得到，，由角平分线的定义得到，，于是得到，，代入数据即可得到结论．
【解答】解：，，，和的平分线分别交于点、，，，，，
，，若，，，
，即，，故答案为：3．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明，属于基础题．
｛等腰三角形的性质★★｝如图，以等边的边为腰作等腰，使，连接，若，则的度数为 30 ．
【分析】根据等边三角形的性质和等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：是等边三角形，，，，
设，则，，，
，，，
，，．故答案为：30．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
｛等腰三角形的性质★★｝（2020秋•崇川区校级期中）已知：如图，中，平分，平分，过作直线平行于，交、于、．求证：
（1）是等腰三角形；（2）．
【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的性质，解出是等腰三角形；
（2）根据平行线的性质和角平分线的性质，解出是等腰三角形，通过等量代换即可得出结论．
【解答】证明：（1）平分，，，，
，，是等腰三角形；（2）平分，，，，，，由（1）得，，．
【点评】本题综合考查等腰三角形的性质及平行线的性质；一般是利用等腰（等边）三角形的性质得出相等的边，进而得出结论．进行等量代换是解答本题的关键．
（2021•本溪）如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点，点为的中点，连接，若，则的周长为
A．B．C．D．4
【分析】由题意得是的平分线，再由等腰三角形的性质得，，由勾股定理得，然后由直角三角形斜边上的中线性质得，求解即可．
【解答】解：由图中的尺规作图得：是的平分线，，，，
，，点为的中点，，
的周长，故选：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、尺规作图等知识；熟练掌握尺规作图和等腰三角形的性质，证出是解题的关键．
（2020•福建）如图，是等腰三角形的顶角平分线，，则等于
A．10B．5C．4D．3
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．
【解答】解：是等腰三角形的顶角平分线，，．故选：．
【点评】考查了等腰三角形的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
（2020•自贡）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则的度数是
A．B．C．D．
【分析】根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：在中，，，，，，，故选：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的理解题意是解题的关键．
（2021•牡丹江）过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为 或 ．
【分析】首先根据题意画出符合题意的所有图形，然后利用等腰三角形求解即可求得答案．
【解答】解：（1）如图，中，，，，求的度数．
，，，，，
，，，，，
（2）如图，中，，，求的度数．
，，，
，，，故答案为：或．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理的综合运用．注意分类讨论思想的应用是解此题的关键．
（2021•绍兴）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连结，则的度数是 或 ．
【分析】根据等腰三角形的性质可以得到各内角的关系，然后根据题意，画出图形，利用分类讨论的方法求出的度数即可．
【解答】解：如右图所示，
当点在点的左侧时，
，，，
，，
，；
当点在点的右侧时，
，，，
，
，，
；由上可得，的度数是或，故答案为：或．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、圆的性质，解答本题的关键是画出合适的辅助线，利用分类讨论的方法解答．
考点2：等边三角形及其计算
（1）性质
①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.
即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；
②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.
（2）判定
①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；
③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.

｛等边三角形的性质★｝如图，已知等边三角形纸片，点在边上，点在边上，沿折叠，使点落在边上的点的位置，且，则 ．
【分析】由翻折的性质可知，在中，由三角形内角和求解即可．
【解答】解：由翻折的性质可知；．为等边三角形，
，，．，
为直角三角形，，，
．故答案为：
【点评】本题主要考查是翻折的性质，关键是根据等边三角形的性质和翻折的性质解答．
｛等边三角形的性质★｝将一张等边三角形纸片ABC和一块直角三角板DBC（其中∠DBC＝45°）按如图所示的位置摆放．若BD＝，则点A和点D之间的距离为 ﹣1 ．
【分析】要求点A和点D之间的距离，所以想到连接AD，由于△ABC与△BDC都是等腰三角形，想到等腰三角形的“三线合一”的性质，进而延长AD交BC于点E，最后放在两个直角三角形中解决即可．
【解答】解：连接AD，并延长AD交BC于点E，
∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝60°，∵∠BDC＝90°，∠DBC＝45°，
∴∠DCB＝90°﹣∠DBC＝45°，∴DB＝DC，∴AD是BC的垂直平分线，
即AE⊥BC，BE＝EC，在Rt△BDE中，sin45°＝，cs45°＝，
∴DE＝sin45°＝1，BE＝cs45°＝1，在Rt△ABE中，tan60°＝，
∴AE＝BEtan60°＝，∴AD＝AE﹣DE＝﹣1，故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的“三线合一”的应用是解题的关键．
｛等边三角形的性质★｝如图，在中，，，是等边三角形，若，则线段的长为 4 ．
【分析】根据等边三角形的性质，可以得到的度数和，再根据直角三角形的性质，可以得到和的关系，然后根据，即可求得的长，从而可以得到的长．
【解答】解：是等边三角形，
，，，，，，，
，，，，，故答案为：4．
【点评】本题考查等边三角形的性质、角所对的直角边与斜边的关系，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
｛等边三角形的性质★｝如图：等边三角形中，，与相交于点，则的度数是
A．B．C．D．
【分析】根据题目已知条件可证，再利用全等三角形的性质及三角形外角和定理求解．
【解答】解：等边，
，，
在与中，，
，
，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查等边三角形的性质，关键是利用等边三角形的性质来为三角形全等的判定创造条件，是中考的热点．
｛等边三角形的性质★｝如图，是等边三角形，，于点，于点，，则下列结论：①点在的角平分线上； ②； ③； ④．正确的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得平分，从而判断出①正确，然后证明出与全等，根据全等三角形对应边相等即可得到②正确，然后根据等边对等角的性质可得，然后得到，然后根据内错角相等两直线平行可得，从而判断出③正确；④由，，即可得到④正确．
【解答】解：是等边三角形，，，且，
在的平分线上，故①正确；
，，
，
，故②正确；
，
，
，故③正确；
由③得，是等边三角形，
，
又由②可知，④，故④也正确，
①②③④都正确，
故选：．
【点评】本题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质，准确识图并熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键．
｛等边三角形的性质★｝如图，在中，，点是内一点，点在上，是等边三角形，作的平分线交于点，若，，则 8 ．
【分析】根据等边三角形的性质得到，，求得，，是的平分线，根据直角三角形的性质得到，于是得到答案．
【解答】解：是等边三角形，，，，，，是的平分线，，，即，
，，，
．故答案为：8．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质、含直角三角形的性质，根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质证得是直角三角形是解决问题的关键．
｛等边三角形的性质★｝如图，已知是等边内一点，，，，则 ．
【分析】连接，证明和，然后由，可得．
【解答】解：连接，
为等边三角形，，，
，，又，，
，，，，，
，，，．故答案为：．
【点评】本题考查等边三角形的性质，解题关键是通过添加辅助线，根据全等三角形的判定及性质求解．
｛等边三角形的性质★｝如图，是等边三角形，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，且，若，则的长为
A．3B．4C．5D．6
【分析】由是等边三角形，点是的中点，得，，根据，得，故，在中，，在中，，，即可得答案．
【解答】解：是等边三角形，点是的中点，，，
，，，在中，，，在中，，，故选：．
【点评】本题考查等边三角形的性质及应用，解题的关键是证明，从而用勾股定理解决问题．
｛等边三角形的性质★★★｝如图，在四边形中，，，，，则的最大值是 ．
【分析】以为边作等边，连结，根据题意得到为等边三角形，，进而利用证明，得出，从而得出动点在以为直径的上，连结并延长交于点，得出是的最大值，在等边中，根据三线合一的性质求出的长，进而得到．
【解答】解：如图，以为边作等边，连结，
，，
，，
为等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，，
以为直径作，则半径为，
动点在以为直径的上，连结并延长交于点，
，
在等边中，，为的中点，
，
，
即的最大值为，
故答案为：．
【点评】此题考查了等边三角形的性质，熟记等边三角形的性质及确定是的最大值是解题的关键．
（2020•铜仁市）已知等边三角形一边上的高为，则它的边长为
A．2B．3C．4D．
【分析】根据等边三角形的性质：三线合一，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：根据等边三角形：三线合一，设它的边长为，可得：，
解得：，（舍去），故选：．
【点评】本题考查等边三角形的性质及勾股定理，较为简单，解题的关键是掌握勾股定理．
（2018•福建）如图，等边三角形中，，垂足为，点在线段上，，则等于
A．B．C．D．
【分析】先判断出是的垂直平分线，进而求出，即可得出结论．
【解答】解：等边三角形中，，，即：是的垂直平分线，点在上，，，，，是等边三角形，
，，故选：．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出是解本题的关键．
考点3：角平分线与垂直平分线
①角平分线
（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若
∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.
（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平
分线上．
②垂直平分线
（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.
（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．


｛垂直平分线的性质★★｝如图，在中，的垂直平分线交于，的中垂线交于，，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，同理可得，，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：，的垂直平分线交于，，
，的中垂线交于，，，
，故选：．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
｛垂直平分线的性质★★｝如图，在中，和的垂直平分线分别交于点，，且点在点的左侧，，则的周长是
A．B．C．D．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：和的垂直平分线分别交于点，，
，，的周长，故选：．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
｛垂直平分线的性质★★｝如图，在中，是三角形角平分线的交点，是三边垂直平分线的交点，连接，，，，若，则的大小为
A．B．C．D．
【分析】连接，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，，进而得到，，求出，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：连接，
，
，
，
是三边垂直平分线的交点，
，，
，，
，
，
平分，平分，
，，
，
，故选：．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
｛垂直平分线的性质★★｝如图，在中，，的垂直平分线交于，的垂直平分线交与，则的周长等于 10 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，进而可得，从而可得答案．
【解答】解：的垂直平分线交于，，的垂直平分线交与，
，，，，的周长为10，
故答案为：10．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
｛角平分线的性质★★｝如图，在中，，平分，若，，则的面积为 5 ．
【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点作于，，平分，，
的面积．故答案为：5．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并求出边上的高是解题的关键．
｛角平分线的性质★★｝如图所示，点是内一点，平分，于点，连接，若，，则的面积是
A．20B．30C．50D．100
【分析】根据角平分线的性质求出，最后用三角形的面积公式即可解答．
【解答】解：过作于点，
平分，于点，，的面积，
故选：．
【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出解答．
｛角平分线的性质★★｝如图，已知，，，，则的长为
A．B．C．D．
【分析】过作于，根据角平分线的小足球场，求出，根据平行线的性质求出，根据含角的直角三角形的性质求出即可．
【解答】解：过作于，
，，，，
，，，，，，，
，故选：．
【点评】本题考查了含角的直角三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
｛角平分线的性质★★｝如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是
A．24B．28C．30D．32
【分析】过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式，利用进行计算．
【解答】解：过点作于，如图，
平分，，，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
｛垂直平分线的性质★★｝如图，在中，点是边和的垂直平分线、的交点，若，则这两条垂直平分线相交所成锐角的度数为
A．B．C．D．
【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，，，求出，再根据四边形的内角和等于求出答案即可．
【解答】解：连接，
点是边和的垂直平分线、的交点，
，，
，
，，，
，
，
，
，
即，
点是边和的垂直平分线、的交点，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，熟记线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解此题的关键．
｛垂直平分线的性质★★｝如图，在中，，边的垂直平分线交于点，交于点，若，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】连接，由线段垂直平分线的性质可得，进而可得，由等腰三角形的性质可得，由外角的性质和三角形内角和定理可求解．
【解答】解：如图，连接，
边的垂直平分线交于点，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的性质是本题的关键．
（2020•怀化）在中，，平分，交于点，，垂足为点，若，则的长为
A．3B．C．2D．6
【分析】根据角平分线的性质即可求得．
【解答】解：，，又平分，，，故选：．
【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键
（2020•牡丹江）如图，直线、、表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有
A．一处B．二处C．三处D．四处
【分析】作直线、、所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点、、，内角平分线相交于点，然后根据角平分线的性质进行判断．
【解答】解：作直线、、所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点、、，内角平分线相交于点，根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等．
故选：．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
（2018•辽阳）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，交射线于点，交射线于点，再分别以，为圆心，的长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线．若，，则点到的距离为
A．5B．C．4D．
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据角平分线的性质、等腰三角形的性质和勾股定理可以求得点到的距离，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，为的角平分线，，平分，，
设与交于点，作于点，，，，，
，，，，，，解得，，
故选：．
【点评】本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
（2021•福建）如图，是的角平分线．若，，则点到的距离是 ．
【分析】由角平分线的性质可求，即可求解．
【解答】解：如图，过点作于，
是的角平分线．，，，点到的距离为，
故答案为．
【点评】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键．
（2020•南京）如图，线段、的垂直平分线、相交于点，若，则 ．
【分析】解法一：连接，并延长到，根据线段的垂直平分线的性质得和，根据四边形的内角和为得，根据外角的性质得，，相加可得结论．
解法二：连接，同理得，由等腰三角形三线合一得，，由平角的定义得，最后由周角的定义可得结论．
【解答】解：解法一：连接，并延长到，
线段、的垂直平分线、相交于点，
，，
，
，
，
，
，，
，，
；
解法二：
连接，
线段、的垂直平分线、相交于点，，，，，，，即，
，；故答案为：．
【点评】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
考点4：直角三角形及其计算
①直角三角形的性质
(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；
(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝AB；
(3) 斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝AB.
勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即 a2＋b2＝c2 .
②直角三角形的判定
(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；
(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△
(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.

｛勾股定理★★｝下列各组数是勾股数的是
A．6，8，10B．1，，C．0.3，0.4，0.5D．，，
【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数判定即可．
【解答】解：、，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数，符合题意；
、不是整数，故不是勾股数，不符合题意；、不是整数，故不是勾股数，不符合题意；
、不是整数，故不是勾股数，不符合题意；故选：．
【点评】本题考查了勾股数的定义，注意：一组勾股数必须同时满足两个条件：①三个数都是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方．
｛勾股定理★★｝如图，在四边形中，为的中点，于点，，，，，则四边形的面积为 ．
【分析】连接，根据为的中点求出，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出是直角三角形，再根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：连接，
为的中点，，，，，
，，
，，，是直角三角形，
四边形的面积
，故答案为：．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理和三角形的面积等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
｛勾股定理★★｝在中，，，是边所在直线上的点，，，则 25或7 ．
【分析】分两种情况进行讨论：点在线段上或点在的延长线上．依据勾股定理的逆定理即可得到为直角，再根据勾股定理即可得到的长，进而利用线段的和差关系得出的长．
【解答】解：如图1所示，当点在线段上时，，，，
，是直角三角形，且，，
，；
如图2所示，当点在的延长线上时，同理可得，，
；由于，所以点不在的延长线上．
综上所述，的长度为25或7．故答案为：25或7．
【点评】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的运用，解题时注意：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．解决问题的关键是利用分类思想进行求解．
｛勾股定理★★｝如图所示，四边形中，，，，，，该四边形的面积是 144 ．
【分析】先根据勾股定理，在直角中计算出，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，然后利用三角形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：在直角中，，，，
在中，，，，为直角三角形，且，．故答案为：144．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，关键是熟练掌握：勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
｛勾股定理★★｝如图，是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的著名的“赵爽弦图”，其中、、和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理，设，，，取，，则 196 ．
【分析】由题意可知，可求得正方形的面积，利用四个直角三角形的面积和正方形的面积正方形的面积，利用勾股定理可求得的值，利用四个直角三角形的面积可求得，则可求得答案．
【解答】解：，，，，四个直角三角形的面积和，，解得，，，故答案为：196．
【点评】本题主要考查勾股定理的证明及应用，理解图形中四个三角形的面积和等于大正方形的面积与小正方形面积的差是解题的关键．
｛勾股定理★★｝如图，，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为 12 ．
【分析】根据勾股定理求出，分别求出三个半圆的面积和的面积，即可得出答案．
【解答】解：在中，，，，由勾股定理得：，
所以阴影部分的面积，故答案为：12．
【点评】本题考查了勾股定理和三角形的面积、圆的面积，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键．
｛直角三角形的性质★★｝如图，在中，，，则的面积为 16 ．
【分析】过点作，交的延长线于点，由等腰三角形的性质结合三角形外角的性质可求得的度数，由含角的直角三角形的性质可求解的长，利用三角形的面积公式可求解的面积．
【解答】解：过点作，交的延长线于点，
，
，，，，
，，的面积为：．故答案为16．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的面积，含角的直角三角形的性质，求解的长是解题的关键．
｛直角三角形的性质★★｝（2020•荆门）中，，，，为的中点，，则的面积为
A．B．C．D．
【分析】连接，作于，根据三线合一得到垂直于，为角平分线，以及底角的度数，在直角三角形中，利用三角函数求得，然后利用30角所对的直角边等于斜边的一半得到的长，再利用三角形相似求出 的长，根据三角形面积公式求得结果．
【解答】解：连接，作于，，，为的中点，
，平分，在中，，，
，，，，，，
，，，，，
故选：．
【点评】此题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握这些性质是解本题的关键．
｛直角三角形的性质★★｝如图，一棵直立的大树在一次强台风中被折断，折断处离地面2米，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）
A．米B．米C．4米D．6米
【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度．
【解答】解：如图，根据题意BC＝2米，
∵∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×2＝4米，∴2+4＝6米．故选：D．
【点评】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．
｛直角三角形的性质★★｝如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，AB的垂直平分线分别交AC，AB于D，E，连接BD，则CD的长为 ．
【分析】根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用线段垂直平分线得出AD＝DB，进而利用勾股定理解答即可．
【解答】解：∵△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，∴AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形，
∵AB的垂直平分线分别交AC，AB于D，E，∴AD＝DB，设CD为x，AD＝DB＝4﹣x，
在Rt△CDB中，CD2+BC2＝DB2，即x2+32＝（4﹣x）2，解得x＝，即CD＝，故答案为：．
【点评】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形．
｛勾股定理★★｝在中，，，的对边分别为，，，有以下4个条件：①；②；③；④，⑤；其中，能判断是直角三角形的是 ②④⑤ （填序号）．
【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：①当时，，故不是直角三角形；
②当时，，故是直角三角形；③当时，，故不是直角三角形；④当时，，故是直角三角形；⑤当时，，故是直角三角形；故答案为：②④⑤．
【点评】本题主要考查了直角三角形的判定方法．①如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形；②如果一个三角形的三边，，满足，那么这个三角形是直角三角形．
｛勾股定理★★｝已知三角形的三边分别为6，8，10，则最长边上的高等于 4.8 ．
【分析】根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再根据三角形的面积公式得出，再求出即可．
【解答】解：设三角形的最长边上的高的长度是，三角形的三边分别为6，8，10，
，三角形是直角三角形（斜边长是，三角形的面积，
解得：，故答案为：4.8．
【点评】本题考查了三角形的面积和勾股定理的逆定理，能根据勾股定理的逆定理求出三角形是直角三角形是解此题的关键．
｛勾股定理★★｝我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是和，那么的值为 12 ．
【分析】根据大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，可得直角三角形的面积，即可求得的值．
【解答】解：大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，
直角三角形的面积是，又直角三角形的面积是，．故答案为：12．
【点评】本题考查了勾股定理，还要注意图形的面积和，之间的关系．
｛直角三角形的性质★★｝如图，中，，是斜边的中点．为边上一点，且满足．已知，．则的长为 ．
【分析】根据已知条件：，是斜边的中点，想到连接，构造直角三角形斜边上的中线，从而得出，所以，再利用已知条件证出，然后在中，再构造斜边上的高，可得证点是的中点，进而利用，求出，所以，从而求出．
【解答】解：连接，过点作，垂足为点，
，是斜边的中点，
，
，
又，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
又，
，
，
，
．
【点评】本题考查了直角三角形斜边的中线性质以及勾股定理，添加辅助线是解决问题的关键．
｛直角三角形的性质★★｝对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线、交于点．若，，则 169 ．
【分析】在和中，根据勾股定理得，，进一步得，再根据，，最后求得．
【解答】解：，
，
在和中，根据勾股定理得，
，，
，
，，
；
故答案为：169．
【点评】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
｛勾股定理★★★｝如图，在中，，以，和为边向上作正方形和正方形和正方形，点落在上，若，空白部分面积为16，则图中阴影部分的面积是 ．
【分析】根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，推出，根据勾股定理得到，解方程组得到，接着通过证明的面积，依此即可求解．
【解答】解：如图，
四边形是正方形，，，
，，，，
在中，，，，
，，
，，，
阴影部分的面积和．故答案为：．
【点评】本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．
（2021•福建）如图，某研究性学习小组为测量学校与河对岸工厂之间的距离，在学校附近选一点，利用测量仪器测得，，．据此，可求得学校与工厂之间的距离等于
A．B．C．D．
【分析】直接利用直角三角形的性质得出度数，进而利用直角三角形中所对直角边是斜边的一半，即可得出答案．
【解答】解：，，，，．故选：．
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，正确掌握边角关系是解题关键．
（2019•陕西）如图，在中，，，为边上的中线，平分，交边于点，过点作，垂足为，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出，由等腰三角形的性质得出，由角平分线定义得出，由三角形的外角性质得出，由直角三角形的性质得出答案．
【解答】解：，为边上的中线，
，，
，
平分，
，
，
，
，
；故选：．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
（2019•黄石）如图，在中，，于点，和的角平分线相交于点，为边的中点，，则
A．B．C．D．
【分析】根据直角三角形的斜边上的中线的性质，即可得到是等边三角形，进而得到，根据和的角平分线相交于点，即可得出，即可得到．
【解答】解：，为边的中点，
，
又，
，
是等边三角形，
，
，
，
和的角平分线相交于点，
，
，
，故选：．
【点评】本题主要考查了直角三角形的斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
（2021•资阳）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形．连结并延长交于点．若，，则的长为
A．B．C．D．
【分析】由大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，在直角三角形中使用勾股定理可求出，过点作于点，由三角形为等腰直角三角形可证得三角形也为等腰直角三角形，设，则，由，可解得．进而可得．
【解答】解：由图可知，，，
大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，
故，设，则在中，有，
即，解得：，（舍去）．过点作于点，如图所示．
四边形为正方形，为对角线，为等腰直角三角形，，
故为等腰直角三角形．设，则，
，解得：．
．故选：．
【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理、锐角三角函数、等腰三角形的性质、正确作出辅助线是解决本题的关键．
（2021•襄阳）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭jiā生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为
A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺
【分析】设水深为尺，则芦苇长为尺，根据勾股定理列方程，解出即可．
【解答】解：设水深为尺，则芦苇长为尺，根据勾股定理，得，
解得，水深为12尺，故选：．
【点评】本题主要考查勾股定理的应用，熟练根据勾股定理列出方程是解题的关键．
（2020•哈尔滨）在中，，为边上的高，，，则的长为 5或7 ．
【分析】在中，利用锐角三角函数的意义，求出的长，再分类进行解答．
【解答】解：为边上的高，
为，
在中，，，
，
如图1所示，当点在上时，
，
如图2所示，当点在的延长线上时，
，
故答案为：7或5．
【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确计算的前提．
课堂总结：思维导图
分层训练：课堂知识巩固
1．有一题目：“如图，，平分，过点作交于点，若点在上，且满足，求的度数．”小贤的解答：以为圆心，长为半径画圆交于点，连接，则，由图形的对称性可得．结合平行线的性质可求得．而小军说：“小贤考虑的不周全，还应有另一个不同的值”．下列判断正确的是
A．小军说的对，且的另一个值是
B．小军说的不对，只有一个值
C．小贤求的结果不对，应该是
D．两人都不对，应有3个不同值
【分析】以为圆心，以长为半径画圆交于，点，连接，，则，由图形的对称性可得，结合平行线的性质可求解，当点位于点处时，由可求解的度数．
【解答】解：以为圆心，以长为半径画圆交于，点，连接，，则，
，
平分，由图形的对称性可知，
，，
，
；
当点位于点处时，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质与判定，证明是解题的关键．
2．如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为
A．3B．4C．5D．9
【分析】根据平行线的性质和等腰三角形的判定证得，即可求得结果．
【解答】解：，
，，
，，
，，
，，
，，
，
故选：．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明．
3．如图，是的角平分线，，垂足为，交的延长线于点，若恰好平分，．下列四个结论中：①；②；③；④．其中正确的结论共有
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据角平分线的定义、平行线的性质得到，得到，根据等腰三角形的性质得到，，证明，根据全等三角形的性质证明得到答案．
【解答】解：平分，
，
，
，
，
，
，是的角平分线，
，，②、③选项说法正确；
在和中，
，
，
，①选项说法正确；
，
，
，
，④选项正确；
故选：．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
4．如图，在边长为2的等边三角形中，为边上一点，且．点，分别在边，上，且，为边的中点，连接交于点．若，则的长为
A．B．C．D．
【分析】根据等边三角形边长为2，在中求得的长，再根据垂直平分，在中求得，最后根据线段和可得的长．
【解答】解：等边三角形边长为2，，
，，
等边三角形中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
如图，连接，则中，，
，
是等边三角形，
，
垂直平分，
，，
中，，，
为的中点，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查了三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握等边三角形的性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定等．熟练掌握这些性质是解题的关键．
5．如图，，，，若，则
A．3B．4C．5D．6
【分析】过点作，交于点，先证明是等边三角形，再证明，然后利用等腰三角形的“三线合一”性质及角平分线的性质定理求得的长，随后利用含30度角的直角三角形的性质求得的长，最后将与相加即可．
【解答】解：如图，过点作，交于点
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，即，
是等边三角形，，
平分，
，
在中，，
；
方法二、
，，
是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，，
平分，
，
，，
，
；
故选：．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”性质及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
6．已知：如图，和都是等边三角形，是延长线上一点，与相交于点，、相交于点，、相交于点，则下列五个结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形．其中，正确的有
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据先证明，得出，根据已知给出的条件即可得出答案；
【解答】解：和都是等边三角形，
，，，
，即，
，
，故选项①正确；
，由得：，
，故选项②正确；
由得：，
是的外角，
，
又是的外角，
，故选项③正确；
在和中，
，
，
，故选项④正确；
，
为等腰三角形，，
是等边三角形，故选项⑤正确；
故选：．
【点评】本题考查了等边三角形及全等三角形的判定与性质，难度一般，关键是找出条件证明两个三角形全等．
7．如图，已知，直角顶点在上，已知，则
A．B．C．D．
【分析】求出，利用平行线的性质求解即可．
【解答】解：，
，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查直角三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握平行线的性质，属于中考常考题型．
8．如图，沿直线折叠，使点与边上的点重合，若，，则等于
A．B．C．D．
【分析】根据直角三角形的性质求出，再根据折叠的性质、三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：，，
，
由折叠的性质可知，，
，
故选：．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，折叠的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
9．如图所示，在中，，，，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】根据在中，，，可以求得的度数，再根据，可以得到和的关系，从而可以求得的度数，本题得以解决．
【解答】解：在中，，，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查直角三角形的性质、平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
10．如图，在中，，，是上一点，于点，于点，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】由三角形内角和定理求得；由垂直的定义得到；然后根据四边形内角和是360度进行求解．
【解答】解：如图，在中，，，
．
于点，于点，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了直角三角形的性质．注意利用隐含在题中的已知条件：三角形内角和是、四边形的内角和是．
11．具备下列条件的中，不是直角三角形的是
A．B．
C．D．
【分析】由三角形内角和为求得三角形的每一个角，再判断形状．
【解答】解：选项，，即，，为直角三角形，不符合题意；
选项，，即，，为直角三角形，不符合题意；
选项，，即，同选项，不符合题意；
选项，，即，三个角没有角，故不是直角三角形，符合题意．
故选：．
【点评】注意直角三角形中有一个内角为．
12．如图，分别以的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为
A．4B．8C．10D．12
【分析】根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可以证明：以直角三角形的两条直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积．则阴影部分的面积即为以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积的2倍．
【解答】解：在中，，，
，
，
同理：，，
在中，，，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了勾股定理的知识，难度适中，解题关键是运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系．
13．小颖的妈妈用如图的口杯喝花茶，由于吸管有点短，不小心斜滑到杯里，已知口杯的内径，口杯内部高度，要使吸管不斜滑到杯里，下列吸管最短的是 ．
A．9B．10C．11D．12
【分析】连接，利用勾股定理求出的长，再比较大小即可．
【解答】解：如图，连接，
由题意知，，，
由勾股定理得，，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，二次根式的大小比较等知识，计算出的长是解题的关键．
14．如图，是的角平分线，，垂足为，，，则 ．
【分析】设，，利用三角形内角和定理即可求出列出方程求出与的值．
【解答】解：设，
，
即
是得角平分线，
，
，
联立可得解得：
法二，延长交于，
，，
，
，
，
是的角平分线，
，
，
故答案为：
【点评】本题考查三角形内角和，解题的关键是根据条件列出关于与的方程组，本题属于中等题型．
15．如图所示，三角形的面积为．垂直的平分线于点．则三角形的面积是 ．
【分析】延长交于点，由角平分线的定义可知，结合以及即可证出，进而可得出，根据三角形的面积即可得出，再根据即可得出结论．
【解答】解：延长交于点，如图所示．
垂直的平分线于点，
．
在和中，，
，
．
和等底同高，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及三角形的面积，根据三角形间的关系找出是解题的关键．
16．如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连结．以下五个结论：
①；②；③；④为等边三角形；⑤．其中正确的有 ①②④⑤ ．（注把你认为正确的答案序号都写上）
【分析】①根据全等三角形的判定方法，证出，即可得出，①正确．
④先证明，即可判断出，即可得④正确；
②根据，可得为等边三角形，证出，得出，②正确．
③没有条件证出，得出③错误；
⑤，⑤正确；即可得出结论．
【解答】解：和都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，，，
，
，结论①正确．
，
，
又，
，
，
在和中，
，，，
，
，，
又，
为等边三角形，结论④正确；
，
，结论②正确．
，
，
，
结论⑤正确．
没有条件证出，③错误；
综上，可得正确的结论有4个：①②④⑤．
故答案为：①②④⑤．
【点评】此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、平行线的判定；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
17．如图，已知中高恰好平分边，，点是延长线上一点，点是线段上一点且，下面的结论：①；②是等边三角形；③；④．其中正确的为 ①②③④ ．（填序号）
【分析】①连接，根据垂直平分线性质即可求得，即可解题；
②根据周角等于和三角形内角和为即可求得，即可解题；
③在上截取，易证，可得，即可解题；
④作，可证和，根据全等三角形面积相等即可解题．
【解答】解：①连接，如图1，
中高恰好平分边，即是垂直平分线，
，，
，
，，
，
．故①正确；
②中，，
中，，
，
，，
，
，
是等边三角形，故②正确；
③如图2，在上截取，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
故③正确；
④如图3，作，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形面积，
四边形面积．故④正确．
故答案为：①②③④．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
18．如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，，并画出了两锐角的角平分线，及其交点．小明发现，无论怎样变动的形状和大小，的度数是定值．这个定值为 ．
【分析】利用三角形内角和定理和直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：，
，
平分，平分，
，，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．如图，以直角三角形的三边为边向外作三个正方形、、．若，，则 8 ．
【分析】由勾股定理可知：代入计算即可．
【解答】解：由勾股定理得：，
，，
，
，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了勾股定理的知识，熟记勾股定理是解题的关键．
1．如图，在中，，平分交于点，过点作交于点，已知，，则的长为
A．6B．7C．8D．9
【分析】先利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可得，从而可得，进而可得，然后利用等边三角形的判定可得是等边三角形，从而可得，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：平分，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．
2．如图，是的平分线，于，连接，若的面积为，则的面积为
A．B．C．D．不能确定
【分析】延长交于，根据已知条件证得，根据全等三角形的性质得到，得出，，推出，代入求出即可．
【解答】解：如图，延长交于，
平分，
，
，
，
，
，
，，
，
故选：．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．
3．下列说法正确的是
①等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
②有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；
③三个角都相等的三角形是等边三角形；
④有两个内角分别是和的三角形是等腰三角形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由三线合一的条件可知①不正确，由等边三角形的判定可知②③正确，由等腰三角形的判定可知④正确，可得出答案．
【解答】解：等腰三角形底边上的高、中线、顶角的角平分线互相重合，
①不正确；
一个外角为，
该等腰三角形有一个内角为，
该等腰三角形为等边三角形，
②正确；
三个角都相等的三角形是等边三角形，
③正确；
在一个三角形中，两个角为、，则可求得第三个角为，
该三角形为等腰三角形，
④正确；
所以正确的有②③④共三个，
故选：．
【点评】本题主要考查等腰三角形判定和性质及等边三角形的判定，掌握等腰三角形和等边三角形的判定方法是解题的关键．
4．已知，如图，在中，为边上的一点，延长到点，连接、，，，下列结论：①为等腰三角形；②；③；④平分．其中正确的结论个数有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①根据△可推出，从而得出为等腰三角形；
②根据可判定，从而得出；
③根据可得出，又因为，可推导出，，从而可得出；
④求出，根据推出，即可得出不是的平分线．
【解答】解：①作平分，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
①正确；
②，，，
，
在和中，
，
，
，
②正确，
③，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
③正确；
④，
，
，
与不一定相等，
并不平分，
④错误；
②③证明的方法二：
③，
点、、、在同一个圆上（四点共圆），
，，
，
，，
，
，
即，
③正确；
②，，
，
，
，
②正确；
故选：．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力，有一定的难度．
5．如图，，点为边上一点，，点为线段的中点，以点为圆心，线段长为半径作弧，交于点，连接，则的长是
A．B．C．5D．4
【分析】利用线段的中点定义可得，再根据作图可得，然后利用等边三角形的判定方法可得是等边三角形，从而利用等边三角形的性质可得，即可解答．
【解答】解：点为线段的中点，，
，
由题意得：，
，
是等边三角形，
，
故选：．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
6．如图，在中，，，分别平分和，且相交于，，于点，则下列结论 ①；②平分；③；④；⑤，其中正确的结论是
A．①②③B．①③④C．①③④⑤D．①②③④
【分析】根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断①；证明，，即可判断③；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出，即可判断④⑤；根据现有条件无法推出②．
【解答】解：平分，
，，
，
，故①正确；
，，，
，，
，
，
，故③正确；
，
，
，分别平分，，
，，
，
，
，故④正确；
，
，故⑤正确；
根据现有条件，无法推出平分，故②错误；
故选：．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键．
7．如图，在中，，，，点、分别是、的中点，交的延长线于，则四边形的面积为
A．10B．11C．12D．13
【分析】由于，从而易证，所以，从而可证四边形是平行四边形，所以，又因为，所以，所以，从而求出答案．
【解答】解：，
，
点是的中点，
．
在与中，
，
．
，
点是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
又，
，
，
，，，
，
．
故选：．
【点评】本题考查平行四边形的性质与判定，涉及全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，综合程度较高．
8．如图，在中，，以的三边为边向外做正方形，正方形，正方形，连结，，作交于点，记正方形和正方形的面积分别为，，若，，则等于
A．B．C．D．
【分析】过点作，交的延长线于点，作，交的延长线于点．根据平分，即可得出．再根据正方形和正方形的面积之比为，即可得到，进而利用三角形面积公式得到的值．
【解答】解：如图所示，过点作，交的延长线于点，作，交的延长线于点，
由题可得，，，
，
又，
，即平分，
又，，
，
正方形和正方形的面积分别为，，且，，
正方形的面积，
正方形和正方形的面积之比为，
，
，
即等于．
故选：．
【点评】本题主要考查了勾股定理以及角平分线的性质的运用，解决问题的难点是利用角平分线的性质发现，将的值转化为的值．
9．如图，在中，，，，为边上的一个动点，连接，为上的一个动点，连接，，当时，线段的最小值是
A．B．1C．2D．
【分析】如图，取的中点，连接，．首先证明，求出，，根据，可得结论．
【解答】解：如图，取的中点，连接，．
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
的最小值为2，
故选：．
【点评】本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是求出，的长，属于中考常考题型．
10．如图，在中，，，的角平分线交于点，过点作交于点，点是延长线上一点，且，连接交于点，则 ．
【分析】由平行线夹角平分线可得是等腰三角形，即，由平行线的性质可得；根据可得出，由此可得，由平行线的性质可得，再由三角形的外角性质可得出结论、
【解答】解：平分，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，外角的性质等相关知识，根据条件得出三角形全等是解题关键．
11．如图，在中，，、分别在边、上，，，，，则线段的长为 ．
【分析】如图，作辅助线，构建对称点，先证明是等边三角形，则，则根据得，所以，过点作于，根据直角三角形含角的性质和勾股定理可得的长．
【解答】解：如图，作点关于的对称点，连接，，，则，，
设，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
过点作于，
，，
，
，
中，由勾股定理得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，勾股定理，三角形全等的性质和判定，轴对称的性质等知识，正确作出辅助线是本题的关键．
12．（1）小同学在网络直播课中学习了勾股定理，他想把这一知识应用在等边三角形中：边长为的等边三角形面积是 （用含的代数式表示）；
（2）小同学进一步思考：是否可以将正方形剪拼成一个等边三角形（不重叠、无缝隙）？
①如果将一个边长为2的正方形纸片剪拼等边三角形，那么该三角形边长的平方是 ；
②小同学按图切割方法将正方形剪拼成一个等边三角形、分别为、边上的中点，、是边、上两点，为上一点，且．
请补全图形，画出拼成正三角形的各部分分割线，并标号；
③正方形的边长为2，设，则 ．
【分析】（1）如图1，过作于，根据等边三角形的性质得到，由勾股定理得到，于是得到；
（2）①根据三角形的面积公式即可得到结论；
②补全图形如图2所示；
③由题意知，，，推出是的中位线，得到，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）如图，过作于，
是等边三角形，
，
，
；
（2）①边长为2的正方形的面积，
剪拼成的等边三角形的面积，
，
，
即该三角形边长的平方是；
②补全图形如图2所示；
③由题意知，，，
是的中位线，
，
为边上的中点，
，
边长为2的正方形的面积，
剪拼成的等边三角形的面积，
，
，
即边长的平方是，
，
，
，
，
；
故答案为：（1）；（2）①；③；
【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，正确的识别图形是解题的关键．
1．如图，在中，，点为所在平面内一点，且点与的任意两个顶点构成，，均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点的个数为 6 个．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出的垂直平分线，首先的外心满足，再根据圆的半径相等，以点为圆心，以长为半径画圆，的垂直平分线相交于两点，分别以点、为圆心，以长为半径画圆，与的垂直平分线相交于一点，再分别以点、为圆心，以长为半径画圆，与相交于两点，即可得解．
【解答】解：如图所示，作的垂直平分线，①的外心为满足条件的一个点，
②以点为圆心，以长为半径画圆，、为满足条件的点，
③分别以点、为圆心，以长为半径画圆，为满足条件的点，
④分别以点、为圆心，以长为半径画圆，、为满足条件的点，
综上所述，满足条件的所有点的个数为6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，主要利用了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的外心到三个顶点的距离相等，圆的半径相等的性质，作出图形更形象直观．
2．如图，在中，，，，点在边上，点在边上（不与点、重合）．若，则的取值范围是 ．
【分析】以为圆心，的长为半径画圆，当圆与相切时，最小，与线段相交且交点为或时，最大，分别求出即可得到范围．
【解答】解：以为圆心，的长为半径画圆
①当圆与相切时，时，
，
，
，
设，则，
；
②当圆与相交时，若交点为或，则，
的取值范围是．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用边与圆的位置关系解答，分清最小和最大的两种情况是解决本题的关键．
3．如图，是等边三角形，高、相交于点，，在上截取，以为边作等边三角形，则与重叠（阴影）部分的面积为 ．
【分析】根据等边三角形的性质，可得的长，，根据等边三角形的判定，可得的形状，根据直角三角形的判定，可得的形状，根据面积的和差，可得答案．
【解答】解：如图所示：
，
由是等边三角形，高、相交于点，，得
，．
由直角三角的性质，得．
由对顶角相等，得
由，得．
由为边作等边三角形，得
，，
是等边三角形；
．
由三角形外角的性质，得，
由，得，
由线段的和差，得，
由对顶角相等，得，
由，得，
由锐角三角函数，得，．
，
故答案为：．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，直角三角形的判定，利用图形的割补法是求面积的关键．
4．如图，在四边形中，，对角线、交于点，且，，则的值是 ．
【分析】作于，交于，则．可证明、、、四点共圆，根据相交弦定理得出，则计算出，由勾股定理得出，从而得出答案．
【解答】解：作于，交于，则，
由得是的中点，因此是的一条中位线，从而是的中点，
以为圆心，为半径作圆，则由可知该圆经过、、、四点，
易知，，，
因此，．，
由得，，
因此，从而，
由相交弦定理得，
即，
因此，
从而，
由勾股定理得
，
因此，
．
【点评】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及四点共圆等知识点，综合性较强．
5．如图，在中，，，，是边上一点，且，连接．为的中点，过点作直线，交于点，过点作于点，过点作于点，则四边形的面积为 30 ．
【分析】运用勾股定理求得，由为的中点，可得，再根据直线，可得，由，，，可得四边形是矩形，再利用，可求得，再根据，即可求得答案．
【解答】解：，，，，
，，
为的中点，
，
直线，
，
，
，，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，即，
，
．
故答案为：30．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考填空题压轴题．
6．如图，在中，，为边上一点，，，连接交于，若，，，则线段的长度为 10 ．
【分析】延长到，使，连接、，证明是平行四边形，可得，运用勾股定理求出、的长，最后运用勾股定理求出的长即可．
【解答】解：延长到，使，连接、，
，，
，
，，
，
，，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，，
，
解得：，，
当时，即，此时，，不符合题意，
，即，，
，
在中，．
故答案为：10．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造平行四边形以及证明是解题的关键．