2024~2025学年山东省青岛莱西市(五四制)八年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2024~2025学年山东省青岛莱西市(五四制)八年级(上)期中数学试卷(解析版)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题满分30分，共10道小题，每小题3分）
1. 数据2，6，4，5，4，3的众数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】解：∵数据2，6，4，5，4，3中，4出现了2次，是这组数据中出现次数最多的数，
∴这组数据的众数为4．
故选：C．
2. 把多项式分解因式，应提的公因式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：把多项式分解因式，应提的公因式是，
故选：B．
3. 下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：A．无法分解因式，故此选项错误，不符合题意；
B． ，用平方差公式分解，故此选项正确，符合题意；
C． 无法分解因式，故此选项错误，不符合题意；
D． 无法分解因式，故此选项错误，不符合题意；
故选：B．
4. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：原式＝
＝．
故选：A．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：A、，故选项错误，不合题意；
B、，故选项正确，符合题意；
C、，故选项错误，不合题意；
D、，故选项错误，不合题意；
故选：B．
6. 若，则下列化简一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：A、，选项化简错误，不符合题意；
B、，选项化简错误，不符合题意；
C、，选项化简错误，不符合题意；
D、，选项化简正确，符合题意；
故选D．
7. 某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对4名跳高运动员进行了多次选拔比赛，他们比赛成绩的平均数和方差如下表，根据表中数据，要从中选择一名平均成绩好，且发挥稳定的运动员参加比赛，最合适的人选是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】B
【解析】解：甲、乙的平均数比丙、丁大，应从甲和乙中选，甲的方差比乙的大，乙的成绩较好且状态稳定，应选的是乙．
故选：B．
8. 小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30~40之间．则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ）
A. 平均数B. 众数C. 中位数D. 方差
【答案】C
【解析】解：依题意“■”该数据在30~40之间，则这组数据的中位数为，
∴“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的中位数．
故选：C．
9. 已知关于的分式方程无解，则所有满足条件的整数的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】解：∵，
∴，
则，
∴，
则，
∴，
即，
关于的分式方程无解，
，，
解得：，，
或，
解得：或，
所有满足条件的整数为或或0，共3个，
故选：C．
10. 已知代数式，第一次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子记为，第二次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子记为，第三次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子…以此类推重复上述操作，以下结论中正确的有（ ）
①；
②若，则；
③不存在整数x使得的值为负整数；
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】C
【解析】解：依题意，，，……，故①不正确；
∴ ，
∵，
又，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∵为负整数，则，
∴，
∴，
而，无意义，
∴，
∴不存在整数x使得的值为负整数，故③正确，
故选：C．
二、填空题（本题满分18分，共6道小题，每小题3分）
11. 将分式化为最简分式的结果为_____．
【答案】
【解析】解：；
故答案为：．
12. 计算：___________.
【答案】x+1
【解析】解：
=
.
故答案是：x+1.
13. 某初中学校国旗护卫队新进了8个男队员，他们的身高及其对应人数情况如表所示：
那么，这批男队员身高的方差为___________．
【答案】2
【解析】解：由题意得，
∴．
故答案为：2
14. 已知 ，则 的值为___________．
【答案】
【解析】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 若点满足，则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】解：等式两边都乘以，得，
令x=2，则y=-1，
∴“美好点”的坐标为，
故答案为（答案不唯一）
16. 定义，例如，，试计算下面算式的值：_____．
【答案】4048
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∴，，…，，
∵
∴
．
三、解答题（本题共8小题，满分72分）
17. 因式分解
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
解：（1），
；
（2），
，
；
（3），
，
，
；
（4），
，
．
18. 计算
（1）；
（2）．
解：（1）
．
（2）
．
19. 解分式方程
（1）；
（2）．
解：（1）原方程可化为
方程两边同乘，得，
所以；
检验：当时，，
所以是原方程的根．
（2）原方程可化为
方程两边同乘，得
，
所以；
检验：当时，，
所以是原方程增根，
∴原方程无解.
20. 解决下面问题
（1）先化简，再从，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值；
（2）先化简，再求值：，其中，满足．
解：（1）原式
，
，即，
当时，原式；
（2）原式=

，
，
原式
．
21. 为了进一步丰富校园体育活动，某中学一次性购买了若干个篮球、足球和排球，其中篮球花费5000元，足球花费2400元，排球花费1200元，购进的篮球的数量正好等于足球和排球数量的和，已知篮球的单价比足球高，排球单价比足球的单价低20元．
（1）求篮球、足球和排球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况计划再购买一批篮球、足球和排球，其中足球和排球共50个，篮球的个数是足球个数2倍，总费用不超过9600元，那么学校最多可以购买多少个足球？
解：（1）设足球的单价各是x元，则篮球的单价是元，排球的单价是元，
根据题意，得：
，
解方程，得，
经检验，是原方程解．
所以，=100，=60．
所以，篮球、足球和排球的单价分别是100元，80元，60元．
（2）设学校购买m个足球，根据题意，得：
，
解得，
所以学校最多可以购买30个足球．
22. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下．
技术统计表
根据以上信息，回答下列问题：
（1）这六场比赛中，得分方差较小的队员是_____（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为_____分；
（2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好；
（3）规定“综合得分”为：平均每场得分平均每场篮板平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好．
解：（1）甲的方差为：，
乙的方差为：
，
因，
所以得分方差较小的队员是甲；
将乙的得分按从小到大顺序排列为：14，20，28，30，32，32，
因此乙队员得分的中位数为（分），
故答案为：甲，29；
（2）从得分方面分析，因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定，所以甲队员表现更好．
（3）甲的综合得分为；
乙的综合得分为，
因为，
所以乙队员表现更好．
23. 阅读理解：
把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成部分分式．如何将表示成部分分式？
设分式=，将等式的右边通分得：=，由= 得：，解得：，所以=．
（1）把分式表示成部分分式，即=，则m= ，n= ；
（2）请用上述方法将分式表示成部分分式．
解：(1)∵，
∴，
解得：.
(2)设分式=
将等式的右边通分得：=，
由=，
得，
解得.
所以=.
24. 【提出问题】
已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？
【观察发现】
观察下列式子：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大，即．
【探究验证】
（1）对于，我们可以用“作差法”进行证明：
．
，
，．
，即．
；
（2）由（1）我们可猜想与的大小关系是：_____，请你用“作差法”证明你的结论；
【拓展思考】
（3）若，时，（2）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子；
【方法应用】
（4）已知甲、乙两船同时从港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，请比较，的大小，判断哪条船先返回港？并说明理由．
解：（2），理由如下：
，
∵，，
∴，，
∴，即，
∴．
（3）不成立，正确的应该是．
理由如下：根据（2）可得，
∵，，
∴，，
∴，即，
∴．
（4）当返回为顺水时，，．
，
∵，
∴，即．
当返回为逆水时，，．
，
∵，
∴，即．
所以当返回为顺水时，乙船先返回，当返回为逆水时，甲船先返回．
附加题（本题供学有余力的学生尝试解答，不作为考试内容）
25. 已知的三边长分别为，，，且，则一定是（ ）
A. 等边三角形B. 腰长为的等腰三角形
C. 底边长为的等腰三角形D. 等腰直角三角形
【答案】B
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∵的三边长分别为，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或；
∴是腰长为的等腰三角形；
故选B.
甲
乙
丙
丁
169
169
168
168
6.0
5.0
5.0
19.5
身高（cm）
173
174
175
176
178
人数
1
2
3
1
1
队员
平均每场得分
平均每场篮板
平均每场失误
甲
26.5
8
2
乙
26
10
3