2023~2024学年浙江省金华十校高一(上)期末调研数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年浙江省金华十校高一(上)期末调研数学试卷(解析版)，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】.
故选：C.
2. 已知集合，，若，则实数可以为（ ）
A. 1B. 3C. 4D. 7
【答案】D
【解析】由，知，C不可能；
由，知且，否则中有元素1或者3，矛盾，即AB不可能；
当时，，符合题意，因此实数可以为7.
故选：D.
3. 若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】令函数，显然在上单调递减，，
因为任意，不等式恒成立，于是，
所以.
故选：A.
4. 哥哥和弟弟一起拎一重量为的重物（哥哥的手和弟弟的手放在一起），哥哥用力为，弟弟用力为，若，且的夹角为120°时，保持平衡状态，则此时与重物重力之间的夹角为（ ）
A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°
【答案】C
【解析】根据力的平衡，的合力为，如图所示：
由于，且的夹角为，
则为等边三角形，则，
则与重物重力之间的夹角为.
故选：C.
5. “”是“函数的定义域为”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】函数的定义域为
则恒成立，即，解得，
故“”是“函数的定义域为”的必要不充分条件.
故选：B.
6. 已知函数，，是正实数．若存在唯一的实数，满足，则的最小值为（ ）
A. 46B. 48C. 52D. 64
【答案】B
【解析】根据函数，是正数，且存在唯一的实数，
满足,可得，即，
由，则，
所以，故.
故选：B.
7. 某种废气需要经过严格的过滤程序，使污染物含量不超过20%后才能排放．过滤过程中废弃的污染物含量（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，其中是原有废气的污染物含量（单位：），是正常数．若在前消除了20%的污染物，那么要达到排放标准至少经过（答案取整数）（ ）
参考数据：，，，
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题有，设小时后污染物含量不超过，
则，解得，即至少经过29小时能达到排放标准.
故选：B.
8. 若实数，满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设，则为偶函数，
设，则因为在上均为增函数，
故，故，
故在上为增函数，且为偶函数.
又，则，
即，当且仅当时取等号.
故，故.
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 在中（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. D.
【答案】ACD
【解析】对A，在中，由余弦函数单调性可得，
故A正确；
对B，若为钝角，为锐角，则，故B错误；
对C，，故C正确；
对D，，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知（）（ ）
A. 当时，的值域为B. 当时，
C. 当时，是偶函数D. 当时，是奇函数
【答案】BC
【解析】当时，，此时的值域为，故A错误，
当时，在上单调递增，所以，B正确，
当时，，，所以是偶函数，C正确，
当时，，，则，，定义域不关于原点对称，
故为非奇非偶函数，D错误.
故选：BC.
11. 已知函数（）的最小正周期为，则（ ）
A. B. 函数在上为增函数
C. 是的一个对称中心 D. 函数的图像关于轴对称
【答案】BD
【解析】对A，，
又最小正周期为，故，则，故A错误；
对B，，当时，，
为正弦函数的单调递增区间，故B正确；
对C，，故不是的一个对称中心，
故C错误；
对D，为偶函数，图像关于轴对称，
故D正确.
故选：BD.
12. 已知函数，则（ ）
A. 函数是周期函数 B. 函数有最大值和最小值
C. 函数有对称轴 D. 对于，函数单调递增
【答案】BC
【解析】因为，
对于C选项，因为，
所以，函数的图象关于直线对称，C对；
对于D选项，因，，故函数在上不单调，D错；
对于B选项，因为函数的图象关于直线对称，
要求函数的最大值和最小值，
只需求出函数在上的最大值和最小值即可，
设，当时，，
令，因为函数在上单调递增，
函数在上单调递增，所以，函数在上单调递增，
当时，，
因为函数、在上均为增函数，
所以，函数在上为增函数，
所以，函数在上为增函数，
由对称性可知，函数在上为减函数，
故函数在处取得最大值，且，
故函数在处取得最小值，且最小值为，
当时，则，则函数在上为减函数，
对任意的、，且，则，，
则，由不等式的基本性质可得，
即，所以，函数在上单调递减，
又因为当时，函数取得最大值，故函数仅在处取得最大值，
对任意的，，，
若，则，
若，则，则，则，
所以，.
综上所述，对任意的，，
又因为函数在上单调递减，故当时，在处取得最小值，
综上所述，函数既有最大值，也有最小值，C对；
对于A选项，由C选项可知，函数仅在处取得最大值，
若函数是以为周期的周期函数，则，与题意矛盾，
故函数不可能是周期函数，A错.
故选：BC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. ______0（填＞或＜）．
【答案】＞
【解析】，故2对应的角度终边在第二象限，则.
14. 函数（为月份），近似表示某地每年各个月份从事旅游服务工作的人数，游客流量越大所需服务工作的人数越多，则可以推断，当______时，游客流量最大．
【答案】8
【解析】因为，
所以，
所以当，即时，取最大值，
所以时，取最大值，
又游客流量越大所需服务工作的人数越多，所以时，游客流量最大．
15. 已知函数则方程的所有根之积为______．
【答案】
【解析】令，由可得，
当时，由，即，则，
即方程无解；
当时，由，可得或.
（1）当时，当时，由可得，
解得，，
当时，由可得，；
（2）当时，当时，由可得，
，方程无解，
当时，由可得，，
因此，方程的所有根之积为.
16. 若函数的值域为，则实数的最小值为______．
【答案】
【解析】根据题意，函数定义域为，
因为的值域为，
所以在上恒成立，
当时，则，则，
此时必有，变形可得，
当时，则，则，
此时必有，变形可得，
综合可得：在上恒成立，
设，，
则，
因为，所以且，
由基本不等式可得，
即，所以，
因为在上恒成立，
所以，解得，故实数的最小值为.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算下列各式的值：
（1）；
（2）．
解：（1）结合题意可得：
.
（2）结合题意可得：
.
18. 已知向量，．
（1）若，求的坐标；
（2）若，求与的夹角．
解：（1）由题意，设．
，，
，或．
（2），，
，即，．
设与的夹角为，则．
又，，与的夹角为．
19. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期与对称轴方程；
（2）当且时，求的值．
解：（1）由题设有，
所以，函数的最小正周期是，
由，可得，
所以，函数的对称轴方程为.
（2）由得，即，
因为，所以．
若，则与，矛盾，
则．
从而．
于是
．
20. 如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，过作的平行线交于．记．
（1）求的长（用表示）；
（2）求面积的最大值，并求此时角的大小．
解：（1）过，作的垂线，垂足分别为，，
则，，，
．
（2）
．
，，
，即时，，
因此，当时，面积最大值为．
21. 已知函数．
（1）当时，讨论的单调性（不必给出证明）；
（2）当时，求的值域；
（3）若存在，，使得，求的取值范围．
解：（1）当时，，因为为减函数，为增函数，
故在上单调递减.
（2）当时，，当且仅当时取等号；
所以的值域为．
（3）令，则问题等价于存在，，使得，
令，因为在有两个零点，
故，即，解得．
由韦达定理和根的定义可知：，．
，
又因为，故的取值范围为．
22. 二次函数的最大值为，且满足，，函数．
（1）求函数的解析式；
（2）若存在，使得，且的所有零点构成的集合为，证明：．
解：（1）令，由可得，
所以，函数为偶函数，
又因为二次函数的最大值为，可设，其中，
则，解得，所以，.
（2）因为，即，所以，其中．
由，化简可得，
即．
令，
由判别式，可知在上有解，
①当时，，此时；
②当时，，此时；
③当时，的对称轴是，
因为，
，
，
由零点存在定理可知，函数在区间、上各有一个零点，
不妨设函数在区间、内的零点分别为、，
此时．
综合①②③，成立．